A．B．C．D．
【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s＝AB+得答案．
【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，
∵C是AB的中點，D在上，CD⊥AB，
∴延長DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，
∴s＝AB+＝2+＝2+＝．
故選：B．
【點評】本題考查扇形及其應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，已知在扇形OAB中，半徑OA＝OB＝3，，圓O1內(nèi)切于扇形OAB（圓O1和OA，OB，弧AB均相切），作圓O2與圓O1，OA，OB相切，再作圓O3與圓O2，OA，OB相切，以此類推．設(shè)圓O1，圓O2，…的面積依次為S1，S2…，那么S1+S2+?+Sn＝ （1﹣） ．
【分析】如圖，設(shè)圓O1，圓O2，圓O3，…，圓On的半徑分別為r1，r2，r3，…，rn．根據(jù)圓切線的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得{rn}是以r1＝1為首項，以為公比的等比數(shù)列，由圓的面積公式可知{Sn}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項求和公式計算即可求解．
【解答】解：如圖，設(shè)圓O1與弧AB相切于點D，
圓O1，圓O2與OA分別切于點C，E，則O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．
設(shè)圓O1，圓O2，圓O3，…，圓On的半徑分別為r1，r2，r3，…，rn．
因為，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，
則，即，解得r1＝1．
在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，
則，即，解得．
同理可得，，
所以{rn}是以r1＝1為首項，以為公比的等比數(shù)列．
又圓的面積為S＝πr2，
所以面積S1，S2，S3，…，Sn構(gòu)成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則．
故答案為：．
【點評】本題考查扇形面積公式，屬于中檔題．
3．（2023?柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂．作為最杰出的文藝復興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形．如圖，所在圓的圓心O在線段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，則扇形OAC的面積為 ．
【分析】根據(jù)已知條件將R表示出來，直接打入扇形OAC的面積公式即可．
【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB，設(shè)所在圓的半徑為R，
則|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝α，|AC|＝m，
所以|AD|＝mcsα，|CD|＝msinα，
所以，|OD|＝R﹣mcsα．
在Rt△ODC中，有|CD|2+|OD|2＝|OC|2，
∴（msinα）2+（R﹣mcsα）2＝R2，
整理可得，R＝，
因為|AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝π﹣2α，
所以，扇形OAC的面積為S＝（π﹣2α）R2＝．
故答案為：．
【點評】本題考查扇形的面積，屬于中檔題．
二．任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）
4．（2023?重慶模擬）若點在角α的終邊上，則cs2α＝ ．
【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得csα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cs2α的值．
【解答】解：因為點，即在角α的終邊上，且|OM|＝1，
所以，則．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023?江蘇模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點，將線段OA繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段OB，則點B的橫坐標為 ．
【分析】利用三角函數(shù)定義可知，射線OA對應(yīng)的角α滿足，再利用任意角的關(guān)系和兩角差的余弦公式即可得點B的橫坐標為．
【解答】解：易知在單位圓上，記終邊在射線OA上的角為α，如下圖所示：
根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，
OA繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段OB，則終邊在射線OB上的角為，
所以點B的橫坐標為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．
三．三角函數(shù)線（共1小題）
6．（2022?甲卷）已知a＝，b＝cs，c＝4sin，則（ ）
A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞b＞cD．a(chǎn)＞c＞b
【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝csx+，（0＜x＜1），可得cs，即b＞a，利用三角函數(shù)線可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．
【解答】解：設(shè)f（x）＝csx+，（0＜x＜1），則f′（x）＝x﹣sinx，
設(shè)g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣csx＞0，
故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，即g（x）＞g（0）＝0，
即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以f（）＞f（0）＝0，可得cs，故b＞a，
利用三角函數(shù)線可得x）時，tanx＞x，
∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．
綜上：c＞b＞a，
故選：A．
【點評】本題考查了三角函數(shù)不等式的證明與應(yīng)用，考查了運算能力，屬難題．
四．三角函數(shù)的周期性（共4小題）
7．（2023?日照一模）已知函數(shù)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線對稱，則＝ ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，以及對稱軸的性質(zhì)，求出f（x），再將x＝代入上式，即可求解．
【解答】解：函數(shù)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線對稱，
則，
∵，
∴ω＝2，，
故f（x）＝，即．
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023?佛山一模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T為f（x）的最小正周期，且滿足．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有2個極值點，則ω的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)題意可得為f（x）的一條對稱軸，即可求得，再以為整體分析可得，運算求解即可得答案．
【解答】解：由題意可得：f（x）的最小正周期，
∵，且，則為f（x）的一條對稱軸，
∴，解得，
又∵，則，
故，
∵x∈（0，π），則，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有2個極值點，則，解得，
故ω的取值范圍是．
故答案為：．
【點評】本題考查正弦型函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的性質(zhì)問題，屬于中檔題．
9．（2023?河南模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，其最小正周期為T，且，則ω的值為 ．
【分析】先化簡f（x），然后由關(guān)于點中心對稱可得到，結(jié)合即可求解．
【解答】解：，
因為圖象關(guān)于點中心對稱，所以，所以，
所以，
又因為最小正周期為T，且，所以可得，則，
