目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc18468" 題型01 用基底表示向量 PAGEREF _Tc18468 \h 1
\l "_Tc12212" 題型02 平面向量共線定理推論 PAGEREF _Tc12212 \h 4
\l "_Tc15789" 題型03向量數(shù)量積（幾何意義法） PAGEREF _Tc15789 \h 7
\l "_Tc6008" 題型04向量數(shù)量積（自主建系法） PAGEREF _Tc6008 \h 11
\l "_Tc18918" 題型05 向量數(shù)量積（極化恒等式法） PAGEREF _Tc18918 \h 15
\l "_Tc21089" 題型06 向量投影（投影向量） PAGEREF _Tc21089 \h 19
\l "_Tc31757" 題型07 向量模（含最值范圍） PAGEREF _Tc31757 \h 22
\l "_Tc3678" 題型08向量夾角（含最值范圍） PAGEREF _Tc3678 \h 24
\l "_Tc24413" 題型09復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 PAGEREF _Tc24413 \h 27
題型01 用基底表示向量
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京豐臺(tái)·二模）如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、用基底表示向量
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】
.
故選：D
【典例1-2】（2023·北京海淀·一模）在中，，的平分線交BC于點(diǎn)D．若，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用
【分析】設(shè)，由角平分線定理求得，然后由向量的線性運(yùn)算可用表示出，從而求得，得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以?br>又是的平分線，所以，，
，
又，所以，
所以．
故選：B．
【變式1-1】（2023·北京西城·一模）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】由題意作出圖形,如圖,則
，
故選：A.
【變式1-2】（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)．若，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】,
所以，
故選：D
【變式1-3】（23-24高一下·北京豐臺(tái)·期末）在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．記，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量
【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接求解即可.
【詳解】如圖，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，

所以，
所以，
所以.
故選：B.
題型02 平面向量共線定理推論
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量共線定理的推論
【分析】根據(jù)題意得，由三點(diǎn)共線求得，利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】由，得，且，
而三點(diǎn)共線，則，即，
所以，
所以.
故選：A.
【典例1-2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知的重心為G，經(jīng)過點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則 .
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、平面向量共線定理的推論
【分析】先由向量的線性運(yùn)算求得，再由G，D，E三點(diǎn)共線得，即可求得.
【詳解】
如圖，設(shè)F為BC的中點(diǎn)，則，又，，
則，又G，D，E三點(diǎn)共線，∴，即.
故答案為：3.
【變式1-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線定理的推論
【分析】化簡(jiǎn)得，再利用三點(diǎn)共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.
【詳解】，即，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，
則，解得.
故選：A.
【變式1-2】（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若（且），則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量與幾何最值、平面向量共線定理的推論、求投影向量
【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解．
【詳解】設(shè)，（且），
則（且），
則在線段上，如圖所示，

當(dāng)與重合時(shí)，在上的投影向量的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為；
當(dāng)與重合時(shí)，在上的投影向量的長(zhǎng)度取得最小值，最小值為；
則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是．
故選：B.
【變式1-3】（2025高三·北京·專題練習(xí)）已知是的重心，過點(diǎn)作一條直線與邊，分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)，與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)，，則的最小值是 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、基本不等式求和的最小值、平面向量共線定理的推論
【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算可得，由三點(diǎn)共線可得，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】如圖：
取中點(diǎn)，則，，
，
三點(diǎn)共線，，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).
故答案為：.
題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京朝陽·一模）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點(diǎn)，則（ ）

A．26B．13C．10D．5
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義
【分析】由中點(diǎn)關(guān)系可得，利用為的外接圓的圓心，可得，同理可得，即可得出結(jié)論．
【詳解】由于是邊的中點(diǎn)，可得，
是的外接圓的圓心，
，
同理可得，
．
故選：B
【典例1-2】（2024·北京門頭溝·一模）已知是邊長(zhǎng)為的正△邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得，再由即可求范圍.
【詳解】由在邊上運(yùn)動(dòng)，且△為邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以，則，
由.
