1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題
2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問(wèn)題.
3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)】
測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)
【核心題型】
題型一 解三角形的應(yīng)用舉例
命題點(diǎn)1 測(cè)量距離問(wèn)題
【例題1】（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知兩座燈塔和與海洋觀(guān)察站的距離都等于，燈塔在觀(guān)察站的北偏東，燈塔在觀(guān)察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正確的.
【詳解】依題意，
所以.
故選：D
【變式1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某景區(qū)為方便游客，計(jì)劃在兩個(gè)山頭M，N間架設(shè)一條索道．為測(cè)量M，N間的距離，施工單位測(cè)得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頭的海拔高度，在BC同一水平面上選一點(diǎn)A，測(cè)得M點(diǎn)的仰角為，N點(diǎn)的人仰角為，以及， 則M，N間的距離為（ ）

A．B．120mC．D．200m
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，在直角和直角中，分別求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【詳解】由題意，可得，
且，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
故選：A.
【變式2】（2022·山東青島·二模）如圖所示，A，B，C為三個(gè)村莊，，，，則 ；若村莊D在線(xiàn)段BC中點(diǎn)處，要在線(xiàn)段AC上選取一點(diǎn)E建一個(gè)加油站，使得該加油站到村莊A，B，C，D的距離之和最小，則該最小值為 .
【答案】 60°/ /
【分析】利用余弦定理以及點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)進(jìn)行處理.
【詳解】在中，由余弦定理有：

又，所以.
如圖，作D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，則DE=FE，DC=FC=4，
，所以，當(dāng)且僅當(dāng)
B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BE+EF最小.
.
所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，
當(dāng)且僅當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：，.
【變式3】（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，若在河岸選取相距20米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時(shí)A，B兩點(diǎn)間的距離是多少？
【答案】米
【分析】根據(jù)正弦定理，分別在和中求出AC，BC，然后在中，由余弦定理求得AB.
【詳解】根據(jù)正弦定理，
在中，有(米)，
在中，有(米)．
在中，由余弦定理得AB＝＝(米)．
所以A，B兩點(diǎn)間的距離為米
命題點(diǎn)2 測(cè)量高度問(wèn)題
【例題2】（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)鐘樓的高度為，根據(jù)相似得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故選：D.

【變式1】（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》著稱(chēng)于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為 米．
【答案】
【分析】在中，用表示，在中，用表示，根據(jù)的長(zhǎng)，可求解.
【詳解】中，，，，
中，，，，
因?yàn)槊?，所以?br>解得：
故答案為：
【變式2】（2024·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度 米.
【答案】204
【分析】根據(jù)仰角設(shè)出長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理列出的邊長(zhǎng)關(guān)系，解方程求解即可.
【詳解】設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，所以，所以.
因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.
故答案為：204
【變式3】（2022·貴州安順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量某雕像AB的高度（B，C，D，F(xiàn)在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn)B，且B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)），某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)在C，D，F(xiàn)三點(diǎn)處測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角分別為，，，米．