所以當k＝1時，ω的值為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)解析式的確定，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
10．（2023?浙江模擬）寫出一個滿足下列條件的正弦型函數(shù)，f（x）＝ （答案不唯一） ．
①最小正周期為π；
②f（x）在上單調(diào)遞增；
③?x∈R，|f（x）|≤2成立．
【分析】設(shè)f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，根據(jù)?x∈R，|f（x）|≤2，則可設(shè)A＝2，根據(jù)最小正周期為π，可得ω＝2，通過整體換元法則可得到，取即可．
【解答】解：設(shè)f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，因為?x∈R，|f（x）|≤2，
所以f（x）max≤2，f（x）min≥﹣2，
所以|A|≤2，不妨設(shè)A＝2，
因為f（x）最小正周期為π，所以，
因為f（x）在上單調(diào)遞增，所以，
所以，
當k0＝0時，，不妨設(shè)，
所以滿足條件之一的．
故答案為：（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
五．運用誘導公式化簡求值（共1小題）
11．（2023?韶關(guān)二模）已知銳角α滿足，則sin（π﹣α）＝ ．
【分析】利用二倍角的正切公式化簡已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導公式即可求解．
【解答】解：因為銳角α滿足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，
所以tanα＝＝2或﹣（舍去），
可得csα＝sinα，
所以sin2α+cs2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，
則sin（π﹣α）＝sinα＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了二倍角的正切公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
六．正弦函數(shù)的圖象（共12小題）
12．（2023?咸陽模擬）已知函數(shù)．對于下列四種說法：
①函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點成中心對稱；
②函數(shù)f（x）在（﹣π，π）上有8個極值點；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增．
其中正確的序號是 ②③ ．
【分析】對于①，，則函數(shù)f（x）的圖像不關(guān)于點成中心對稱；對于②，由x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得取到極值點的位置；對于③，由x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的最值；對于④，由x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
【解答】解：對于①，∵，∴f（x）的圖像不關(guān)于點成中心對稱，錯誤；
對于②，x∈（﹣π，π），則，則當分別取時，函數(shù)f（x）取到極值，正確；
對于③，，則，，正確；
對于④，，則，由于正弦函數(shù)在上不單調(diào)，錯誤．
故答案為：②③．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（2023?北海模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則φ＝ ．
【分析】根據(jù)的圖象關(guān)于點對稱，由，k∈Z求解．
【解答】解：因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，
因為，
所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2023?新疆模擬）以函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的圖象上相鄰三個最值點為頂點的三角形是正三角形，則ω＝ ．
【分析】作出函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的大致圖像，先由正弦函數(shù)的性質(zhì)得AB＝T，CD＝2，再由正三角形的性質(zhì)推得，從而利用三角函數(shù)的周期公式即可得解．
【解答】解：作出函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的大致圖像，
不妨取如圖的相鄰三個最值點，
設(shè)其中兩個最大值點為A，B，最小值點為C，過C作CD⊥AB交AB于D，
如圖，
根據(jù)正弦函數(shù)y＝sinωx（ω＞0）的性質(zhì)可知AB＝T，CD＝2，
因為△ABC是正三角形，所以，
故，
則，
又ω＞0，
則，
故，
所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．
15．（2023?惠州一模）函數(shù)的非負零點按照從小到大的順序分別記為x1，x2，…，xn，…，若，則xn的值可以是 （答案不唯一） ．（寫出符合條件的一個值即可）
【分析】根據(jù)零點的距離求出周期T，從而求出ω的值，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：由題意得：T＝2?＝π，故ω＝＝2，
故f（x）＝sin（2x+），
故x1＝﹣+＝，
x2＝+，
x3＝2?+，?????．
故答案為：（答案不唯一）．
【點評】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
16．（2023?攀枝花一模）若函數(shù)（ω＞0）在上單調(diào)，且在上存在極值點，則ω的取值范圍為 ．
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正弦函數(shù)的零點與極值，列出不等式轉(zhuǎn)化求解ω的取值范圍．
【解答】解：時，，
函數(shù)在上存在極值點，
故該極值點滿足 ，所以，
由于函數(shù)在上單調(diào)，故最小正周期，解得ω≤1，
所以 ，
當時，，則當x＝π時，，解得：，
綜上所述：，
即ω的取值范圍是 ．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
17．（2023?株洲一模）已知f（x）＝sinωx（ω∈N+），若在區(qū)間上存在兩個不相等的實數(shù)a，b，滿足f（a）+f（b）＝2，則ω可以為 5（答案不唯一） ．（填一個值即可）
【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得≥，解之可得答案．
【解答】解：f（x）＝sinωx≤1，ω∈N+，
若在區(qū)間上存在兩個不相等的實數(shù)a，b，滿足f（a）+f（b）＝2，
則在區(qū)間上f（x）至少存在兩個最大值，
∴≥，
∴ω≥5，又ω∈N+，
∴ω可以為5，
故答案為：5（答案不唯一）．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查理解能力與運算能力，屬于中檔題．
18．（2022?全國）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，則φ＝（ ）
A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ+（k∈Z）
C．2kπ﹣（k∈Z）D．2kπ﹣（k∈Z）
【分析】由題意，可得函數(shù)f（x）的一條對稱軸為x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再檢驗選項，可得結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，
∴函數(shù)f（x）的一條對稱軸為x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．
∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0時，
φ＝時，①不成立；當φ＝﹣時，①成立，
故φ＝2kπ﹣（k∈Z），
故選：D．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
19．（2022?新高考Ⅰ）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點（，2）中心對稱，則f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】由周期范圍求得ω的范圍，由對稱中心求解ω與b值，可得函數(shù)解析式，則f（）可求．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，