故選：D
【變式1-1】（23-24高三下·北京西城·開學(xué)考試）如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點(diǎn)，則（ ）

A．10B．13C．18D．26
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解可得可得與，再根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得出結(jié)論．
【詳解】是邊的中點(diǎn)，可得，
是的外接圓的圓心，
，
同理可得，
．
故選：B．
【變式1-2】（23-24高一下·北京海淀·期中）如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，，，AB=1，AD=3，，設(shè)點(diǎn)P為直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義
【分析】依題意過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，即可求出，設(shè)與的夾角為，結(jié)合圖形即可得到在方向上的投影的取值范圍，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，
設(shè)與的夾角為，
因?yàn)辄c(diǎn)為直角梯形內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），所以在方向上的投影，且，
所以
故選：A
【變式1-3】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）在年月日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來了一場(chǎng)視覺盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則 ；若點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值是 ．
【答案】 /0.5 32/1.5
【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義
【分析】由題可得，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則即得，然后利用數(shù)量積的定義結(jié)合正六邊形的性質(zhì)即得.
【詳解】由題可知，
∴，
∴，
設(shè)向量的夾角為，設(shè)在直線的射影為，要使的最大則，因?yàn)椋鐖D可知當(dāng)在處時(shí)，最大，
此時(shí).
故答案為：；.
題型04向量數(shù)量積（自主建系法）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）已知點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正八邊形的邊上，點(diǎn)在邊上，則 的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量與幾何最值
【分析】以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算即可.
【詳解】以為原點(diǎn)， 為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，
由于正八邊形的每個(gè)外角都為；
則，
所以.
故選：C
【典例1-2】（2024·北京昌平·二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足．當(dāng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，取得最大值．
【答案】 /0.5
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】第一空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分分別表示出，再計(jì)算數(shù)量積即可；第二空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算數(shù)量積的最大值即可.
【詳解】根據(jù)題意，建立以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如圖

則
因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，
所以；
如圖，

因?yàn)?，所以?br>所以，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
故答案為：；.
【變式1-1】（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示
【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示數(shù)量積，并求最小值，求得的坐標(biāo)，即可求解.
【詳解】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由，，則，
所以，，，設(shè)，
則，，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.
故選：B
【變式1-2】（2024·北京東城·一模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量與幾何最值、數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】通過建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到的軌跡方程，最后得到的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.
【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下直角坐標(biāo)系；
則，，，
設(shè)，則，，
則，
即，則，其中，，
則，
則，
故選：D.
【變式1-3】（2024·北京通州·一模）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P在AB邊上，則向量在向量上的投影向量的長(zhǎng)度是 ，的最大值是 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量
【分析】根據(jù)投影向量的概念，可求得向量在向量上的投影向量的長(zhǎng)度；
建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.
【詳解】由題意可得 ，
即向量在向量上的投影向量的長(zhǎng)度是 ；
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè) ，則 ,
故 ，
則，
當(dāng)時(shí)，取最大值為 ，
故答案為：；
題型05 向量數(shù)量積（極化恒等式法）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，是圓O的一條直徑且，是圓O的一條弦，且，點(diǎn)P在線段上，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】由題意可得，則當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，然后結(jié)合圓的性質(zhì)可求出的最小值，從而可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
為使最小，只需最小，
所以只需，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時(shí)為中點(diǎn)，
又，因此，
所以的最小值為.
故選：B
【典例1-2】（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為2的正方體，點(diǎn)P是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，該正方體內(nèi)切球的一條直徑是MN，則的取值范圍是 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量與幾何最值、多面體與球體內(nèi)切外接問題
【分析】利用極化恒等式化為，從而轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到正方體中心的最大與最小距離問題，從而即可求解.
【詳解】
設(shè)內(nèi)切球的球心為，
由，
已知正方體的棱長(zhǎng)為2，所以內(nèi)切球的直徑，
所以，由于點(diǎn)P是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，
可知：，即，
故答案為：.
【變式1-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量與幾何最值、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)，結(jié)合正六邊形的性質(zhì)求解的范圍即可.
