（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
一、選擇題（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義，對選項(xiàng)逐個(gè)分析即可．
【詳解】解：是一元一次方程，不是一元二次方程，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
是二元一次方程，不是一元二次方程，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
是一元二次方程，故C選項(xiàng)正確；
是分式方程，不是一元二次方程，故D選項(xiàng)正確．
故選：C．
2. 如圖，是由4個(gè)相同的正方體組成的立方體圖形，其主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖．根據(jù)主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形對每一項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：從正面看該組合體，所看到的主視圖與選項(xiàng)相同，
故選：．
3. 下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查判斷給出各點(diǎn)是否在反比例函數(shù)的圖象上，只需將各選項(xiàng)坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可.
【詳解】解：，不符合題意；
，符合題意；
，不符合題意；
，不符合題意；
故選：B
4. 如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為，若的面積為4，則的面積是（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)位似比等于三角形的相似比，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)：面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可．
【詳解】解：∵與位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為，
∴與的面積之比為，
∵的面積為4，
∴的面積是9，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握面積之比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．
5. 在一個(gè)不透明的口袋中有白球、黑球共10個(gè)，這些球除顏色外均相同，將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球并記下顏色后放回口袋中，多次摸球后發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在60%，則估計(jì)口袋中的白球數(shù)量有（ ）
A. 2個(gè)B. 4個(gè)C. 6個(gè)D. 10個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】由摸到白球的頻率穩(wěn)定在60%附近得出口袋中得到白色球的概率，進(jìn)而求出白色球個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)白色球個(gè)數(shù)為：x個(gè)，
∵摸到白球的頻率約為60%，
∴摸到白球的概率約為0.6，
∴，
解得：x=6
∴估計(jì)袋中白色球有6個(gè)
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，明確大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即為概率是解題關(guān)鍵．
6. 估計(jì)的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間（ ）
A. 3和4B. 4和5C. 5和6D. 6和7
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次根式混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計(jì)算得出，再估算的大小，即可求解．
【詳解】解：，
∵
∴
∴
故選：A．
7. 如圖，已知圓心角∠AOB=110°，則圓周角∠ACB=（ ）
A. 55°B. 110°C. 120°D. 125°
【答案】D
【解析】
【詳解】分析：根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解．一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
詳解：根據(jù)圓周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故選D．
點(diǎn)睛：此題考查了圓周角定理．
注意：必須是一條弧所對的圓周角和圓心角之間才有一半的關(guān)系．
8. 某超市一月份的營業(yè)額為300萬元，第一季度的營業(yè)額共為1500萬元，如果平均每月增長率為，則由題意可列方程為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1500，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【詳解】∵一月份的營業(yè)額為300萬元，平均每月增長率為x，
∴二月份的營業(yè)額為300×（1+x），
∴三月份的營業(yè)額為300×（1+x）×（1+x）=300×（1+x）2，
∴可列方程為300+300×（1+x）+300×（1+x）2=1500．
即300[1+（1+x）+（1+x）2]=1500．
故選D．
【點(diǎn)睛】此題考查了求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b，得到第一季度的營業(yè)額的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
9. 如圖，四邊形為正方形，為對角線上一點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交的延長線于點(diǎn)，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，由正方形的性質(zhì)可得，，，，即得四邊形為矩形，得到，，利用勾股定理可得，進(jìn)而得到，即得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，再根據(jù)余角性質(zhì)得到，可得，得到，即可得，得到，最后代入計(jì)算即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，
設(shè)，則，
∵四邊形為正方形，
∴，，，，
∴四邊形為矩形，
∴，，
在中，∵，
∴，
在中，∵，，
∴，
∵繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交的延長線于點(diǎn)，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10. 給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中第一個(gè)數(shù)記為，第二個(gè)數(shù)記為，第三個(gè)數(shù)記為，以此類推，第個(gè)數(shù)記為（為正整數(shù)）．已知，并規(guī)定：，如：，以下結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；
②若，則；
③若，則；
④若的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)共有6個(gè)．
A 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)學(xué)式子的規(guī)律，分式的整數(shù)解，因式分解，約分，分式的化簡求值，熟練掌握規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，分式的化簡求值，求分式的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，得到，，，，，，發(fā)現(xiàn)是6個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，循環(huán)出現(xiàn)，依次規(guī)律，計(jì)算解答即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴發(fā)現(xiàn)是6個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，循環(huán)出現(xiàn)，
∵，
∴,
故①錯(cuò)誤；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③錯(cuò)誤；
∵，，
∴，，
∴，
∵的值為整數(shù)，
∴，，，，
∴滿足條件的整數(shù)共有8個(gè)．
故④錯(cuò)誤，
故選：A．
二、填空題（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
11. 已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則，是解本題的關(guān)鍵．直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
則，
故答案為：．
12. 已知，，那么__________．
【答案】30
【解析】
【分析】由已知，得：，，,代入化簡即可求得答案.