(1)求雕像AB的高度；
(2)當(dāng)觀(guān)景點(diǎn)C與F之間的距離為多少米時(shí)，△CDF的面積最大？并求出最大面積．
【答案】(1)
(2)時(shí)，的面積最大，最大值為
【分析】（1）根據(jù)已知條件，在中，可求出.然后在中，根據(jù)已知即可求得答案；
（2）根據(jù)（1）可求出.由已知可得出.進(jìn)而根據(jù)面積公式表示出的面積.即可得出面積的最大值以及，由勾股定理即可求出.
【詳解】（1）由已知可得，
在中，有，，，
所以，，
所以，為等腰三角形，.
在中，有，，，
所以，，
所以，.
（2）由（1）可得，，
在中，，所以.
因?yàn)榈倪吷系母撸?br>且的邊上的高也等于，
所以的面積為.
當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值為.
此時(shí)有.
命題點(diǎn)3 測(cè)量角度問(wèn)題
【例題3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開(kāi)展測(cè)量太陽(yáng)高度角的數(shù)學(xué)活動(dòng)．太陽(yáng)高度角是指某時(shí)刻太陽(yáng)光線(xiàn)和地平面所成的角．測(cè)量時(shí)，假設(shè)太陽(yáng)光線(xiàn)均為平行的直線(xiàn)，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為120°，墻的高度均為3米．在時(shí)刻，實(shí)地測(cè)量得在太陽(yáng)光線(xiàn)照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線(xiàn)查閱嘉定的天文資料，當(dāng)天的太陽(yáng)高度角和對(duì)應(yīng)時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時(shí)刻最可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出示意圖形，在四邊形中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形的外接圓直徑大小，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義，算出的大小，即可得到本題的答案.
【詳解】如圖所示，
設(shè)兩豎直墻面的交線(xiàn)為，點(diǎn)被太陽(yáng)光照射在地面上的影子為點(diǎn)，
點(diǎn)分別是點(diǎn)在兩條墻腳線(xiàn)上的射影，連接 ，，，
由題意可知就是太陽(yáng)高度角.
∵四邊形中，，，
∴ ，
∴中，，
可得，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是其外接圓直徑，
∴設(shè)的外接圓半徑為，則，
在中，，
所以，
對(duì)照題中表格，可知時(shí)刻時(shí)，太陽(yáng)高度角為，與最接近.
故選：B.
【變式1】（2023·四川綿陽(yáng)·三模）《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩(shī)書(shū).”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是箜篌的一種常見(jiàn)的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)，處分別作切線(xiàn)相交于點(diǎn)，測(cè)得切線(xiàn)，，，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（ ）
A．0.62B．0.56C．D．
【答案】A
【分析】由圖形可知，由余弦定理求出，可得.
【詳解】由題意，，所以，
切線(xiàn)，，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理，不妨取，
又，由余弦定理，
有， .
故選：A
【變式2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一款訂書(shū)機(jī)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為如圖模型.使用時(shí)將B下壓，E接觸平臺(tái)，D緊鄰E，此時(shí)鈍角增大了（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，.）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】如圖1，過(guò)點(diǎn)A作，，垂足為，，則，
故，
連接，在中，由余弦定理可得：，即，
∵，即此時(shí)為銳角，
如圖2 ，設(shè)平臺(tái)，即三點(diǎn)重合，則，
連接，在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
則，
整理得，即，
又∵，則，
此時(shí)鈍角增大的值大于，符合題意的只有D選項(xiàng).
故選：D.
【變式3】（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）瀑布是廬山的一大奇觀(guān)，唐代詩(shī)人李白曾在《望廬山瀑布中》寫(xiě)道：日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺，疑是銀河落九天.為了測(cè)量某個(gè)瀑布的實(shí)際高度，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時(shí)，在此位置測(cè)得瀑布頂端的仰角正切值為，沿山道繼續(xù)走20，測(cè)得瀑布頂端的仰角為.已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為.根據(jù)這位同學(xué)的測(cè)量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為 ；若第二次測(cè)量后，繼續(xù)行進(jìn)的山道有坡度，坡角大小為，且兩段山道位于同一平面內(nèi)，若繼續(xù)沿山道行進(jìn)，則該同學(xué)望向瀑布頂端與底端的視角正切值為 .（此人身高忽略不計(jì)）
【答案】 60 3
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)高度為，則可表示出，在中利用余弦
定理即可求出的值；由已知數(shù)據(jù)易知，則，則可得到
，再由兩角和的正切公式計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)瀑布頂端為，底端為，高為，
該同學(xué)第一次測(cè)量的位置為，第二次測(cè)量的位置為，
則，,
所以，
在中由余弦定理可知：
即，
解得：;
如圖，兩段山道為,過(guò)作于點(diǎn)，
由題意知：，，
所以，
在中，即，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
，
所以.
故答案為：60；3.
題型二 解三角形中的最值和范圍問(wèn)題
解三角形中最值(范圍)問(wèn)題的解題策略
利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．
【例題4】（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由于點(diǎn)E在弧上運(yùn)動(dòng)，引入恰當(dāng)?shù)淖兞浚瑥亩磉_(dá)，再利用正弦定理來(lái)表示邊，來(lái)求得周長(zhǎng)關(guān)于角的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，同樣設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求出距離，然后同樣把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)，進(jìn)而求出取值范圍.
【詳解】
（法一）如圖，連接設(shè)，則，，
故．在中，由正弦定理可得，
則．
在中，由正弦定理可得，則．
平行四邊形的周長(zhǎng)為
．
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以，則，
即平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是．
（法二）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，
從而，，，
，
故平行四邊形的周長(zhǎng)為．
因?yàn)?，所以，所以?br>則，即平行四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是．
故選：A.
【變式1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足，，且，則邊 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得，由面積公式可得，由正弦定理得，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：?br>所以，由余弦定理可得：，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>由正弦定理可得：，，
所以，即
故答案為：
【變式2】（2024·山西·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足．
(1)試判斷的形狀；
(2)若的外接圓半徑為2，求周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)為等腰三角形
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合分析求解；
（2）利用正弦定理可得周長(zhǎng)，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意可知：
，
整理得，
且，則，可知，即，
所以為等腰三角形.
（2）由正弦定理，可得，
則周長(zhǎng)，
由（1）可知：，
可得，
構(gòu)建函數(shù)，
則，
因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，
所以當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形時(shí)，周長(zhǎng)取到最大值.
【變式3】（2024·山東濟(jì)寧·三模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求證:；
(2)若，求面積的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可證明；
（2）由（1）得且，根據(jù)正弦定理、三角形的面積公式和三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1），
，
，又，
則，
，
，即，
又，所以，即，
又，所以；
（2）由（1）知，，得，
由，得，由正弦定理得，
得，
所以，
又，所以，又在上單調(diào)遞增，
則，所以，
即的面積我取值范圍為.
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)）位于燈塔A處正西方向相距n mile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距n mile的C處的一艘乙船前往營(yíng)救，則乙船的目標(biāo)方向線(xiàn)（由觀(guān)測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線(xiàn)）的方向是南偏西（ ）
A．30°B．60°C．75°D．45°
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，找出要求的角為，運(yùn)用解三角形的知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】依題意，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，如圖，
則，，，
在中，，
在中，，，
又
，
則乙船的目標(biāo)方向線(xiàn)（由觀(guān)測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線(xiàn)）的方向是南偏西60°.
故選：B.
2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱(chēng)為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開(kāi)始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過(guò)程中，已知豎立在點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高米，攀登者們?cè)谔帨y(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn)和頂點(diǎn)的仰角分別為，則的高度差約為（ ）
A．7.32米B．7.07米C．27.32米D．30米
【答案】A
【分析】畫(huà)出示意圖，結(jié)合三角函數(shù)的定義和正切展開(kāi)式求解即可.
【詳解】
模型可簡(jiǎn)化為如上圖，在中，，
所以，而，
代入上式并化簡(jiǎn)可得米，
故選：A.
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測(cè)量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽(yáng)S在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置如圖所示．地球在位置時(shí)，測(cè)出；行星M繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周回到原來(lái)位置，地球運(yùn)動(dòng)到了位置，測(cè)出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項(xiàng)中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.
【詳解】連接，在中，，又，則是正三角形，，
由，，得，，
在中，，由正弦定理得，則，
在中，由余弦定理得.
故選：A

