（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上．
2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．
一、選擇趣：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1. 下列四個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．
【詳解】解：A、1是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2. 如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（ ）
A. 三棱錐B. 圓錐C. 三棱柱D. 四棱錐
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查棱柱和棱錐，熟練掌握棱柱和棱錐特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有兩個(gè)三角形作為頂面和底面，即可判斷幾何體的形狀．
【詳解】解：則該幾何體是三棱柱．
故選C．
3. 下列運(yùn)算結(jié)果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的計(jì)算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：和不是同類項(xiàng)，不能計(jì)算，故選項(xiàng)A不符合題意；
，故選項(xiàng)B符合題意；
，故選項(xiàng)C不符合題意；
，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選B．
4. 如圖，，若，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行的性質(zhì)得到，再由三角形外角的定義求出答案即可．
【詳解】解：，
，
，
．
故選C．
5. 若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例的函數(shù)圖像進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：，圖像在二、四象限，
故隨的增大而增大，
，
故選B．
6. 一個(gè)多邊形有14條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【詳解】略
7. 將一組數(shù)，，3，，，…，，…，按以下方式進(jìn)行排列，則第六行左起第3個(gè)數(shù)是（ ）
第一行
第二行 3
第三行
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了探究規(guī)律—數(shù)字類型，二次根式；前五行的數(shù)的個(gè)數(shù)為，第六行左起第3個(gè)數(shù)是第個(gè)數(shù)，即可求解；能找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得
前五行的數(shù)的個(gè)數(shù)為，
第六行左起第3個(gè)數(shù)是第個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
，
故選：D．
8. 如圖，為矩形的對(duì)角線，，，以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，本題中能夠?qū)⒉灰?guī)則圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的面積差是解題的關(guān)鍵．
連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，結(jié)合解直角三角形求得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和扇形面積公式分析計(jì)算．
【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
由題意可得，，
在Rt中，，
∴，
在Rt中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積=，
故選：A．
9. 如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，將沿折疊至正方形內(nèi)部，得到線段，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若，連接，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過(guò)作交于，連接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質(zhì)得，由正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，同理可證，設(shè)，可得，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，由勾股定理得，即可求解．
【詳解】解：過(guò)作交于，連接，
，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
由折疊得：
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等；正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，能熟練利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
10. 定義兩個(gè)新運(yùn)算，，且，下列說(shuō)法正確的有（ ）
①若，則或；
②若，則；
③若，，當(dāng)時(shí)，則；
④若，，則的最小值為2025．
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題中的新定義得出，然后求出m、n的值即可判斷①；根據(jù)題中的新定義得出，然后分，討論求出k，即可判斷②；根據(jù)新定義可求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；先根據(jù)新定義求出，，然后分當(dāng)，，，，討論，利用不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義求出的取值范圍，即可判斷④．
【詳解】解：，
即，則或，故①正確；
，
即，
，
即，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
綜上，的值為或2，故②錯(cuò)誤；
，，
，
，
∴拋物線開口向下，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值為9，當(dāng)時(shí)有最小值為5，
，故③錯(cuò)誤；
若，，
，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
，
∴；
當(dāng)時(shí)，
，
∴；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
∴，
當(dāng)時(shí)，
，
∴，
綜上，，當(dāng)時(shí)，有最小值為4050，故④錯(cuò)誤．
故選：A．
二、填空題：（本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11. __________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式．
故答案為：．
