（滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．
3．答非選擇題時(shí)，必須使用0．5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
4．考試結(jié)束后，將答題卷交回．
5．參考公式：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查相反數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．根據(jù)絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)即可得出結(jié)論．
【詳解】的相反數(shù)是，
故選：D．
2. 體育精神就是健康向上、不懈奮斗的精神，下列關(guān)于體育運(yùn)動(dòng)的圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：C．
3. 反比例函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式．據(jù)此判斷逐項(xiàng)即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，則反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，，則反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，，則反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，則反比例函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過的點(diǎn)，故此選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
4. 把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，
∵直尺的對(duì)邊平行，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
5. 如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心.已知，則與面積比為（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 1：6D. 1：9
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了圖形的位似、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)位似比得相似比，由相似的性質(zhì)即可得出答案，牢記位似比和相似比之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：與位似，
故選：．
6. 用相同的小正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有個(gè)正方形，...按此規(guī)律排列下去，則第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得到規(guī)律．根據(jù)已知圖形中正方形的個(gè)數(shù)得出第個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)為個(gè)，即可求解．
【詳解】解：解：圖1中正方形的個(gè)數(shù)：，
圖2中正方形的個(gè)數(shù)：，
圖3中正方形的個(gè)數(shù)：，
第個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)為個(gè)，
第個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)（個(gè)），
故選：B．
7. 估計(jì)的值應(yīng)該在（ ）
A. 3和4之間B. 4和5之間C. 5和6之間D. 6和7之間
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的乘法，估算無(wú)理數(shù)的大小的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握“夾逼法”的運(yùn)用．先根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算，再利用夾逼法可得：，從而進(jìn)一步可判斷出答案．
【詳解】解：，
∵，
∴，
即的值在4和5之間．
故選：B．
8. 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是( )
A. 4B. 6.25C. 7.5D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理判斷△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，利用面積法求出r的值即可求得答案.
【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O△ABC內(nèi)切圓，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四邊形AEOF為正方形，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴OE=OF=r，
∴S四邊形AEOF=r2，
連接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四邊形AEOF=r2=4，
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，勾股定理的逆定理，正方形判定與性質(zhì)，面積法等，正確把握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
9. 如圖，延長(zhǎng)矩形的邊至點(diǎn)E，使，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等；連接與交于，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求解；掌握性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)建等腰是解題的關(guān)鍵．
詳解】解：如圖，連接與交于，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故選：B．
10. 按順序排列的8個(gè)單項(xiàng)式a，b，c，d，，，，中，任選個(gè)互不相鄰的單項(xiàng)式（其中至少包含一個(gè)系數(shù)為1的單項(xiàng)式和一個(gè)系數(shù)為的單項(xiàng)式）相乘，計(jì)算得單項(xiàng)式M，然后在剩下的單項(xiàng)式中再任選若干個(gè)單項(xiàng)式相乘，計(jì)算得單項(xiàng)式N，最后計(jì)算，稱此為“積差操作”．例如：當(dāng)時(shí)，可選互不相鄰的b，，相乘，得，在剩下的單項(xiàng)式a，c，d，，中可選c，d相乘，得，此時(shí)，……．下列說法中的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)是（ ）