則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的圖像關(guān)于點（，2）中心對稱，∴b＝2，
且sin（+）＝0，則+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故選：A．
【點評】本題考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯思維能力與運算求解能力，是中檔題．
20．（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（ ）
A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]
【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的極值點和零點，求得ω的取值范圍．
【解答】解：當ω＜0時，不能滿足在區(qū)間（0，π）極值點比零點多，所以ω＞0；
函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，
ωx+∈（，ωπ+），
∴＜ωπ+≤3π，
求得＜ω≤，
故選：C．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點和零點，屬于中檔題．
21．（2023?金昌二模）若函數(shù)，又A（α，2），B（β，0）是函數(shù)f（x）的圖象上的兩點，且|AB|的最小值為，則的值為 ﹣1 ．
【分析】先根據(jù)最大值點和對稱中心的最小距離求出周期，再求出函數(shù)解析式，代入解析式結(jié)合誘導公式及特殊角的函數(shù)值求解即可．
【解答】解：因為A（α，2），B（β，0），所以|AB|＝，則，
所以，此時點A、B為函數(shù)上相鄰的最高點和對稱中心，
所以，所以，解得ω＝1，所以，
所以．
故答案為：﹣1．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題．
22．（2023?榆林三模）已知函數(shù)f（x）＝tan2x與的圖象在區(qū)間[﹣π，π]上的交點個數(shù)為m，直線x+y＝2與f（x）的圖象在區(qū)間[0，π]上的交點的個數(shù)為n，則m+n＝ 6 ．
【分析】直接利用正弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出交點的個數(shù)．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝tan2x與的圖象在區(qū)間[﹣π，π]上的圖象，
如圖所示：
故函數(shù)f（x）＝tan2x與函數(shù)g（x）＝sin（x﹣）在區(qū)間[﹣π，π]上的圖象上交點的個數(shù)為3，即m＝3，
直線x+y＝2與f（x）的圖象在區(qū)間[0，π]上的交點的個數(shù)為3，即n＝3，
故m+n＝6．
故答案為：6．
【點評】本題考查的知識要點：正弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的圖象，主要考查學生的理解能力和畫圖能力，屬于中檔題．
23．（2023?山西模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的．
（1）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的圖象與y軸距離最近的對稱軸方程；
（2）若f（x）在上有且僅有一個零點，求ω的取值范圍．
【分析】（1）由三角函數(shù)的圖象變換及對稱性質(zhì)即可判定；
（2）利用整體代換求得零點，再根據(jù)已知區(qū)間確定范圍即可．
【解答】解：（1）若f（x）的最小正周期為π，則，得ω＝2，
所以，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
取k＝0，得，取k＝﹣1，得，
因為，所以與y軸距離最近的對稱軸方程為．
（2）由已知得，
令，k∈Z，解得，k∈Z．
因為f（x）在上有且僅有一個零點，所以（k∈Z），
所以，
因為ω＞0，所以，解得，k∈Z，所以k＝1，
解得，
即ω的取值范圍為．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
七．正弦函數(shù)的單調(diào)性（共7小題）
24．（2023?長沙模擬）已知函數(shù)y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一條對稱軸為，且f（x）在上單調(diào)，則ω的最大值為 ．
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和對稱軸的幾何意義求解．
【解答】解：函數(shù)y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））一條對稱軸為，
∴，∴，
y＝sin（ωx+φ）的對稱軸可以表示為，
令k＝k2﹣k1，則在上單調(diào)，
則?k∈Z，使得解得，由，得k≤3，
當k＝3時，ω取得最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
25．（2023?湖南模擬）已知函數(shù)，x∈R，若，且f（x）在上單調(diào)遞增，則ω的值為 2 ．
【分析】將f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)，然后根據(jù)求出ω的值，根據(jù)f（x）在上單調(diào)遞增求出ω的范圍，即可得答案．
【解答】解：，
由，得，
故，∴ω＝12k+2，k∈Z，
又f（x）在上單調(diào)遞增，∴，又ω＞0，
∴，故當k＝0時，ω＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
26．（2023?吉林模擬）規(guī)定：設(shè)函數(shù)f（x）＝Max{sinωx，csωx}（ω＞0），若函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，則實數(shù)ω的取值范圍是 ．
【分析】討論f（x）＝csωx（ω＞0）和f（x）＝sinωx（ω＞0）的條件，時，，根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝Max{sinωx，csωx}（ω＞0），
當時，f（x）＝csωx（ω＞0），
當時，f（x）＝sinωx（ω＞0），時，，f（x）在上單調(diào)遞增，
則有或，
解得，當k＝0時，有解；
或，當k＝1時，有解．
實數(shù)ω的取值范圍是．
故答案為：．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
27．（2023?湛江二模）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為f（x）的一個零點，則f（x）在上單調(diào)遞 增 （填增或減），函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點個數(shù)為 9個 ．
【分析】利用已知可得﹣（﹣）≤T，即≤，進而由f（）＝sin（ω+）＝0，確定ω的值，進而可判斷f（x）在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的圖象的交點個數(shù)可得函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點個數(shù)．
【解答】解：∵函數(shù)在上具有單調(diào)性，
∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），
即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1時，ω＝3符合要求，此時f（x）＝sin（3x+），
當x∈時，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上單調(diào)遞增，
作出函數(shù)y＝f（x）與y＝lgx的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象共有9個交點，
∴函數(shù)y＝f（x）﹣lgx的零點個數(shù)為9個．
故答案為：增；9個．
【點評】本題考查求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，方程函數(shù)的零點的個數(shù)，屬中檔題．
28．（2023?汕頭二模）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【分析】（1）先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）先化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（1）tan2x﹣tanx≠0，即，則tanx≠0，即x≠kπ，k∈Z，