12. 中國(guó)四大名著分別是《紅樓夢(mèng)》、《西游記》、《水滸傳》和《三國(guó)演義》，現(xiàn)將背面完全一樣，正面分別寫有四大名著名字的4張卡片洗勻后放在桌面上且背朝上，小明同時(shí)抽取兩張，則恰好抽到《西游記》和《水滸傳》這兩張卡片的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列表，再由概率公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)《紅樓夢(mèng)》、《西游記》、《水滸傳》和《三國(guó)演義》的卡片分別為，
共有種等可能的情況，根據(jù)題意一共有種情況滿足題意，
故．
故答案為：．
13. 如圖，在中，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，將線段繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且，連接，．若且，則的周長(zhǎng)為__________．
【答案】10
【解析】
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判定，則，進(jìn)一步證明，則，即可求得，那么，的周長(zhǎng)為即可．
【詳解】解：∵，即，
∴，
由旋轉(zhuǎn)得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴
∵，，
∴，
則的周長(zhǎng)為，
故答案為：10．
14. 若關(guān)于的不等式組有且只有兩個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了含有參數(shù)的一元一次不等式組及含參數(shù)的分式方程，解不等式組得，解分式方程得，根據(jù)不等式組及分式方程解的情況，即可求解；能熟練解含有參數(shù)的一元一次不等式組及含參數(shù)的分式方程，能根據(jù)解的情況確定參數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：解不等式組得：，
不等式組有且只有兩個(gè)奇數(shù)解，
，
解得：，
，
解分式方程得：，
分式方程的解為整數(shù)，
或，
解得：或或；
，
，
或；
；
故答案為：．
15. 如圖，是的外接圓，是的直徑，AD與相切，且與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作分別交，于F，G兩點(diǎn)，若，則__________；且，則__________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】本題主要考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得出，由平行線的性質(zhì)可得，從而得出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；由得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，可得，連接，設(shè)，得，由勾股定理得，從而可求出．
【詳解】解：連接，如圖，
∴，
∵是的直徑，
∴
∴
∵是的切線，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
又
∴
∴
∴,
∴（負(fù)值舍去）；
∵，
∴設(shè)，則，
在中，
∴，
解得，
∴，
連接，設(shè)，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案為：5；．
16. 規(guī)定：一個(gè)四位正整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為且互不相同，并滿足千位數(shù)字是百位數(shù)字的倍，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，則稱這個(gè)四位數(shù)為“貳叁數(shù)”．若將的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為，將的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為，例如：當(dāng)時(shí)，為，為．記，若一個(gè)“貳叁數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，則__________；且為完全平方數(shù)，則所有滿足條件的正整數(shù)之和是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)千位數(shù)字是百位數(shù)字的倍，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，可得，，所以有，，且、均為整數(shù)，所以可得：，根據(jù)能被整除的數(shù)的個(gè)位是或，可知的個(gè)位數(shù)為或，又因?yàn)樗奈徽麛?shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為且互不相同，所以可知的個(gè)位數(shù)為；
把整理可得：，根據(jù)能被整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)是或，可知的個(gè)位數(shù)是或，又因?yàn)榈闹禐?、、、，的值為、、、、、，可知的個(gè)位數(shù)不能是，只能是，又因?yàn)闉橥耆椒綌?shù)，所以只有當(dāng)、和當(dāng)，時(shí)滿足條件，求出此時(shí)的即可．
【詳解】解：的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，
，，
則有，，且、均為整數(shù)，
，，
，
為整數(shù)，
的個(gè)位數(shù)為或，
的個(gè)位數(shù)為或，
或，
四位正整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為且互不相同，
的個(gè)位數(shù)為，
；
解：為完全平方數(shù)，
整理得：，
的個(gè)位數(shù)是或，
的個(gè)位數(shù)是或，
的值為、、、，的值為、、、、、，
若的個(gè)位是，
當(dāng)，時(shí)，，
不是完全平方數(shù)，
不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，，
是完全平方數(shù)，
符合題意，
此時(shí)，，
；
當(dāng)，時(shí)，
，
不完全平方數(shù)，
不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，
，
是完全平方數(shù)，
此時(shí)，，
；
是偶數(shù)，
的個(gè)位不可能是，
符合條件的有和，
所有滿足條件的正整數(shù)之和是．
故答案為： ；．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義計(jì)算、有理數(shù)的運(yùn)算、列代數(shù)式、整式的加減運(yùn)算、完全平方數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)千位數(shù)字是百位數(shù)字的倍，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，得到：，，列出關(guān)于、的代數(shù)式．
三、解答題：（本大題共8個(gè)小題，第17題每小題8分，其余每小題10分，共86分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將答題過(guò)程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)位置上．
17. 計(jì)算：
（1）；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本題主要考查完全平方公式，平方差公式以及分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代數(shù)求值即可．