①存在“積差操作”，使得為五次二項(xiàng)式；
②共有4種“積差操作”，使得；
③共有12種“積差操作”，使得．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)定義，舉例解答即可．
本題考查了整式的加減，整式的乘法，熟練掌握整式的加減，乘法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，八個(gè)單項(xiàng)式a，b，c，d，，，，中，根據(jù)不相鄰要求，得，，是五次單項(xiàng)式，此時(shí)是五次二項(xiàng)式，
故①正確；
根據(jù)不相鄰要求，得，，此時(shí)；
，，此時(shí)；
，，此時(shí)；
，，此時(shí)；
，，此時(shí)；
……
超過4種“積差操作”，
故②錯(cuò)誤；
要使得．
則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
∴超過12種“積差操作”，使得說法正確，
故③錯(cuò)誤．
故選：C．
二、填空題：（本大題共8小題，每小題4分，共32分）將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11. 計(jì)算：__________．
【答案】5
【解析】
【分析】先將零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是熟練掌握任何非0數(shù)的0次冪都得1，以及（是正整數(shù)）．
12. 正n邊形的每一個(gè)外角都是它相鄰的內(nèi)角的2倍，則n的值為______．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查多邊形的外角和內(nèi)角，設(shè)正n邊形的每一個(gè)外角為，則它相鄰的內(nèi)角為x，列出關(guān)于x的方程式，求得x，,再根據(jù)多邊形的外角和為即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)正n邊形的每一個(gè)外角為，則它相鄰的內(nèi)角為x，
，
解得：，
，
則．
故答案為：3．
13. 在桌面上放有四張背面朝上且完全一樣的卡片，卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字，，，，現(xiàn)隨機(jī)抽取一張，則所抽取卡片上的數(shù)字為偶數(shù)的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查概率，概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．利用概率公式求解即可．
【詳解】解：所抽取卡片上的數(shù)字為偶數(shù)的情況為：，，共兩種情況，
，
故答案為：．
14. 在“雙減政策”的推動(dòng)下，某初級(jí)中學(xué)學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少．2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100分鐘，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為64分鐘．已知2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率相同，則下降率為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為分鐘，經(jīng)過兩學(xué)期降低后到了平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為64分鐘，即可得出關(guān)于一元二次方程，即可得出．
【詳解】解∶ 依題意得：，
解得，（舍去）
∴下降率為為
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，，矩形外一點(diǎn)E滿足，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，連接，設(shè)交于F，則由矩形的性質(zhì)可得，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，利用勾股定理得到，再證明，即可得到．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于F，
∵四邊形是矩形，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積為________．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查一元一次不等式組和分式方程，根據(jù)關(guān)于的一元一次不等式組的解的情況求出的取值范圍，根據(jù)關(guān)于的方程的解的情況求出的取值情況，然后求出滿足條件的的值，即可得出答案．
【詳解】解：解不等式組，得，
不等式組有解且最多有3個(gè)整數(shù)解，
，
解得：，
整數(shù)為：1，2，3，4，5，6，
解分式方程，得，
分式方程有整數(shù)解，
是整數(shù)，且，
整數(shù)為：1，5，
所有滿足條件的整數(shù)的值之積是．
故答案為：5．
17. 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為點(diǎn)D，∠BAC＝30°，AB＝6，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接BE、OC，先證，利用圓周角定理得到，進(jìn)而得到，放在Rt△ABE中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE的長(zhǎng)度．
【詳解】解：連接BE，如圖所示，
∵直徑所對(duì)的圓周角是直角，
，
（同位角相等，兩直線平行），
連接OC交BE于點(diǎn)G，
∵DC是⊙O的切線，
（圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑），
，即，
又∵（圓周角定理），
，
在Rt△ABE中，（30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理等，掌握輔助線的做法是解決問題的關(guān)鍵．
18. 如果一個(gè)四位自然數(shù)M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且前兩位數(shù)字之和為5，后兩位數(shù)字之和為8，則稱M為“會(huì)意數(shù)”．把四位數(shù)M的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)．規(guī)定．例如：，∵，，∴2335是“會(huì)意數(shù)”．則．那么“會(huì)意數(shù)”，則________；已知四位自然數(shù)是“會(huì)意數(shù)”，（，，，且a、b、c、d均為正整數(shù)），若恰好能被8整除，則滿足條件的數(shù)S的最大值是________．