【詳解】由已知，得：
，，
∴
故答案是：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)比例的基本性質(zhì)求得，，三個(gè)等式．
13. 某校八年級選舉了4名同學(xué)獲得“學(xué)習(xí)之星”榮譽(yù)，其中有2名女同學(xué)，2名男同學(xué)，在這4名同學(xué)中隨機(jī)選2名同學(xué)作為學(xué)生代表在期末大會上發(fā)言，那么恰好有1名男同學(xué)，1名女同學(xué)代表發(fā)言的概率為 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列表格法求概率，由題意列出表格，然后根據(jù)概率公式，即可求出答案．
【詳解】解：列表如下：
總共有12種等可能結(jié)果，其中恰好有1名男同學(xué)，1名女同學(xué)的結(jié)果有8種，
∴恰好有1名男同學(xué)，1名女同學(xué)代表發(fā)言的概率，
故答案為：．
14. 如圖，平行四邊形的面積是12，軸，反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)E且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的面積建立等式進(jìn)行換算．設(shè)點(diǎn)，根據(jù)和平行四邊形的面積建立m和n的等式進(jìn)行換算即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 如圖，菱形的邊長為，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，則的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形的邊長為，，可得，，，，根據(jù)，推出，得到，進(jìn)而求出，，，證明，得到，推出，證明，得到，可求出，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：菱形的邊長為，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
16. 若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解一元一次不等式組，解分式方程，根據(jù)一元一次不等式組和分式方程解的情況求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于找出所有符合條件的數(shù)．先解一元一次不等式組得到的取值范圍，再解分式方程，結(jié)合分式方程的解找出符合條件的值，最后求和，即可解題．
【詳解】解：
，
，
又關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，
，
解得；

，
關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，且，即，
符合條件的所有整數(shù)a為，，
符合條件的所有整數(shù)a的和為；
故答案為：．
17. 如圖，矩形，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊得，連接并延長交于點(diǎn)M，若，，，則的長為______．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)與交于點(diǎn)Q，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，再證明，可得，再利用，可得，問題隨之得解．
【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)Q，如圖，
∵四邊形是矩形，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用求出，是解答本題的關(guān)鍵．
18. 一個(gè)四位自然數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等，如果前兩位數(shù)字所組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)的和等于150，那么就稱這個(gè)數(shù)為“滿分?jǐn)?shù)”．把“滿分?jǐn)?shù)”的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)，設(shè)．例如：一個(gè)四位數(shù)，∵，∴是“滿分?jǐn)?shù)”，且．則_________；若是“滿分?jǐn)?shù)”，且是整數(shù)，則滿足條件的所有的和為__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用、方程整數(shù)解的應(yīng)用．
根據(jù)題意得到，再根據(jù)題意得到，，進(jìn)一步得到是整數(shù)，設(shè)，其中為正整數(shù)，求出或，據(jù)此進(jìn)行分類求解即可．
【詳解】解：∵，
∴是“滿分?jǐn)?shù)”，
，
∵是“滿分?jǐn)?shù)”，
∴，，
∴
∴，
∴
∵是整數(shù)，
∴設(shè)，其中為正整數(shù)，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵為整數(shù)，
∴或，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，，符合題意，則，
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，，不滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等，故不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，，符合題意，則，
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，，符合題意，則，
則
∴滿足條件的所有的和為，
故答案為：，
三、解答題（本大題8個(gè)小題，第19題8分，第20—26題每題10分，共78分）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于正確掌握解一元二次方程的方法．
（1）利用因式分解法求解，即可解題；
（2）利用因式分解法求解，即可解題．
【小問1詳解】
解：
或，
解得，；
【小問2詳解】
解：
則或，
解得，．
20. “惜餐為榮，殄物為恥”，為了解落實(shí)“光盤行動”的情況，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)調(diào)研了七、八年級部分班級某一天的餐廚垃圾質(zhì)量．從七、八年級中各隨機(jī)抽取10個(gè)班的餐廚垃圾質(zhì)量的數(shù)據(jù)（單位：kg），進(jìn)行整理和分析（餐廚垃圾質(zhì)量用x表示，共分為四個(gè)等級：A．，B． ，C． ，D． ），下面給出了部分信息．
七年級10個(gè)班的餐廚垃圾質(zhì)量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年級10個(gè)班的餐廚垃圾質(zhì)量中B等級包含的所有數(shù)據(jù)為：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七八年級抽取的班級餐廚垃圾質(zhì)量統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出上述表中a，b，m的值；