【詳解】如圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，，，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值4，
當(dāng)點(diǎn)為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值為8．
故選：D
【變式1-2】（24-25高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）在中，在的三邊上運(yùn)動(dòng)，是外接圓的直徑，若，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理求外接圓半徑、余弦定理解三角形、向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】設(shè)外接圓圓心為，半徑為，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積可得，再結(jié)合圓的幾何性質(zhì)確定其最大最小值可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)外接圓圓心為，半徑為，
由余弦定理有，所以，
由正弦定理有，即，
，
設(shè)到三邊，，的距離分別為，則
，，
.
所以的最小值為，最大值為，
即的最小值為，最大值為，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
題型06 向量投影（投影向量）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高一下·北京大興·期中）已知是夾角為的兩個(gè)非零向量，且，若向量在向量上的投影向量為，則（ ）
A．B．
C．4D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積
【分析】設(shè)，計(jì)算出向量在向量上的投影向量為，由題知投影向量為，所以，解出的值.
【詳解】設(shè)，則，，
所以向量在向量上的投影的數(shù)量為，
因?yàn)橥队跋蛄渴?，所以，解得?br>故選：A.
【典例1-2】（23-24高二上·北京通州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、求投影向量
【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以，，
所以，
在的投影向量為.
故答案為：12；.
【變式1-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，在上的投影向量為，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】在上的投影向量為，由投影向量公式可得，再由，兩邊同時(shí)平方可求出.
【詳解】向量，，
在上的投影向量為，則，得，
，則，
解得.
故答案為：
【變式1-2】（23-24高一下·北京·期中）已知向量，，則 ；向量在上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、求投影向量
【分析】運(yùn)用平面向量加法、向量數(shù)量積、向量的模、投影向量公式計(jì)算即可.
【詳解】解：，，
則；
，，
故向量在上的投影向量的坐標(biāo)為：.
故答案為：；.
【變式1-3】（23-24高一下·北京門頭溝·期中）設(shè)向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影數(shù)量為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、平面向量數(shù)量積的幾何意義
【分析】由向量的投影公式即可求解.
【詳解】由題意在方向上的投影數(shù)量為.
故答案為：.
題型07 向量模（含最值范圍）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三上·北京豐臺(tái)·期中）已知向量滿足，且，則（ ）
A．12B．C．4D．2
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】借助向量的模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】.
故選：B.
【典例1-2】（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，則的取值范圍是
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、坐標(biāo)計(jì)算向量的模
【分析】求出，再用，的夾角表示出即可得解.
【詳解】因，則，設(shè)，的夾角為，
于是得，而，
因此，，即，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【變式1-1】（23-24高一上·北京西城·期末）如圖，AB為半圓的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量的模、已知數(shù)量積求模、向量與幾何最值
【分析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運(yùn)算得出，從而可求出答案.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C為的中點(diǎn)，，所以，
所以
，
因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)，所以，所以，
所以的取值范圍是,
故選：D.
【變式1-2】（23-24高三上·北京昌平·期末）已知向量，滿足，在方向上的投影為2，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模
【分析】由題意得到投影，得出和，即可得到的最小值.
【詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队盀?，所以.
所以，且.
因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
【變式1-3】（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)，，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是 ， .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的有關(guān)計(jì)算、已知數(shù)量積求模
【分析】根據(jù)扇形面積公式，即可求解扇面的面積；根據(jù)向量數(shù)量積公式求模.
【詳解】由條可知，，，
所以扇形的面積，扇形的面積,
所以扇面的面積是；
.
故答案為：；
題型08向量夾角（含最值范圍）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、向量夾角的計(jì)算、基本不等式求和的最小值
【分析】設(shè)，，則，設(shè)，，，根據(jù)均值不等式計(jì)算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.
【詳解】如圖所示：設(shè)，，則，設(shè)，，，
，
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，
當(dāng)最小時(shí)，最大，
故與夾角的正弦值的最大值為.
故選：B
【典例1-2】（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】已知模求數(shù)量積、基本不等式求積的最大值、向量夾角的計(jì)算
【分析】設(shè)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用向量夾角余弦的表示，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值為，
當(dāng)與反向時(shí)，取得最小值為，故，
又，則，
所以，
設(shè)與的夾角為，則，
由于在上單調(diào)遞減，故要求的最大值，則求的最小值即可，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，即的最小值為，
因?yàn)?，所以此時(shí)，即向量與夾角的最大值為.