【答案】 ①. 30 ②. 4117
【解析】
【分析】本題主要考查整式的加減，解答的關(guān)鍵是理解清楚“會(huì)意數(shù)”的定義．根據(jù)“會(huì)意數(shù)”的定義進(jìn)行求解即可；由題意可得，從而可求得，再結(jié)合恰好能被8整除，即能被8整除，對(duì)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別對(duì)此進(jìn)行分析即可求解．
【詳解】解：∵，
∴“會(huì)意數(shù)”N前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)為7141，
∴，
∵是“會(huì)意數(shù)”，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵恰好能被8整除，，，，，且a，b，c，d為整數(shù)，
∴能被8整除，
即能被8整除，
當(dāng)時(shí)，故當(dāng)，時(shí)，，，則自然數(shù)S為：4117；
當(dāng)時(shí)，故當(dāng)，時(shí)，，，則自然數(shù)S為：1462；
當(dāng)，時(shí)，，，則自然數(shù)S為：2371；
當(dāng)，不符合題意，舍去；
當(dāng)，不符合題意，舍去；
綜上所述：所有滿足條件的自然數(shù)S的值為：4117或1462或2371，其中最大的數(shù)為4117，
故答案為：30，4117．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)分式的加減進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則以及分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 已知四邊形為正方形，點(diǎn)E在邊上，連接．
（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）；
（2）求證：．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程）
證明：∵正方形
∴， ①
∴
∵
∴
∴
∴ ②
在與中
∴
∴ ④ ．
通過上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論：兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且 ⑤ 的線段長(zhǎng)相等．
【答案】（1）見解析 （2），，，，垂直
【解析】
【分析】本題考查尺規(guī)作圖-作垂線、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握基本作圖和正方形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)尺規(guī)作垂線的方法作出即可；
（2）先根據(jù)正方形性質(zhì)得到，根據(jù)等角的余角相等得到，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明得到，進(jìn)而得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求作：
【小問2詳解】
證明：∵正方形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
在與中
∴
∴．
通過上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論：兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且垂直的線段長(zhǎng)相等．
故答案為：，，，，垂直．
21. 在大學(xué)校園里，共享單車以其便捷、環(huán)保的特點(diǎn)，成為了廣大師生出行的新選擇．某品牌共享單車為了解其在大學(xué)生群體中的受歡迎程度，在甲、乙兩個(gè)大學(xué)中進(jìn)行了滿意度調(diào)查（單位：分，滿分100分，分?jǐn)?shù)越高越受歡迎）．現(xiàn)在從甲、乙兩個(gè)大學(xué)中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的滿意度得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（滿意度得分用x表示，共分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)：．A：，B：，C．，D．）．下面給出了部分信息：
甲大學(xué)10名學(xué)生滿意度得分?jǐn)?shù)據(jù)：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69；
乙大學(xué)10名學(xué)生B等級(jí)所有滿意度得分?jǐn)?shù)據(jù)：89，89，88，86，82．
甲、乙大學(xué)抽取的學(xué)生滿意度得分統(tǒng)計(jì)表
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答：
（1） ， ， ；
（2）你認(rèn)為該品牌共享單車在哪個(gè)大學(xué)更受學(xué)生歡迎？請(qǐng)說明理由：（寫出一條即可）
（3）若甲、乙兩校共有7200人參加此次滿意度調(diào)查，請(qǐng)你估計(jì)喜愛該品牌共享單車的學(xué)生有多少人？
【答案】（1）88；；10
（2）品牌共享單車在乙大學(xué)更受歡迎，理由見解析
（3）2520人
【解析】
【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)，平均數(shù)，用樣本估計(jì)總體等等：
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出a、b，先求出乙大學(xué)A等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)而求出C等級(jí)的人數(shù)即可求出m；
（2）根據(jù)乙大學(xué)的眾數(shù)和中位數(shù)都比甲大學(xué)的高即可得到答案；
（3）用7200乘以樣本中的人數(shù)占比即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵甲大學(xué)10名學(xué)生滿意度得分為88分的人數(shù)最多，
∴甲大學(xué)10名學(xué)生滿意度得分的眾數(shù)，
乙大學(xué)10名學(xué)生滿意度得分在A等級(jí)的人數(shù)為人，則C等級(jí)有人，
∴，
∴；
把乙大學(xué)10名學(xué)生滿意度得分從低到高排列，處在第5名和第6名的得分分別為88分，89分，
∴乙大學(xué)10名學(xué)生滿意度得分的中位數(shù)，
故答案為：88；；10；
【小問2詳解】
解：品牌共享單車在乙大學(xué)更受歡迎，理由如下：
∵乙大學(xué)的中位數(shù)和眾數(shù)都比甲大學(xué)的高，
∴品牌共享單車在乙大學(xué)更受歡迎．
【小問3詳解】
解：人，
∴估計(jì)喜愛該品牌共享單車的學(xué)生有2520人．