又tan2x，tanx有意義，則，k∈Z，
綜上可得，，k∈Z，則函數(shù)f（x）的定義域為；
（2）＝＝＝＝＝＝＝＝；
∵，則，
由，解得，
由，解得，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
29．（2023?南京二模）已知f（x）＝sinωx﹣csωx，ω＞0．
（1）若函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求f（）的值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（，0）對稱，且函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)，求ω的值．
【分析】（1）利用輔助角公式進行化簡，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期和ω即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性建立不等式關(guān)系進行求解即可．
【解答】解：f（x）＝sinωx﹣csωx＝2（sinωx﹣csωx）＝2sin（ωx﹣），
（1）若函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，
則，即T＝π，則，得ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x﹣），
則f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin（3π﹣）＝2sin（π﹣）＝2sin＝．
（2）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（，0）對稱，
則ω﹣＝kπ，k∈Z，
即ω＝3k+1，k≥0，
∵函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)，
∴ωx﹣∈[﹣，ω﹣]，則滿足ω﹣≤，即ω≤，得ω≤，
則當k＝0時，ω＝1滿足條件，k＝1時，ω＝4，不滿足條件．
即ω＝1．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡，利用周期和單調(diào)性，奇偶性建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
30．（2023?全國）已知函數(shù)，則（ ）
A．上單調(diào)遞增B．上單調(diào)遞增
C．上單調(diào)遞減D．上單調(diào)遞增
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
【解答】解：，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
當k＝0時，，
故f（x）在（﹣，）上單調(diào)遞增．
故選：A．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
八．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性（共2小題）
31．（2023?四川模擬）寫出曲線的一條對稱軸的方程： x＝ ．
【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．
【解答】解：對于曲線，令﹣＝kπ+，k∈Z，求得x＝2kπ+，k∈Z，
令k＝0，可得它的一條對稱軸的方程為x＝．
故答案為：x＝．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．
32．（2023?湖北模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若是函數(shù)y＝f（x）的圖像的一條對稱軸，是函數(shù)y＝f（x）的圖像的一個對稱中心，則ω的最小值為 ．
【分析】根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的對稱性列出方程，即可得到ω，從而得到結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)題意可得，ω×+φ＝，ω×（﹣）+φ＝k2π，k1，k2∈Z，
＝，k∈Z，
又ω＞0，故ωmin＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
九．余弦函數(shù)的圖象（共5小題）
33．（2023?綿陽模擬）已知函數(shù)f（x）＝4cs（2x+）﹣3，則f（x）在（﹣，）上的零點個數(shù)為 2 ．
【分析】由題意，本題即求函數(shù)y＝cst，t∈（ 0，）和直線y＝交點的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合，可得結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)
的零點個數(shù)，即方程cs（2x+）＝的
實數(shù)根的個數(shù)．
當x∈時，
t＝2x+∈（ 0，），
本題即求函數(shù)y＝cst，t∈（ 0，）和直線y＝交點的個數(shù)．
由于cs＝＞，
故函數(shù)y＝cst，t∈（ 0，）圖中藍色曲線和直線y＝交點的個數(shù)為2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
34．（2023?安康模擬）已知函數(shù)f（x）＝csωx（ω＞0）的圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間單調(diào)，則ω的一個取值是 1或3或5或7（寫出其中一個即可） ．
【分析】由f（x）的圖象關(guān)于對稱，求得ω＝1+2k，k∈Z，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得ω的范圍，即可求解．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝csωx的圖象關(guān)于對稱，可得，
解得，所以ω＝1+2k，k∈Z，
又因為f（x）在區(qū)間上單調(diào)，可得，
結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，
解得0＜ω≤8，
所以ω＝1或3或5或7．
故答案為：1或3或5或7（寫出其中一個即可）．
【點評】本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
35．（2023?山東模擬）若G（x，y）是函數(shù)y＝csx圖象上的任意一點，則是函數(shù)f（x）＝Acs（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象上的相應(yīng)的點，那么＝ 0 ．
【分析】由條件求出A，ω，φ，由此確定函數(shù)f（x）的解析式，再求．
【解答】解：因為點G（x，y）在y＝csx的圖象上，
則在f（x）＝Acs（ωx+φ）的圖象上，
所以y＝csx，，
所以，
由已知恒成立，又A＞0，ω＞0，
所以A＝2，ω＝1，即恒成立，
所以，又0＜φ＜π，
所以
所以，
于是．
故答案為：0．
【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
36．（2023?拉薩一模）已知函數(shù)在[﹣π，0]上有且僅有兩個零點．若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），對任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，則滿足條件的m的個數(shù)為 1或2 ．
【分析】已知條件求出ω的取值范圍，由題意f（m）為f（x）在[0，π]上的最小值，由的范圍，確定函數(shù)取最小值時點的個數(shù)．
【解答】解：函數(shù)在[﹣π，0]上有且僅有兩個零點，
ωx+∈[﹣ωπ，]，
∴由余弦函數(shù)的圖象得﹣＜﹣ωπ≤﹣，求得．
若m，n∈[0，π]，且f（m）＜f（n），
對任意的x∈[0，π]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，
即f（m）≤f（x）≤f（n）恒成立，f（m）為f（x）在[0，π]上的最小值，
x∈[0，π]，ωx+∈[，ωπ+]，由，，
由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，時，f（x）在[0，π]上有1個最小值點，即m的個數(shù)為1；
時，f（x）在[0，π]上有2個最小值點，即m的個數(shù)為2．
則滿足條件的m的個數(shù)為1或2．
故答案為：1或2．
【點評】本題考查了余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，重點在函數(shù)的零點個數(shù)和最值個數(shù)，屬中檔題．
37．（2023?承德模擬）已知ω＞1，函數(shù)．