小問(wèn)1詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)2詳解】
解：原式
，
將代入，
原式．
18. 春回大地，萬(wàn)物復(fù)蘇，某中學(xué)開展了“趣味自然”知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從該校八、九年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)得分用x表示，共分成四組，A：；B：；C：；D：），下而給出了部分信息：
八年級(jí)10名學(xué)生的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分別是：81，85，98，97，90，95，98，83，89，92；
九年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：90，94，91，93．
八、九年級(jí)抽取的學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
九年級(jí)抽取的學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）上述圖表中_______，_______，_______．
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校八、九年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生在“趣味自然”知識(shí)競(jìng)賽中的成線更好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校八年級(jí)有550名學(xué)生，九年級(jí)有600名學(xué)生參加了此次知識(shí)競(jìng)賽，估計(jì)該校八、九年級(jí)參加此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀（）的學(xué)生人數(shù)是多少？
【答案】（1），，
（2）九年級(jí)，理由見(jiàn)詳解
（3）估計(jì)人
【解析】
【分析】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義，并利用眾數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行決策，樣本估計(jì)總體等；
（1）九年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，即可求出，由中位數(shù)的定義得中間兩個(gè)數(shù)為91，93，即可求出，由眾數(shù)的定義可求，即可求解；
（2）比較中位數(shù)，即可求解；
（3）先求出八年級(jí)10名學(xué)生的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)中優(yōu)秀所占百分比，由樣本估計(jì)總體，即可求解；
理解中位數(shù)、眾數(shù)的定義，能用中位數(shù)、眾數(shù)進(jìn)行決策，會(huì)用樣本估計(jì)總體是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：九年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為：
，
；
將九年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)從小到大排列為：
90，91，93，94．
九年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中間兩個(gè)數(shù)為91，93，
；
八年級(jí)10名學(xué)生的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)最多的是，
，
故答案為：，，；
【小問(wèn)2詳解】
解：九年級(jí)；
理由：平均成績(jī)相同，而八年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)為分低于九年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)分；
【小問(wèn)3詳解】
解：八年級(jí)10名學(xué)生的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)中優(yōu)秀所占百分比為：
，
（人），
答：估計(jì)該校八、九年級(jí)參加此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀（）的學(xué)生人數(shù)人．
19. 在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的性質(zhì)了之后，小明發(fā)現(xiàn)：對(duì)于夾在兩條平行線之間的線段，作其垂直平分線與兩條平行線分別交于兩點(diǎn)，則該線段的兩個(gè)端點(diǎn)和垂直平分線與兩條平行線的兩個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形．小明證明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知識(shí)得到此結(jié)論，根據(jù)他的想法和思路，完成以下作圖和填空：
（1）如圖，，連接．用尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，分別交，和于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，連接和（不寫做法，保留作圖痕跡）；
（2）已知：，連接．線段的垂直平分線分別交，和于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，連接和．求證：四邊形是荾形．
證明：① ，
．
垂直平分
且② ，
在和中，
，
則四邊形是④ ，
四邊形是菱形．
進(jìn)一步思考，如果，請(qǐng)你模仿題中的表述，寫出你猜想的結(jié)論：四邊形是⑤ ．
【答案】（1）圖形見(jiàn)解析
（2），，，平行四邊形，正方形．
【解析】
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，垂直平分線的定義，菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)垂直平分線的作圖步驟畫圖即可；
（2）根據(jù)垂直平分線的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：
【小問(wèn)2詳解】
解：，
．
垂直平分
且，
在和中，
，
則四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形．
進(jìn)一步思考，如果，請(qǐng)你模仿題中的表述，寫出你猜想的結(jié)論：四邊形是正方形．
四邊形是菱形，
，
，
故菱形是正方形．
故答案為：，，，平行四邊形，正方形．
20. 2025年春節(jié)，隨著《哪吒2》電彩的爆火，某玩具公司生產(chǎn)了“哪吒”和“敖丙”兩款手辦．已知每個(gè)“哪吒”手辦的售價(jià)比每個(gè)“敖丙”手辦的售價(jià)便宜20元，按售價(jià)購(gòu)買3個(gè)“哪吒”手辦和2個(gè)“敖丙”手辦共需540元．
（1）每個(gè)“哪吒”和“敖丙”手辦的售價(jià)分別是多少元？
（2）由于電影角色深受大家喜愛(ài)，所以玩具公司決定對(duì)兩款手辦進(jìn)行降價(jià)促銷，若降價(jià)后每個(gè)“敖丙”手辦的售價(jià)是每個(gè)“哪吒”手辦售價(jià)的倍，且用800元購(gòu)買“哪吒”手辦的數(shù)量比用520元購(gòu)買“敖丙”手辦的數(shù)量多5個(gè)，求降價(jià)后每個(gè)“哪吒”手辦的售價(jià)為多少元？
【答案】（1）每個(gè)“哪吒”和“敖丙”手辦的售價(jià)分別是元、元