（2）該校八年級共30個(gè)班，估計(jì)八年級這一天餐廚垃圾質(zhì)量符合A等級的班級數(shù)；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級的“光盤行動”，哪個(gè)年級落實(shí)得更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．
【答案】（1）；（2）6個(gè)；（3）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)及眾數(shù)、中位數(shù)定義可解a，b的值，由扇形統(tǒng)計(jì)圖可解得m的值；
（2）先計(jì)算在10個(gè)班中，八年級A等級的比例，再乘以30即可解題；
（3）分別根據(jù)各年級的眾數(shù)、中位數(shù)、方差等數(shù)據(jù)結(jié)合實(shí)際分析解題即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，七年級10個(gè)班的餐廚垃圾質(zhì)量中， 出現(xiàn)的此時(shí)最多，即眾數(shù)是 ；
由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，
八年級的A等級的班級數(shù)為10×20%=2個(gè)，八年級共調(diào)查10個(gè)班，故中位數(shù)為第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，A等級2個(gè)班，B等級的第3個(gè)數(shù)和第4個(gè)數(shù)是1.0和1.0，故八年級10個(gè)班的餐廚垃圾質(zhì)量的中位數(shù)為（1.0+1.0）÷2=1.0
；
（2）∵八年級抽取10個(gè)班級中，餐廚垃圾質(zhì)量為A等級的百分比是20%，
∴估計(jì)該校八年級各班這一天的餐廚垃圾質(zhì)量符合A等級的班級數(shù)為：30×20%＝6（個(gè)）；
答：估計(jì)該校八年級各班這一天的餐廚垃圾質(zhì)量符合A等級的班級數(shù)為6個(gè)．
（3）七年級各班落實(shí)“光盤行動”情況更好，因?yàn)椋?br>①七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的眾數(shù)0.8低于八年級各班的餐廚垃圾質(zhì)量的眾數(shù)1.0；
②七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量A等級的40%高于八年級各班餐廚垃圾質(zhì)量A等級的20%；
八年級各班落實(shí)“光盤行動”情況更好，因?yàn)椋?br>①八年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的中位數(shù)1.0低于七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的中位數(shù)1.1；
②八年級各班餐廚垃圾孩子里那個(gè)的方差0.23低于七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的方差0.26．
【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、用樣本估計(jì)總體等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
21. 三角形角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得兩條線段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例．
如圖1，中，是角平分線，則．小石同學(xué)學(xué)習(xí)了這個(gè)定理以后探究：三角形的外角平分線分對邊所得兩條線段與這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，下面是他的探究過程，請按要求完成．
已知：如圖2，已知及其外角．的角平分線交的延長線于點(diǎn)F．
求證：．

（1）尺規(guī)作圖：在圖2中作的平分線交的延長線于點(diǎn)F，在射線上截取，連接（不寫作法保留作圖痕跡）
（2）證明：
結(jié)合以上探究可知：三角形的一個(gè)外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊______ ⑤．
【答案】（1）見解析 （2）；；；；成比例
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)．
（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）證明，推出，，根據(jù)定理得到，再等量代換，即可得證．
【小問1詳解】
解：所作圖形，如圖所示，
【小問2詳解】
證明：是的角平分線
，
，，
，
，，
是的角平分線，
，
，，
．
∴三角形的一個(gè)外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊成比例．
故答案為：；；；；成比例．
22. 某中學(xué)正值100周年校慶，該校準(zhǔn)備制作一批紀(jì)念品，經(jīng)過招標(biāo)比選等正規(guī)程序，該校最終找到了滿意的生產(chǎn)廠家，今年3月初，廠家提供第一批紀(jì)念品，學(xué)?；?300元；三月中旬，廠家提供第二批紀(jì)念品，學(xué)校花了4000元，已知廠家生產(chǎn)第二批紀(jì)念品時(shí)，改進(jìn)了技術(shù)，降低了成本，單價(jià)隨之降低，第一批紀(jì)念品的單價(jià)是第二批單價(jià)的1.1倍，且第二批紀(jì)念品比第一批紀(jì)念品多25個(gè)．
（1）求第二批紀(jì)念品的單價(jià)；
（2）兩批紀(jì)念品送達(dá)該校后，受到該校師生的青睞，學(xué)校準(zhǔn)備再定制一批，經(jīng)和商家協(xié)商，在第二批紀(jì)念品的基礎(chǔ)上，若每多預(yù)定10個(gè)，單價(jià)降低1元，由于成本原因，紀(jì)念品單價(jià)不得低于25元，學(xué)校經(jīng)過測算，隨即和廠家簽訂第三批紀(jì)念品的訂單，共計(jì)6240元，求第三批紀(jì)念品的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）第二批紀(jì)念品的單價(jià)為40元
（2）240個(gè)
【解析】
【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)第二批紀(jì)念品的單價(jià)為x元，則第一批紀(jì)念品的單價(jià)為元，列出方程求解即可．
（2）先求出第二批紀(jì)念品數(shù)量，設(shè)定制第三批紀(jì)念品的數(shù)量為y個(gè)，則單價(jià)為元，根據(jù)題意列出方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)第二批紀(jì)念品的單價(jià)為x元，則第一批紀(jì)念品的單價(jià)為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)得是原方程的解，