（1）當ω＝2時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間上單調(diào)，求ω的取值范圍．
【分析】（1）由題意，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由題意，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，分別求出ω的范圍，綜合可得結(jié)論．
【解答】解：（1）當ω＝2時，f（x）＝cs（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，
求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）若f（x）＝cs（ωx﹣） 在區(qū)間上單調(diào)遞增，ωx﹣∈[﹣，﹣]，
則﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z，
求得12k﹣4≤ω≤6k+1，
再結(jié)合ω＞1，可得ω無解．
若f（x）＝cs（ωx﹣） 在區(qū)間上單調(diào)遞增減，ωx﹣∈[﹣，﹣]，
則﹣≥2kπ，﹣≤2kπ+π，k∈Z，
求得12k+2≤ω≤6k+4，k∈Z．
令k＝0，可得2≤ω≤4．
綜上可得，ω的范圍為[2，4]．
【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
一十．正切函數(shù)的奇偶性與對稱性（共1小題）
38．（2023?石家莊模擬）曲線f（x）＝（csx≠0）的一個對稱中心為 （﹣，0） （答案不唯一）．
【分析】法一：根據(jù)題意得定義域為{x|x≠+kπ，k∈Z}，且csx≠0，f（x）＝＝﹣tan（x+），根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案；
法二：根據(jù)題意得定義域為{x|x≠+kπ，k∈Z}，利用輔助角公式可得f（x）＝＝﹣tan（x+），根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案．
【解答】解：法一：定義域為{x|x≠+kπ，k∈Z}，且csx≠0，
∴f（x）＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的對稱中心為（﹣+，0），k∈Z，
∴當k＝0時，則x＝﹣，故其中一個對稱中心為（﹣，0）；
法二：定義域為{x|x≠+kπ，k∈Z}，
f（x）＝＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的對稱中心為（﹣+，0），k∈Z，
∴當k＝0時，則x＝﹣，
故其中一個對稱中心為（﹣，0）．
故答案為：（﹣，0）．
【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡及性質(zhì)，考查數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
一十一．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共7小題）
39．（2023?咸陽模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinωxcsωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期為π，對于下列說法：
①ω＝1；
②f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，（k∈Z）；
③將f（x）的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于y軸對稱；
④．
其中正確的序號是 ①③④ ．
【分析】先化簡為，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)對各項一一判斷即可．
【解答】解：，
對于①：因為T＝π，
∴，解得ω＝1，故①正確；
對于②：，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z，故②錯誤；
對于③：將f（x）圖象向左平移個單位得到，
關(guān)于y軸對稱，故③正確；
對于④：
＝，所以④正確．
故選：①③④．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
40．（2023?烏魯木齊三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f（x）圖象上所有的點向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則的值為 ．
【分析】由函數(shù)圖象求得參數(shù)A，ω，φ，可得f（x）的解析式，根據(jù)圖象的平移變換求出g（x）的解析式，即可求得答案．
【解答】解：由f（x）的圖象可知，
∴T＝π，∴，
∴f（x）＝sin（2x+φ），又，
則∴，
'∴，而，故，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象變換，屬中檔題．
41．（2023?龍巖模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．
（1）求c；
（2）把y＝sinx的圖象向右平移個單位長度，再把所得圖象向上平移c個單位長度，得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，若函數(shù)y＝f（ωx）（ω＞0）在x∈（0，π）上恰有兩個極值點，求ω的取值范圍．
【分析】（1）先用正弦定理將角化成邊，再用余弦定理即可求解；
（2）先由函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)y＝f（x）的解析式，再結(jié)合函數(shù)y＝f（ωx）的圖象特點即可求解．
【解答】解：（1）因為asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），
所以asinA﹣bsinB＝2sinAcsB﹣2csAsinB，
由正弦定理得a2﹣b2＝2acsB﹣2bcsA，
由余弦定理得．
即，因為a≠b，所以c＝2，
（2））由（1）知c＝2，y＝sinx的圖象向右平移個單位得的圖象，
再把所得圖象向上平移c個單位長度，得到的圖象，
所以．
令，則f（ωx）＝g（t）＝sint+2，
∵x∈（0，π），∴
在x∈（0，π）上恰有兩個極值點，
由g（t）＝sint+2的圖象可知，，∴，
所以ω的取值范圍是．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
42．（2023?濟南三模）已知f（x）＝sinωx（ω＞0），其圖象相鄰對稱軸間的距離為，若將其圖象向左平移個單位得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y＝g（x）的解析式及圖象的對稱中心；
（2）在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)f（x）的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出ω，再根據(jù)圖像平移得到y(tǒng)＝g（x），由對稱中心公式求得結(jié)果；
（2）由 得出A，B，C三角的關(guān)系，利用正弦定理及角度關(guān)系化簡，再利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間得出結(jié)果．
【解答】解：（1）已知f（x）的圖象相鄰對稱軸間的距離為，則T＝π．
由周期公式得，T＝＝π，ω＞0，所以 ω＝2，f（x）＝sin2x，
，令 ，
所以，故函數(shù)y＝g（x）的對稱中心為；
（2）由題意得，，，
所以，所以 或 （舍），
所以，因為在鈍角△ABC中，所以0＜A＜，0＜C＜，
所以0＜A＜，則＝+
＝＝4csA+，
令t＝csA，φ（t）＝4t+，t∈（，1），φ'（t）＝4﹣，
當＜x＜，時φ'（t）＜0；當＜x＜1時，φ'（t）＞0，
可得φ（t）在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增．
所以當，即 時，φ（t ）有最小值4，
φ（）＝5，φ（1）＝7，所以 ，
故．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
43．（2023?濟寧二模）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點成中心對稱，在上的值域為，求α的取值范圍．
【分析】（1）先化簡f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，即可得出答案；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對稱性求出φ、g（x），再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）＝，
∵，∴，