22. 某學(xué)校食堂不定期采購(gòu)某調(diào)味加工廠生產(chǎn)的“0添加”有機(jī)生態(tài)醬油和生態(tài)食醋兩種食材．
（1）該學(xué)校花費(fèi)1720元一次性購(gòu)買了醬油、食醋共100瓶，已知醬油和食醋的單價(jià)分別是18元、16元，求學(xué)校購(gòu)買了醬油和食醋各多少瓶？
（2）由于學(xué)校食材的消耗量下降和加工廠調(diào)味品的價(jià)格波動(dòng)，現(xiàn)該學(xué)校分別花費(fèi)900元、600元一次性購(gòu)買醬油和食醋兩種調(diào)味品，已知購(gòu)買醬油的數(shù)量是食醋數(shù)量的倍，每瓶食醋比每瓶醬油的價(jià)格少3元，求學(xué)校購(gòu)買食醋多少瓶？
【答案】（1）學(xué)校購(gòu)買了醬油60瓶，食醋40瓶
（2）學(xué)校購(gòu)買食醋40瓶
【解析】
【分析】（1）設(shè)學(xué)校購(gòu)買了醬油x瓶，食醋y瓶，由題意得：，解方程組即可．
（2）設(shè)學(xué)校購(gòu)買食醋m瓶，則購(gòu)買醬油瓶，由題意得：，
解方程即可．
本題考查了方程組應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，熟練掌握解方程是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：設(shè)學(xué)校購(gòu)買了醬油x瓶，食醋y瓶，
由題意得：
解得：，
答：學(xué)校購(gòu)買了醬油60瓶，食醋40瓶．
【小問2詳解】
解：設(shè)學(xué)校購(gòu)買食醋m瓶，則購(gòu)買醬油瓶，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
答：學(xué)校購(gòu)買食醋40瓶．
23. 如圖1，在等腰中，于點(diǎn)D，，．動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度沿線段運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒個(gè)單位的速度沿折線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積記為，的長(zhǎng)度記為．
（1）請(qǐng)直接寫出關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量t的取值范圍；
（2）如圖2，平面直角坐標(biāo)系中已給出函數(shù)的圖象，請(qǐng)?jiān)谠撟鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)當(dāng)時(shí)t的近似值．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）
【答案】（1）
（2）圖見解析，函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)有最大值，最大值為3
（3）和
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象解決問題．
（1）分兩種情況，即在點(diǎn)的左邊或右邊兩種情況，根據(jù)題意可得相似三角形，再利用相似三角形性質(zhì)求得的長(zhǎng)，即可解答；
（2）根據(jù)描點(diǎn)法畫出圖象即可，再根據(jù)圖象寫出的一條性質(zhì)；
（3）根據(jù)圖象得到的解析式，根據(jù)題意列方程即可解答．
【小問1詳解】
解：是等腰三角形，,
，，
在中，，
當(dāng)在點(diǎn)的右邊時(shí)，如下圖，此時(shí)，
，
，
，
，
，
，即，
；
當(dāng)在點(diǎn)的左邊時(shí)，此時(shí)，
，
，
，
，
，
，即，
；
綜上所述，；
【小問2詳解】
解：的圖象如圖所示：

函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)有最大值，最大值為；
【小問3詳解】
由（1）得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，把代入可得，解得,
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，把，代入可得，解得,
∴當(dāng)時(shí)，，
可得方程和，
分別解得和，
當(dāng)時(shí)t的近似值為和．
24. 隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的普及，外賣已經(jīng)成為了人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠郑程?，小惠在位于點(diǎn)A處的家中購(gòu)買了位于點(diǎn)K處某商家的外賣食品，外賣騎手收到商家派單后，立即趕往點(diǎn)K處取餐，然后進(jìn)行配送．根據(jù)導(dǎo)航顯示，點(diǎn)K在點(diǎn)A的南偏西方向米處，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東方向，B、K兩地相距米，點(diǎn)C在點(diǎn)K的正西方向，點(diǎn)D分別在點(diǎn)K、點(diǎn)A的正東方向和正南方向．（參考數(shù)據(jù)：）
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）騎手在點(diǎn)C處收到派單后立即趕往點(diǎn)K處取餐并開始配送，由于道路正在維修，騎手有兩條送餐路線可選擇：①，速度為每分鐘320米：②，速度為每分鐘240米．請(qǐng)通過計(jì)算說明，騎手選擇哪條送餐路線才能更快地將外賣送到小惠家？
【答案】（1）米
（2）騎手選擇②的送餐路線才能更快地將外賣送到小惠家
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理：
（1）如圖所示，過點(diǎn)K作于H，由題意得，，則，先解得到米，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案；
（2）先解得到米，米，進(jìn)而分別計(jì)算出兩條路線的時(shí)間即可得到答案．
【小問1詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)K作于H，
由題意得，，
∴
在中，米，
米，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
【小問2詳解】
解：在中，米，
米，
∴米，
∴路線②的時(shí)間為分鐘；
∵米，
∴路線①的時(shí)間為分鐘，
∵，
∴騎手選擇②的送餐路線才能更快地將外賣送到小惠家．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中，，連接，，．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)M為線段（不含端點(diǎn)O，C）上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)P，連接，，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及面積的最大值；
