【考試提醒】
1.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
2.能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(圓心到直線(xiàn)的距離為d，圓的半徑為r)
2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數(shù)法：設(shè)直線(xiàn)y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?xM＋xN?2－4xMxN).
常用結(jié)論
1．圓的切線(xiàn)方程常用結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線(xiàn)，則兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論
(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線(xiàn)方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個(gè)圓系方程
①過(guò)直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿(mǎn)足題意，以防丟解)
【核心題型】
題型一 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
命題點(diǎn)1 位置關(guān)系的判斷
判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交．
【例題1】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)，圓，則該動(dòng)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知D，E為正實(shí)數(shù)，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交且不過(guò)圓心D．相交且過(guò)圓心
【變式2】（2024·山西臨汾·一模）已知點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是 .
【變式3】（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線(xiàn)的距離相等，圓的方程為．
(1)求的方程，并說(shuō)明是什么曲線(xiàn)；
(2)設(shè)、、是上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)、均與圓相切，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
命題點(diǎn)2 弦長(zhǎng)問(wèn)題
弦長(zhǎng)的兩種求法
(1)代數(shù)法：將直線(xiàn)和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．
(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq \r(r2－d2).
【例題2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）圓被直線(xiàn)所截線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．4C．D．
【變式1】（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知直線(xiàn)與圓相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．1C．D．﹣2
【變式2】（2024·四川自貢·三模）已知圓的圓心是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)，，則圓的半徑為 ．
【變式3】（2023·陜西咸陽(yáng)·三模）直線(xiàn)（t為參數(shù)），圓（極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，且單位長(zhǎng)度相同）．
(1)求圓心C到直線(xiàn)l的距離；
(2)若直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求a的值．
命題點(diǎn)3 切線(xiàn)問(wèn)題
當(dāng)切線(xiàn)方程斜率存在時(shí)，圓的切線(xiàn)方程的求法
(1)幾何法：設(shè)切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到切線(xiàn)的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.
(2)代數(shù)法：設(shè)切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.
注意驗(yàn)證斜率不存在的情況
【例題3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)向圓作兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，若，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C與兩坐標(biāo)軸及直線(xiàn)都相切，且圓心在第二象限，則圓C的方程為 ．
【變式3】（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn),直線(xiàn)及圓．
(1)若直線(xiàn)與圓相切,求的值．
(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程．
命題點(diǎn)4 直線(xiàn)與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問(wèn)題
涉及與圓的切線(xiàn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度范圍(最值)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線(xiàn)段長(zhǎng)度表示為關(guān)于圓心與直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．
【例題4】（23-24高三下·廣東深圳·期中）已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
【變式1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若正三角形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．2
【變式2】（2024·四川瀘州·三模）動(dòng)直線(xiàn)l：被圓C：截得弦長(zhǎng)的最小值為 ．
【變式3】（2024·河南·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)（不位于軸左側(cè)）到軸的距離為．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若圓與點(diǎn)的軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的最大值；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值，且時(shí)，過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)，分別交軸于兩點(diǎn)，求面積的最小值．
題型二 圓與圓的位置關(guān)系
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到
【例題5】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知圓的圓心到直線(xiàn)的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．內(nèi)切D．內(nèi)含
【變式1】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（ ）
A．內(nèi)含B．相切C．相交D．外離
【變式2】（2024·新疆喀什·二模）已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為 ．
【變式3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．
(1)判斷圓與圓的位置關(guān)系；
(2)若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，求的值．
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線(xiàn)的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·安徽·三模）直線(xiàn)：與圓：的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若圓上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京·三模）已知直線(xiàn)，圓，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)被圓所截弦長(zhǎng)為；
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；
D．存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與圓相切．
二、多選題
5．（2024·廣東茂名·一模）已知圓，則（ ）
A．圓的圓心坐標(biāo)為
B．圓的周長(zhǎng)為
C．圓與圓外切
D．圓截軸所得的弦長(zhǎng)為3
6．（2024·福建南平·二模）已知圓：，直線(xiàn)：，則（ ）
A．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)
B．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為
C．當(dāng)時(shí)，圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)距離等于4
D．直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，的方程為
三、填空題
7．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與圓C：相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù) .