答：第二批紀(jì)念品的單價(jià)為40元；
【小問2詳解】
解：購進(jìn)第二批紀(jì)念品的數(shù)量為（個(gè)），
設(shè)定制第三批紀(jì)念品的數(shù)量為y個(gè)，則單價(jià)為元，
根據(jù)題意，得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，
答：定制第三批紀(jì)念品的數(shù)量為240個(gè)．
23. 如圖，在中，，，，．若動點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著勻速運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為秒，的面積為．

（1）直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并注明的取值范圍；
（2）若函數(shù)，請?jiān)诮o定的平面直角坐標(biāo)系中畫出和的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接估計(jì)時(shí)，的取值范圍．（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）
【答案】（1）
（2）圖見解析，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小
（3）
【解析】
【分析】本題考查了含直角三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、畫函數(shù)圖象、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）由直角三角形的性質(zhì)得出，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，即時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，即，作于；分別根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)即可；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出答案．
【小問1詳解】
解：在中，，，，
，
動點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著勻速運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為秒，
當(dāng)點(diǎn)在上，即時(shí)，，
的面積為，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，即，作于，
此時(shí)，
，
，
，，
，
的面積為，
綜上所述，；
【小問2詳解】
解：畫出和的函數(shù)圖象，如圖所示，
由圖可得：當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減?。?br>小問3詳解】
解：由圖象可得，時(shí)，的取值范圍為．
24. 為助力體育強(qiáng)國的建設(shè)，實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的夢想，我校決定組織一場徒步鍛煉．如圖，徒步活動的起點(diǎn)位于點(diǎn)A處，終點(diǎn)位于點(diǎn)C處，現(xiàn)有兩條路線可以選擇：①；②；已知點(diǎn)A在點(diǎn)D的正西方向2000米處，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏西方向且距離E點(diǎn)600米處，點(diǎn)C在點(diǎn)E的正南方向，點(diǎn)B在點(diǎn)C的正西方向1400米處，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西方向（參考數(shù)據(jù)：，，，）
（1）求的長度（結(jié)果保留根號）；
（2）由于時(shí)間原因，學(xué)校決定選擇一條較短路線進(jìn)行鍛煉，請通過計(jì)算說明，他們應(yīng)該選擇路線①還是路線②？
【答案】（1）米
（2）應(yīng)該選擇路線①，見解析
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出適當(dāng)輔助線，構(gòu)造直角三角形并解直角三角形即可求解．
（1）延長交延長線于H，過A作交延長線于M，則可得四邊形是矩形，得；分別在中，利用解直角三角形的知識，即可求得，最后求得；
（2）根據(jù)（1）中所求，計(jì)算出，比較即可確定線路．
【小問1詳解】
解：延長交延長線于H，過A作交延長線于M，
由題意可得
，
四邊形是矩形，
；
中，，，，
，
，；
，
；
，
，
，
中，，，
，
，
，
；
答：長米．
【小問2詳解】
解：線路①：（米）；
線路②：（米）；
，
他們應(yīng)該選擇路線①．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），連接，，．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，連接，，當(dāng)線段長度取得最大值時(shí)，求的最小值；
（3）在（2）中線段長度取得最大值的條件下，連接，將拋物線沿射線方向平移得到新拋物線，使得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線相交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)N為新拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）的最小值為
（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)有或
【解析】
【分析】（1）先求出，，然后用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式為，過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)E，證明得，設(shè)，則，表示出的長，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)將拋物線沿射線方向平移（）個(gè)長度單位，則將拋物線沿軸向右平移（）個(gè)長度單位，向下平移個(gè)長度單位，由二次函數(shù)的圖象的平移得，由經(jīng)過點(diǎn)得 ，過點(diǎn)作軸交于，過點(diǎn)作直線交軸于，由勾股定理逆定理得是直角三角形，可得， ①當(dāng)在射線的下方時(shí)，聯(lián)立直線的解析式及的解析式，即可求解；②當(dāng)在射線的上方時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)得，由待定系數(shù)法得直線的解析式為，求出的坐標(biāo)，從而求出，的長，可求出直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式及及的解析式，即可求解．