∴當，即時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）由題意得，
∵函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點成中心對稱，
∴，解得，
∵，∴，
∴，
∴當時，，
又g（x）在上的值域為，
則．解得，
故α的取值范圍為．
【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
44．（2022?甲卷）將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則ω的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意，利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的最小值．
【解答】解：將函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，
則C對應(yīng)函數(shù)為y＝sin（ωx++），
∵C的圖象關(guān)于y軸對稱，∴+＝kπ+，k∈Z，
即ω＝2k+，k∈Z，
則令k＝0，可得ω的最小值是，
故選：C．
【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
45．（2022?浙江）為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin（3x+）圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解．
【解答】解：把y＝2sin（3x+）圖象上所有的點向右平移個單位可得y＝2sin[3（x﹣）+]＝2sin3x的圖象．
故選：D．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象平移，屬于基礎(chǔ)題．
一十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共3小題）
46．（2023?威海二模）已知偶函數(shù)的部分圖象如圖所示，A，B，C為該函數(shù)圖象與x軸的交點，且D為圖象的一個最高點．
（1）證明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
【分析】（1）在△ABD、△CBD中分別利用正弦定理可得，再結(jié)合BC＝2AB即可證明；
（2）依題意求出sin∠ADB，即可得到cs∠ADC，利用余弦定理求出AC，即可求出周期，從而求出ω，利用勾股定理求出BD，即可求出D點坐標即可求出M，再根據(jù)函數(shù)圖象及偶函數(shù)求出φ，即可得解．
【解答】證明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，
在△CBD中，由正弦定理可得，
又∠ABD+∠DBC＝π，所以sin∠ABD＝sin∠DBC，
所以，又BC＝2AB，
所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC．
（2）解：因為，CD＝2，，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC，
所以，所以，
在△ACD中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在Rt△BCD中，
又，則∠CBD＝30°，所以，
則xD＝BDcs30°﹣1＝2，
所以，則，
，
所以，
所以．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
47．（2023?全國二模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中f（x）的圖像與x軸的一個交點的橫坐標為﹣．
（1）求這個函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣a在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）利用圖像分別求出A，ω，φ；
（2）利用分離常數(shù)法得到a＝f（x），求出f（x）在區(qū)間上的值域，即可求解．
【解答】解：（1）由圖知：A＝2.，所以T＝π，所以，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
由，且0＜φ＜，
所以，
所以；
（2）令g（x）＝0得：f（x）＝a，
對于，，
則，
由y＝2sint的圖像和性質(zhì)可得：在區(qū)間上的值域為，
所以函數(shù)g（x）＝f（x）﹣a在區(qū)間上存在零點，有．
【點評】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的解析式，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
48．（2023?南昌二模）如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．
（1）求ω；
（2）若，求φ．
【分析】（1）設(shè)A（x0，0），則，再根據(jù)求得周期T，即解；
（2）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡計算即可得解．
【解答】解：（1）設(shè)A（x0，0），函數(shù)的最小正周期為T，則，
則，
故，解得T＝4（負值舍去），
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，則，
所以，所以．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
一十三．三角函數(shù)的最值（共2小題）
49．（2023?佛山模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍為 （，+∞） ．
【分析】根據(jù)輔助角公式以及二倍角公式對解析式進行整理，再借助于余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)＝4sin2（x+）﹣2＝﹣2cs（2x+），
當x∈時，
2x+∈[，2a+），
∵函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，
∴2a+＞π，可得a＞．
故答案為：（，+∞）．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
50．（2023?蕪湖模擬）已知函數(shù)f（x）＝asin2x+cs2x，且．
（1）求f（x）的最大值；
（2）從①②中任選一個作答．若選擇多個分別作答．按第一個解答計分．
①A為函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點，點B，C為函數(shù)f（x）圖象的最高點或者最低點，求△ABC面積的最小值．
②O為坐標原點，復數(shù)z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣2+f（t）i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，求△OAB面積的取值范圍．
【分析】（1）由已知可得，當x＝時函數(shù)f（x）取到最值，列方程解出a，代入f（x），進而可得f（x）的最大值；
（2）若選①：分B，C對應(yīng)的f（x）同為最大值或最小值和B，C對應(yīng)的f（x）一個為最大值，另一個為最小值兩種情況討論，分別利用三角形的面積公式求解，可得△ABC面積的最小值；若選②：由復數(shù)的幾何意義，得出A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），再由三角形的面積公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：（1）∵f（x）≤|f（﹣）|，即當x＝時函數(shù)f（x）取到最值，
又f（x）＝asin2x+cs2x＝，其中tanφ＝（a≠0），
∴[f（﹣）]2＝a2+1，代入得[asin2（﹣）+cs2（）]2＝a2+1，
即（）2＝a2+1，解得（a+）2＝0，∴a＝﹣，
f（x）＝﹣sin2x+cs2x＝﹣2sin（2x﹣），
當2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z時，f（x）取到最大值2；
（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣），
選①：可得T＝＝π，
當B，C對應(yīng)的f（x）同為最大值或最小值時，
得S△ABC＝A?kT≥＝；
當B，C對應(yīng)的f（x）一個為最大值，另一個為最小值時，
得S△ABC＝≥＝π；
綜上：△ABC面積的最小值為π；
選②：由復數(shù)的幾何意義知：A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），
∴S△ABC＝＝|f（t）+4|＝﹣2sin（2x﹣）+4，