8．（2024·河北邢臺(tái)·一模）已知，過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線(xiàn)與圓E：相切，則 ，該直線(xiàn)的方程為 ．
9．（2024·廣東汕頭·三模）已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，
（i）則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（ii）若直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 .
四、解答題
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)．
(1)求拋物線(xiàn)的方程和直線(xiàn)的斜率；
(2)設(shè)的外接圓為圓，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，證明：直線(xiàn)與圓相切．
11．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓 過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知圓方程為，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·四川成都·一模）圓：與直線(xiàn)：的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無(wú)法確定
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）直線(xiàn)，圓.則直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．D．
4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且，若與被圓所截得的弦長(zhǎng)之比為，則直線(xiàn)的斜率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，若的面積為50，則的值為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與圓相切，交曲線(xiàn)于點(diǎn)，若是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為圓心，以為半徑的圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．內(nèi)含C．外離D．外切
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，直線(xiàn)：，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．曲線(xiàn)的周長(zhǎng)為
B．直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系無(wú)法確定
C．的最大值為3
D．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交，其弦長(zhǎng)為4，則
10．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，兩圓的公切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)
B．若，兩圓的相交弦長(zhǎng)為
C．若兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，分別過(guò)點(diǎn)的兩圓的切線(xiàn)相互垂直，則
D．若時(shí)，兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含
11．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，直線(xiàn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則當(dāng)切線(xiàn)長(zhǎng)取最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．的方程可以是D．的方程可以是
三、填空題
12．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）已知圓，則直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系為 .
13．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）直線(xiàn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 .
14．（2023·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)：上存在點(diǎn)使得，實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，且直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn).
(1)求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程以及直線(xiàn)的一般方程；
(2)若，求的值以及曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值．
16．（2024·四川南充·二模）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為，且，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn).
(1)若，求直線(xiàn)的斜率；
(2)設(shè)的外接圓為，試判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
17．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，直線(xiàn)l與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的軌跡E的方程；
(2)過(guò)C上一點(diǎn)作曲線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)分別交y軸于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.
18．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的上、下頂點(diǎn)分別為．
(1)若直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，記直線(xiàn)與的斜率分別為，求的值；
(2)過(guò)上一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)和，切點(diǎn)分別為，證明：直線(xiàn)與圓相切．
19．（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切．
(1)求的方程；
(2)點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)分別與交于兩點(diǎn)，求面積的最小值．
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·北京東城·二模）已知點(diǎn)在圓上，過(guò)作圓的切線(xiàn)，則的傾斜角為 （ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川攀枝花·三模）由直線(xiàn)上的一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
4．（2023·山東青島·三模）已知向量，，滿(mǎn)足，，，則的最小值為（ ）
A．－1B．C．2D．1
二、多選題
5．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)，圓，直線(xiàn)，是圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，.設(shè)，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得
B．存在點(diǎn)，使得
C．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，的方程為
D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是
6．（2023·山東聊城·二模）設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，且M為的中點(diǎn)．（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的斜率為2B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，符合條件的直線(xiàn)l有兩條D．當(dāng)時(shí)，符合條件的直線(xiàn)l有四條
三、填空題
7．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則a的取值范圍是 .
8．（2022·湖北十堰·三模）當(dāng)圓的面積最小時(shí)，圓C與圓的位置關(guān)系是 .
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓的圓心在直線(xiàn)上，點(diǎn)與都在圓上，圓，則與的位置關(guān)系是 .
四、解答題
10．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓的方程為，，，，點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，是以為直徑的圓．
(1)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求所在直線(xiàn)的方程；
(2)當(dāng)與直線(xiàn)相切時(shí)，求的方程；
(3)求證：總與某個(gè)定圓相切．
11．（23-24高三上·重慶·期末）已知，B，C是拋物線(xiàn)E：上的三點(diǎn)，且直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為0．
(1)求直線(xiàn)的斜率；
(2)若直線(xiàn)，均與圓M：（）相切，且直線(xiàn)被圓M截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，求r的值．
12．（2024·山西朔州·一模）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上．
(1)求拋物線(xiàn)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若是軸上的兩點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與圓均相切，，求的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)．
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀(guān)點(diǎn)
Δ0
幾何觀(guān)點(diǎn)
d>r
d＝r
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|

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