（2）降價(jià)后每個(gè)“哪吒”手辦售價(jià)為元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用；
（1）等量關(guān)系式：每個(gè)“敖丙”手辦的售價(jià)每個(gè)“哪吒”手辦的售價(jià)按售價(jià)便宜20元，購(gòu)買3個(gè)“哪吒”手辦的費(fèi)用2個(gè)“敖丙”手辦的費(fèi)用540元，列方程組，即可求解；
（2）等量關(guān)系式：用800元購(gòu)買“哪吒”手辦的數(shù)量用520元購(gòu)買“敖丙”手辦的數(shù)量5個(gè)，列方程，即可求解；
找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)每個(gè)“哪吒”和“敖丙”手辦的售價(jià)分別是元、元，由題意得
，
解得：，
答：每個(gè)“哪吒”和“敖丙”手辦的售價(jià)分別是元、元；
【小問(wèn)2詳解】
解：降價(jià)后每個(gè)“哪吒”手辦的售價(jià)為元，由題意得
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的根，且符合題意；
答：降價(jià)后每個(gè)“哪吒”手辦的售價(jià)為元．
21. 如圖，在四邊形中，，，，，，連接BD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P，Q兩點(diǎn)時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接DP，BQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，記的面積為，的面積與的面積之比為．
（1）請(qǐng)直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，并寫出的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出時(shí)的取值范圍（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過(guò)0.2）．
【答案】（1），
（2）見(jiàn)解析，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
（3）或
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）由勾股定理得到，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于E，根據(jù)等面積法求出，則，再求出，，由此可求出；
（2）根據(jù)（1）所求畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，再寫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)即可；
（3）求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象找到函數(shù)圖象在函數(shù)圖象下方方時(shí)自變量的取值范圍即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴
∵，
∴
在中，，，
∴,
如圖1，當(dāng)時(shí)，如圖1，
∴，即；
當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作
∵，
∴；
而
∴，即
綜上，；
∵
∴，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：①畫的圖象：
列表：
描點(diǎn)，連線，如圖：
畫的圖象，
列表得，
描點(diǎn)，連線，如圖：
性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；
【小問(wèn)3詳解】
解：聯(lián)立方程組，
解得，或（舍去）
聯(lián)立方程組
整理得，，
解得，或，
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，．
22. 如圖，某景區(qū)平面地圖中景點(diǎn)D在出發(fā)點(diǎn)A的正北方向900米處，觀景臺(tái)B在出發(fā)點(diǎn)A的西北方向且在景點(diǎn)D的西南方向，在出發(fā)點(diǎn)A的北偏東方向有一條棧道通往游客中心C，游客中心C在是點(diǎn)D的北偏東方向上．（參考數(shù)據(jù)：，）
（1）請(qǐng)求出棧道長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）小明計(jì)劃從出發(fā)點(diǎn)A前往景點(diǎn)D，可以選擇路線①沿慢跑，也可以選擇路線②沿騎滑板車，小明慢跑的速度為每分鐘120米，騎滑板車的速度比慢跑的速度每分鐘快60米，請(qǐng)問(wèn)小明應(yīng)該選擇哪條路線可以先到達(dá)景點(diǎn)D？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
【答案】（1）米
（2）路線②
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性質(zhì)；
（1）過(guò)作交于，由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性質(zhì)求出，即可求解；
（2）①由等腰三角形的判定及性質(zhì)及三角函數(shù)得，求出此條路線是時(shí)間；②，求出此條路線是時(shí)間，即可求解；
能熟練利用三角形函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：過(guò)作交于，
，，
，
，
，
，
，
，
故棧道的長(zhǎng)度為米；
【小問(wèn)2詳解】
解：①，
，
，
，
，
（分鐘）；
②由（1）得
，
，
（分鐘）；
，
小明應(yīng)該選擇路線②可以先到達(dá)景點(diǎn)D．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在的左側(cè)），且，連接，．當(dāng)線段的長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；
（3）將該拋物線沿方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出所有符合條件點(diǎn)的坐標(biāo)（寫出必要的求解過(guò)程）
【答案】（1）
（2）
（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出點(diǎn)，進(jìn)而可得直線的解析式為，由勾股定理可得，求出，設(shè)作軸交于，則，，從而可得，推出，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的 可得當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)，即，將點(diǎn)沿方向平移個(gè)長(zhǎng)度得到，即將點(diǎn)向左平移個(gè)長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，連接，則，，得出四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得出，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，的值最小，為，即可得解；
（3）求出平移后的解析式為，聯(lián)立，得出 ，由題意可得，在軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)，作直線交新拋物線于點(diǎn)，則，，從而可得，求出直線的解析式為，聯(lián)立，解得（不符合題意，舍去）或，得出此時(shí)；作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作直線交新拋物線于點(diǎn)，連接，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，求出，再同理求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：將，兩點(diǎn)代入得：，