當2x﹣＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z時，S△OAB有最大值6；
當2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z時，S△OAB有最小值2；
∴S△OAB∈[2，6]．
【點評】本題考查三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
一十四．兩角和與差的三角函數(shù)（共5小題）
51．（2023?天津一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝1，c＝2，sinB＝2sinA．
（1）求csC的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2C﹣A）的值．
【分析】（1）利用正弦邊角關(guān)系及余弦定理求值即可；
（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理求值即可；
（3）應(yīng)用二倍角公式求2C對應(yīng)函數(shù)值，再由差角正弦公式求值即可．
【解答】解：（1）由sinB＝2sinA及正弦定理得：b＝2a，
∴b＝2，
由余弦定理得；
（2）由（1）知：，
由正弦定理，得；
（3）由，且，
∵a＜b，即A＜B，∴，
∴．
【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
52．（2023?天津模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a＞c），已知bcsC＝（3a﹣c）csB，．
（1）求csB；
（2）求a，c的值；
（3）求sin（B﹣C）的值．
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角和的正弦公式，得解
（2）由csB＝，可得sinB的值，再結(jié)合三角形的面積公式與余弦定理，得關(guān)于a和c的方程組，解之即可；
（3）將（1）（2）所得結(jié)果代入已知條件中，求得csC的值，從而知sinC的值，再由兩角差的正弦公式，展開運算，得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及bcsC＝（3a﹣c）csB知，sinBcsC＝（3sinA﹣sinC）csB，
所以3sinAcsB＝sinBcsC+csBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
因為sinA≠0，所以csB＝．
（2）由（1）知，csB＝，
因為B∈（0，π），所以sinB＝＝，
所以S△ABC＝acsinB＝ac?＝4，即ac＝12①，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accsB，
所以32＝a2+c2﹣2?12?，即a2+c2＝40②，
又a＞c，所以由①②解得，a＝6，c＝2．
（3）因為bcsC＝（3a﹣c）csB，
所以4csC＝（3×6﹣2）×，即csC＝，
因為C∈（0，π），所以sinC＝＝，
所以sin（B﹣C）＝sinBcsC﹣csBsinC＝×﹣×＝．
【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
（多選）53．（2023?海口模擬）已知銳角α，β，γ滿足α+β+γ＝π，則（ ）
A．tanα，tanβ可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根
B．若α＞β，則sinα＞sinβ
C．
D．tanα+tanβ+tanγ＝tanα?tanβ?tanγ
【分析】由tanα，tanβ的符號即可判斷A；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；由正、余弦的降冪公式化二次為一次，結(jié)合三角函數(shù)值的符號可判斷C；用兩角和的正切公式的變形可判斷D．
【解答】解：因為α，β為銳角，所以tanα＞0，tanβ＞0，若tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，
由韋達定理得tanα?tanβ＝﹣4＜0，故A錯誤；
因為α，β為銳角，且α＞β，函數(shù)y＝sinx在上單調(diào)遞增，則sinα＞sinβ，故B正確；
因為α，β為銳角，所以csα＞0，csβ＞0，
故，C錯誤；
因為，所以tan α+tanβ＝tan（α+β）（1﹣tanα?tanβ），
又α+β+y＝π，所以 tan（α+β）＝tan（π﹣γ）＝﹣tanγ，
所以tan α+tanβ+tanγ＝tan（α+β）（1﹣tanα?tanβ）+tany＝﹣tanγ（1﹣tanα?tanβ）+tanγ＝tanα?tanβ?tanγ，故D正確．
故選：BD．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，兩角和差公式，屬于中檔題．
54．（2023?杭州模擬）已知銳角α，β滿足，，則α+β＝ ．
【分析】利用兩角和差的正切公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：∵，∴+β＝，
則tan（+β）＝tan，即＝，
∵，∴tan+tanβ＝3﹣，
則tan，tanβ是x2﹣（3﹣）x+2﹣＝0兩個根，
得方程的兩個根為x＝1或x＝2﹣，
若tan＝1，則＝，即α＝，不滿足條件．
則tanβ＝1，tan＝2﹣，
即tanα＝＝＝，
∵銳角α，β，∴α＝，β＝，∴α+β＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用兩角和差的正切公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
55．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，則（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
【分析】解法一：由已知結(jié)合輔助角公式及和差角公式對已知等式進行化簡可求α﹣β，進而可求．
解法二：根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和公式，即可求解．
【解答】解：解法一：因為sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cs（α+）sinβ，
即sin（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ+sinβcs（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ﹣sinβcs（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由題意可得，sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ﹣sinαsinβ＝2（csα﹣sinα）sinβ，
即sinαcsβ﹣csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cs（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故選：C．
【點評】本題主要考查了輔助角公式，和差角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．
一十五．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用（共1小題）
56．（2023?安徽模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為．
（1）求ω和φ；
（2）當時，記方程的根為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求的范圍．
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得，再利用相鄰對稱軸的距離求出ω，根據(jù)其為奇函數(shù)，利用f（0）＝0即可求出φ；
（2）由（1）得，利用整體換元法和三角函數(shù)圖象知m∈[0，1]，再根據(jù)三角函數(shù)的對稱性和周期性得，x3﹣x1＝π，最后即可得其范圍．
【解答】解：（1）
＝
＝，
∵函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
∴T＝π，可得．
又∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴，則，k∈Z，解得．
由，得．
此時f（x）＝sin2x，易知其為奇函數(shù)．
（2）由（1）知，，即．
因為，所以，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象知，，即m∈[0，1]．
且，，
則，x3﹣x1＝π，
故．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