故答案為：
【變式1-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）向量且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)題意，分別求出和的值，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積求解即可.
【詳解】由已知可得，
同理，
又，
所以與的夾角為.
故選：D.
【變式1-2】（2024·貴州遵義·二模）已知單位向量滿足，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】已知模求數(shù)量積、向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】由求出，再求出與數(shù)量積和模長(zhǎng)，由向量的夾角公式可得出答案.
【詳解】由平方可得，即，
則，則，
又，
所以，
故與的夾角為.
故選：B
【變式1-3】（23-24高三上·北京·期中）設(shè)向量，向量，向量，若且，則與的夾角大小為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、向量夾角的計(jì)算、向量垂直的坐標(biāo)表示
【分析】根據(jù)題意，求出，，再求出與，由向量的夾角公式代入即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意，向量，，
若，則有，解可得，
若，則有，解可得；
則，，
設(shè)與的夾角為，
，，則有
，
又∵，∴，
即與的夾角大小為，
故答案為：.
題型09復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算
【分析】由可得，利用復(fù)數(shù)的除法可得z，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念以及模的計(jì)算，即得答案.
【詳解】由，可得，
所以，
故，
故選：C
【典例1-2】（2024·北京海淀·二模）若，則 .
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，解得.
故答案為：1.
【變式1-1】（2024·北京·三模）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，
所以，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第三象限.
故選：C.
【變式1-2】（2024·北京通州·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出結(jié)果即可.
【詳解】由題意可得，
所以，
故選：A.
【變式1-3】（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.
【詳解】，
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，
所以，得.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·北京西城·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得出，再運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，，
所以.
故選：D．
2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】由，得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D.
3．（2023·北京海淀·二模）已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、平行向量（共線向量）
【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.
【詳解】若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的充分條件，
若且，則與方向相同，
故此時(shí)，所以“”是“存在存在，使得”的必要條件，
故“”是“存在，使得”的充分必要條件.
故選：C.
4．（2024·北京海淀·一模）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算、向量模的坐標(biāo)表示
【分析】將兩邊同時(shí)平方，將條件帶入計(jì)算即可.
【詳解】由已知，
所以，
得，又，
所以.
故選：C.
5．（2024·黑龍江·二模）已知，，在上的投影向量為，則向量與夾角余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、向量夾角的計(jì)算、求投影向量
【分析】根據(jù)投影向量公式可求向量與夾角余弦值.
【詳解】在上的投影向量為，故，
而，故，故，
故即，
故選：A.
6．（2024·北京門頭溝·一模）在中，，， 且， 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知模求數(shù)量積
【分析】將兩邊平方，即可得到，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，
所以，即，
所以.
故選：B
7．（2023·北京豐臺(tái)·二模）已知A，B，C是單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量與幾何最值
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，表達(dá)出，結(jié)合，求出最小值.
【詳解】以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，
故，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
由于，故當(dāng)時(shí)，最小，故最小值為，
此時(shí)，滿足要求，
故選：B
【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
8．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿足，設(shè)與的夾角為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、向量夾角的計(jì)算
【分析】設(shè)，則可得，利用向量的夾角公式可求的最小值.
【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋?br>所以，所以，
則，
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
故選：B．
9．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，邊長(zhǎng)為的等邊，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、向量與幾何最值、二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、利用平面向量基本定理求參數(shù)
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得半圓弧的方程為：，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則算出關(guān)于的式子，利用三角換元與正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】由題意可以所在直線為x軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
結(jié)合已知得，B?2,0，，
半圓弧的方程為：，
設(shè)，則，，，
由得：，
解得：，
所以，
因?yàn)樵谏?，所以?br>又，
則可設(shè)，，，
將，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范圍是.
故選：D.
10．（2024·天津和平·二模）平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量與幾何最值
【分析】由已知，得，，，四點(diǎn)共圓，從而判斷點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點(diǎn)），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得出結(jié)論．
【詳解】由，，，
可得，故，
又，所以，
以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，
如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓?，兩點(diǎn)），
則，
又表示在上的投影，
由圖可知，，，
故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），
即的最小值為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①由，得到，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，
②看作是在上的投影,結(jié)合圖形特征可得投影的取值范圍.