【小問1詳解】
解：令得，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入，得
，
解得，
∴；
【小問2詳解】
解：設(shè)直線的解析式為，
則，
∴，
，
，，
，，
，
如圖過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)E，
∵，
∴，
，
，
∴
設(shè)，
則，
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
作點(diǎn)B關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)P，Q，共線時(shí)，取得最小值，
∴的最小值為；
【小問3詳解】
解：將拋物線沿射線方向平移得到新拋物線，
且，
設(shè)將拋物線沿射線方向平移（）個(gè)長度單位，
則將拋物線沿軸向右平移（）個(gè)長度單位，向下平移個(gè)長度單位，
，
新拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，
如圖，
過點(diǎn)作軸交于，過點(diǎn)作直線交軸于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
①當(dāng)在射線的下方時(shí)，如圖，
當(dāng)軸時(shí)，
，
，
，
聯(lián)立，
解得：，，
，
，
解得：，，
；
②當(dāng)在射線的上方時(shí)，如圖，
直線交軸于，
由①得，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是此方程的根；
，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，，
；
綜上所述：的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題中的線段最值及角度問題，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等，能找出求線段和最小值的條件，并能根據(jù)動點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
26. 在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，，，求的長；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，延長至點(diǎn)，連接，滿足，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，請用等式表示線段、和的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖，若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出此時(shí)的面積．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查三角形綜合，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，二次根式，三角形內(nèi)角和定理，中位線，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理等，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用，，求出，再求出，再結(jié)合，得出，分別在和中進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，結(jié)合直角三角形和對頂角得出，可證，再證明，利用線段和差證明，結(jié)合，可以證明，再證明，得，，得，得，通過即可證明；
（3）先確定動點(diǎn)的軌跡（可通過過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，也可以利用瓜豆原理得出），利用點(diǎn)到直線的上一點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)到直線的垂線段長度得出最小值時(shí)的點(diǎn)，利用得出，結(jié)合是定值，可得點(diǎn)的軌跡，利用兩點(diǎn)之間線段最短得出的最小值時(shí)的點(diǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵為中點(diǎn)，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即；
【小問3詳解】
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長至，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，
∴，，，
由旋轉(zhuǎn)可得，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
可知直線是固定直線，
∵點(diǎn)為動點(diǎn)，
∴點(diǎn)的軌跡為直線（也可以直接利用瓜豆原理，點(diǎn)的軌跡為直線，則點(diǎn)軌跡為直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)），
由點(diǎn)到直線的上一點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)到直線的垂線段長度，
過點(diǎn)作直線的垂線，垂足即為最小值時(shí)的點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
作的外接圓，圓心為，連接，，在上任取一點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴垂直平分，設(shè)垂足為點(diǎn)，
∴， ，
∴，，
∴是定圓，
∴點(diǎn)軌跡為在三角形內(nèi)部的弧，
利用兩點(diǎn)之間線段最短得，
且當(dāng)、、共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)即為最小時(shí)的點(diǎn)，
由是定值，
則點(diǎn)即為最小時(shí)的點(diǎn)，
∵，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴．
女1
女2
男1
男2
女1
﹣﹣﹣
（女1，女2）
（女1，男1）
（女1，男2）
女2
（女2，女1）
﹣﹣﹣
（女2，男1）
（女2，男2）
男1
（男1，女1）
（男1，女2）
﹣﹣﹣
（男1，男2）
男2
（男2，女1）
（男2，女2）
（男2，男1）
﹣﹣﹣
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
A等級所占百分比
七年級
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年級
1.3
b
1.0
0.23
m%
是的角平分線
______①
，
______② ，______③
是的角平分線
______ ④
，

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