一十六．三角函數(shù)應(yīng)用（共4小題）
57．（2023?寶雞三模）我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1．由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（m）和時間t（s）的函數(shù)關(guān)系為y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如圖2．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝5，則1分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過平衡位置的次數(shù)最多為（ ）
A．19B．40C．20D．41
【分析】根據(jù)已知條件確定ω，根據(jù)t的范圍，確定t+φ的范圍，則 分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過平衡位置的最多次數(shù)，等價于1分鐘內(nèi)y＝sin（t+φ）＝0的最多次數(shù)，由此即可求．
【解答】解：因為t1+t2＝2，t2+t3＝5，t3﹣t1＝T，所以T＝3．
又T＝，所以ω＝，則y＝sin（t+φ），
由0≤t≤60，則φ≤t+φ≤40π+φ，
所以 1 分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過平衡位置的最多次數(shù)，
等價于1分鐘內(nèi)y＝sin（t+φ）＝0的最多次數(shù)，
等價于區(qū)間[φ，40π+φ]里包含kπ（k∈Z）的最多次數(shù)，
又|φ|＜π，則區(qū)間[φ，40π+φ]里包含了0，π，2π，3π，…，39π或π，2π，3π，…，40π，
所以區(qū)間[φ，40π+φ]里包含kπ（k∈Z）的最多次數(shù)為40．
故選：B．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
58．（2023?濱州二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓O的半徑為4米，盛水筒M從點P0處開始運動，OP0與水平面的所成角為30°，且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒M距離水面的高度H（單位；m）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意求得以O(shè)M為終邊的角，得出M的縱坐標，再求得盛水筒M距離水面的高度H與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，由此得出函數(shù)的圖象．
【解答】解：以O(shè)為原點，過點O的水平直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
因為∠xOP0＝30°＝，所以O(shè)M在 t（s） 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為t＝t，
所以以x軸為始邊，以O(shè)M為終邊的角為t﹣，
則點M的縱坐標為4sin（t﹣），
所以點M距水面的高度H（m）表示為時間 t（s） 的函數(shù)是H＝4sin（t﹣）+2，
所以高度H與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式圖象可能是選項D中所畫圖象．
故選：D．
【點評】本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．
59．（2023?廣東模擬）如圖，均勻的圓面繞圓心O作逆時針方向的勻速旋轉(zhuǎn)，圓面上一初始位置為A點，t秒后轉(zhuǎn)到點B，旋轉(zhuǎn)的角速度為，在旋轉(zhuǎn)圓面的右側(cè)有一固定相機C（C，O兩點分別在AB的異側(cè)），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）記旋轉(zhuǎn)角為θ，若θ∈（（2n+1）π，2（n+1）π）（n∈N），求t的取值范圍及弦AB的長度；
（2）在（1）的條件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的長．
【分析】（1）延長AO，交⊙O于點D，計算旋轉(zhuǎn)一周所需時間，第一次到達D處時的時間和第二次到達D處的時間，由此求出t的取值范圍，在△AOB中，利用余弦定理求出AB的值．
（2）求出t＝100時AB的值，再由余弦定理求得∠ABC，從而求出∠OBC，利用余弦定理即可求得OC的長．
【解答】解：（1）延長AO，交⊙O于點D，由題意知，B在下半圓上，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為T＝＝60（s），
第一次到達D處時t＝30s，30＜t＜60時，O、C在AB的異側(cè)，
第二次到達D處時，t＝（30+60）s，所以t∈（30+60n，60+60n），n∈N；
又因為t+∠AOB＝2（n+1）π，所以∠AOB＝2（n+1）π﹣t，
在△AOB中，由余弦定理得，
AB2＝OA2+OB2﹣2OA?OB?cs∠AOB＝52+52﹣2×5×5×cs[（2n+2）π﹣t]＝50﹣50cst＝50[1﹣（1﹣2sin2t）]＝100sin2t，
所以AB＝10|sint|．
（2）t＝100s，BC＝8時，AB＝10|sin（×110）|＝5，
在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC＝＝＝，
因為0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝，
又因為∠OBC＝∠ABC+∠OBA＝，
在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2+BC2﹣2OB?BC?cs∠OBC＝52+82﹣2×5×8×（﹣）＝129，
所以O(shè)C＝，即OC＝m．
【點評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，是中檔題．
60．（2023?南昌一模）潮汐現(xiàn)象是地球上的海水在太陽和月球雙重引力作用下產(chǎn)生的全球性的海水的周期性變化人們可以利用潮汐進行港口貨運．某港口具體時刻t（單位：小時）與對應(yīng)水深y（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為y＝3sint+10（0≤t≤24）某艘大型貨船要進港，其相應(yīng)的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，船底與海底距離不小于4.5米時就是安全的，該船于2點開始卸貨（一次最長時間不超過8小時），同時吃水深度以0.375米/小時的速度減少，該船8小時內(nèi)沒有卸貨，要及時駛?cè)肷钏畢^(qū)域，則該船第一次停止卸貨的時刻為 6 ．
【分析】設(shè)距離為f（t），由題意可求f（t）＝3sint+t+，t∈[2，10]，求導可得f′（t）＝cst+，可得f（t）在（2，t1），（t2，10）單調(diào)遞增，（t1，t2）單調(diào)遞減，又f（2）＝+3＞4.5，f（6）＝4.5，f（10）＝6﹣＜4.5，即可求解該船第一次停止卸貨的時刻為6點．
【解答】解：船底與海底距離等于水深減去吃水深度，設(shè)距離為f（t），
則f（t）＝3sint+10﹣[7﹣0.375（t﹣2）]＝3sint+t+，t∈[2，10]，
可得f′（t）＝cst+，
所以f′（3）＝＞0，f′（6）＝﹣＜0，f′（9）＝＞0，
所以?t1∈（2，6），t2∈（6，10），使得f′（t1）＝f′（t2）＝0，t∈（2，t1）∪（t2，10），f′（t）＞0，t∈（t1，t2），f′（t）＜0，
所以f（t）在（2，t1），（t2，10）單調(diào)遞增，（t1，t2）單調(diào)遞減，
又f（2）＝+3＞4.5，f（6）＝4.5，f（10）＝6﹣＜4.5，
所以2≤t≤6時，f（t）≥4.5，則該船第一次停止卸貨的時刻為6點．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)知識的應(yīng)用問題，解決本題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)解析式，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．

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綜合訓練05三角函數(shù)（16種題型60題專練）-【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學復習全程規(guī)劃（新高考地區(qū)專用）（解析版）

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