解得：，
拋物線的表達(dá)式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：在中，當(dāng)時(shí)，，故，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入解析式可得，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)，如圖，作軸交于，則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)，即，
將點(diǎn)沿方向平移個(gè)長(zhǎng)度得到，即將點(diǎn)向左平移個(gè)長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，連接，則，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，的值最小，為，
∴的最小值為；
【小問(wèn)3詳解】
解：，
∵將該拋物線沿方向平移，
∴設(shè)該拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
故平移后的解析式為，
∵新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得：或（不符合題意，舍去），
∴平移后的解析式為，
聯(lián)立，解得：或，
∴，
∵，
∴，
如圖，在軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)，作直線交新拋物線于點(diǎn)，
，
則，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入解析式可得,
解得：，
∴ 直線的解析式為，
聯(lián)立，解得（不符合題意，舍去）或，
此時(shí)；
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作直線交新拋物線于點(diǎn)，連接，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則，，
解得：（不符合題意，舍去）或，即，
同理可得直線的解析式為，
聯(lián)立，解得（不符合題意，舍去）或，
此時(shí)，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)綜合—線段問(wèn)題、二次函數(shù)綜合—角度問(wèn)題、解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
24. 在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接，．
（1）如圖1，交于點(diǎn)F，，，若，求線段的長(zhǎng)；
（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，若，用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，，若點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段的三等分點(diǎn)，在直線上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接，將繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在平面內(nèi)有一點(diǎn)F，滿足，連接，若點(diǎn)N為中點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．
【答案】（1）
（2），證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，結(jié)合題意可得，，證明 ，作于，于，則、為等腰直角三角形，得出，，求出，得到，，結(jié)合題意可得，由勾股定理可得，設(shè)，則，建立方程，求出，即可得解；
（2）作，且，連接、、，則四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，證明，得出，又等邊對(duì)等角結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)可得，從而可得，求出，得出、、、四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得，解直角三角形得出，即可得解；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由題意可得，，，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、作直線，連接、，則，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，則為等邊三角形，得出，，證明，得出，推出點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，由題意可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，則，為的中位線，證明，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，交于，連接、，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，由兩點(diǎn)之間線段最短可得，此時(shí)的值最小，求出，得出，作于，則，從而可得，，求出，，作于，則，證明，求出，再由三角形面積公式計(jì)算即可得解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如圖1，作于，于，
，
則、為等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：，證明如下：
如圖2：作，且，連接、、，
，
則四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴、、、四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段的三等分點(diǎn)，
∴，，，
如圖3，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、作直線，連接、，則，，
，
∵將繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
∵在平面內(nèi)有一點(diǎn)F，滿足，連接，
∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，
取的中點(diǎn)，則，
∵點(diǎn)N為中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，交于，連接、，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，
∴，由兩點(diǎn)之間線段最短可得，此時(shí)的值最小，
∵，
∴，
∴，
作于，則，
∴，，
∴，，
作于，則，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．年級(jí)
八年級(jí)
九年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
91
b
眾數(shù)
c
97
x
1
2
3
8
y
2
4
6
0
x
1
2
4
5
y
8
4
2
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