11．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）向量，滿足，，且，不等式恒成立.函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、用基底表示向量
【分析】先根據(jù)向量的夾角、模長(zhǎng)及恒成立求出，利用距離和的最值求解的最小值.
【詳解】作，，，
因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ瑒t，即，
從而有，故.
設(shè)，，
則.
作點(diǎn)E關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有二，一是恒成立條件的轉(zhuǎn)化，可求的值；二是利用轉(zhuǎn)化求得函數(shù)的最小值.
12．（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.
【詳解】因?yàn)槭堑耐庑?，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

所以，，設(shè)，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個(gè)就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.
二、填空題
13．（2024·北京東城·二模）若復(fù)數(shù)滿足.則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析求解.
【詳解】因?yàn)椋傻茫?br>所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故答案為：.
14．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若．
（1）的取值范圍是 ；
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、平面向量基本定理的應(yīng)用、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、由圓心（或半徑）求圓的方程
【分析】建立以A為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，可得P的軌跡方程，由P的軌跡方程可知，即，從而得第一問答案；將代入P的軌跡方程得，設(shè)，利用三角函數(shù)求得當(dāng)時(shí)，取最大值，代入即可得第二空答案.
【詳解】解：建立以A為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖所示：
由可得P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
設(shè)，則有，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
由P的軌跡方程可知，
即，所以，
所以的范圍為：；
將代入，得，
所以點(diǎn)在圓上，
設(shè)，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，
所以，
所以，
所以.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于較復(fù)雜的平面向量中涉及范圍的問題，通過建模，將問題轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從代數(shù)角度出發(fā)進(jìn)行解答，從而降低難度.
15．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，是圓O的兩條直徑，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，若，則 .
【答案】/1.1875
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量在幾何中的其他應(yīng)用
【分析】利用極化恒等式將化簡(jiǎn)成含有半徑的式子，即可轉(zhuǎn)化成的形式，可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，
由題意得
，
且
，，
所以，所以.
故答案為：
16．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，P在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取最大值時(shí)， ．
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、由圓心（或半徑）求圓的方程
【分析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在單位圓上，所以利用坐標(biāo)法來求向量積的最大值較為方便，即求夾角余弦值.
【詳解】
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸，垂直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，所以，?br>設(shè)Px,y，圓O方程為，
則，，
所以．
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
此時(shí)，且，，
所以，，則．
故答案為：.
17．（2024·上海寶山·一模）已知平面向量滿足：，，且對(duì)任意的單位向量滿足，則的最大值為 .（用含的式子表示）
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】已知模求數(shù)量積
【分析】討論時(shí)情況以及判斷的范圍，從而設(shè)，表示出的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可求解,
【詳解】由題意有：當(dāng)時(shí)，可得當(dāng)與同向時(shí)，取到最大值，
即此時(shí)恒成立，結(jié)合，即，
此時(shí)；
由于，
所以假設(shè)，此時(shí)，不符合題意；
故時(shí)，不妨設(shè)當(dāng)為銳角，取到最大值，
此時(shí)也為銳角，
此時(shí)，
，（其中為輔助角）
而，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
依題意可得恒成立，解得，
由于在時(shí)單調(diào)遞減，故，
故令，結(jié)合解得
即得，；
由于時(shí)，，
所以的最大值為或.
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于設(shè)出結(jié)合三角恒等變換求出的表達(dá)式，進(jìn)而求解.
如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
（，為實(shí)數(shù)），若，，三點(diǎn)共線
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，
根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，
用坐標(biāo)表示點(diǎn)
建立函數(shù)關(guān)系
根據(jù)函數(shù)關(guān)系求值
①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則
②三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，所以
①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量計(jì)算公式:
當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；
當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；
當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以
綜上可知，對(duì)于任意的，都有.
（1）我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下： 設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為
，
即
（2）規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即把滿足（，）的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記作或
復(fù)數(shù)的除法法則
（）
由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

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