（3）如圖2，將該拋物線沿射線方向平移，當(dāng)它過點(diǎn)B時(shí)得到新拋物線，點(diǎn)F為新拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)G為新拋物線的頂點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)B作交新拋物線于點(diǎn)H，連接．在新拋物線上確定一點(diǎn)N，使得，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2），的面積有最大值
（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，求出直線的解析式為，即可求；
（3）求出平移后的函數(shù)解析式為，再分別求出直線的解析式為，直線的解析式為，，過點(diǎn)作軸的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，推導(dǎo)出，先求，再由，得到，根據(jù)，推導(dǎo)出，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，，設(shè)，求出；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，設(shè)與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求出，則，利用等積法求，可得，設(shè)，求出點(diǎn)，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)，求出，則直線的解析式為，直線與拋物線的交點(diǎn)為．
【小問1詳解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
將、、三點(diǎn)代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖1，

設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
；
【小問3詳解】
解：設(shè)拋物線沿軸正半軸方向平移個(gè)單位，則沿軸正方形平移個(gè)單位，
平移后的函數(shù)解析式為，
經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得（舍或，
平移后的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得或，
，
是頂點(diǎn)，
，
直線的解析式為，
，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，解得或，
，
過點(diǎn)作軸的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖2，
直線與軸的交點(diǎn)，，
，
，，
，
，
，
，
直線的解析式為，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
解得（舍或，
∴；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，設(shè)與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
解得，
∴，
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
，
，
解得或（舍，
∴，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，解得或（舍；
∴；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象平移，平行線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，準(zhǔn)確地計(jì)算是解題的關(guān)鍵．本題詞屬二次函數(shù)綜合題目，難度較大．
26. 是等邊三角形，點(diǎn)D為線段上任意一點(diǎn)，連接，E為直線上一點(diǎn)，

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在邊上，連接，若，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)F為延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的面積．
【答案】（1）
（2），見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)E作于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，利用銳角三角函數(shù)求得、、，進(jìn)而求得，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)分別證明和得到即可得出結(jié)論；
（3）在上截取，連接，則是等邊三角形，證明得到，，進(jìn)而，則點(diǎn)N在過點(diǎn)G且垂直于的直線l上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于N，交于H，連接交直線l于O，此時(shí)的值最小，設(shè)直線l與相交于K，連接，利用銳角三角函數(shù)求得，，，證明是等邊三角形和 ，進(jìn)而求得，，然后利用三角形的面積公式求解即可．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)E作于F，如圖，

∵，，
∴，
∵是等邊三角形，點(diǎn)D為中點(diǎn)，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴；
【小問2詳解】
，理由為：
上截取，連接，

∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
在上截取，連接，交于

∵，
∴是等邊三角形，
∴，，，
∵線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴點(diǎn)N在過點(diǎn)G且垂直于的直線l上運(yùn)動(dòng)，
作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于N，交于H，連接交直線l于O，則，，，此時(shí)的值最小，
設(shè)直線l與相交于K，連接，
∵，，，
∴，，，
∴，又，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用軸對(duì)稱求最短路徑問題等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)與聯(lián)系，并添加輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解答的關(guān)鍵．學(xué)校
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乙
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