4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在高的樓頂處，測(cè)得正西方向地面上兩點(diǎn)與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.
【詳解】由題意，
而，
所以.
故選：D
二、多選題
5．（2023·重慶·三模）如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長(zhǎng)度的是（ ）
A．a(chǎn)，b，B．，，
C．a(chǎn)，，D．，，b
【答案】ACD
【分析】由三角形全等的條件或者正、余弦定理即可判定.
【詳解】法一、根據(jù)三角形全等的條件可以確定A、C、D三項(xiàng)正確，它們都可以唯一確定三角形；
法二、對(duì)于A項(xiàng)，由余弦定理可知，可求得，即A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理可知，即C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，同上由正弦定理得，即D正確；
故選：ACD.
6．（2024·河北邯鄲·三模）已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若為邊的中點(diǎn)，且，則的面積的最大值為
C．若是銳角三角形，則的取值范圍是
D．若角的平分線(xiàn)與邊相交于點(diǎn)，且，則的最小值為10
【答案】ABC
【分析】借助面積公式與余弦定理由題意可得，對(duì)A：借助三角恒等變換公式可將其化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得；對(duì)B：借助向量數(shù)量積公式與基本不等式即可得；對(duì)C：借助正弦定理可將其化為與角有關(guān)的函數(shù)，結(jié)合角度范圍即可得解；對(duì)D：借助等面積法及基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】由題意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
對(duì)A，
，
，，，
的取值范圍為，故A正確；
對(duì)B，為邊的中點(diǎn)，，
則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，故B正確；
對(duì)于C，，
是銳角三角形，，
，，故C正確；
對(duì)于D，由題意得，
即，
整理得，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角形中的最值與范圍問(wèn)題，主要思考方向有兩個(gè)，一個(gè)是借助余弦定理得到邊之間的關(guān)系，從而通過(guò)基本不等式求解，一個(gè)是借助正弦定理將邊化為角，通過(guò)三角形中角的關(guān)系將多個(gè)變量角化為單變量，借助函數(shù)性質(zhì)得到范圍或最值.
三、填空題
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角，點(diǎn)C的仰角，以及.從點(diǎn)C測(cè)得,已知山高，則山高 m.
【答案】
【分析】在中，求得，再在中，利用那個(gè)正弦定理，求得，進(jìn)而在直角中，即可求解.
【詳解】在中，因?yàn)椋裕?br>在中，因?yàn)椋?，可得?br>因?yàn)?，所以?br>在直角中，可得.
故答案為：.
8．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測(cè)得，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為 m．
【答案】20
【分析】確定每個(gè)角的大小，可得均為等腰三角形，在中，設(shè)，通過(guò)余弦定理計(jì)算即可.
【詳解】在中，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，如圖所示.
由題意可知，，
因?yàn)樾±钔瑢W(xué)根據(jù)課本書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目受此題啟發(fā)，
所以三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.
所以，
所以為等腰三角形，
即.
設(shè)，即，，
在中，由余弦定理得
,
即，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
9．（2024·寧夏·一模）在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線(xiàn)AC的兩側(cè)，且，，則BD的長(zhǎng)度的最大值是 ．
【答案】
【分析】先判斷為直角三角形，設(shè)，，由正弦定理得到與之間的數(shù)量關(guān)系，由余弦定理得到與之間的數(shù)量關(guān)系，最后在中，由余弦定理及所得結(jié)論得到，利用正弦型函數(shù)的值域即得BD的長(zhǎng)度的最大值.
【詳解】
如圖，在中，由正弦定理：可得：，因，則，即.
設(shè)，則，在中，設(shè)，由正弦定理，，則得：，
由余弦定理可得：，即.
在中，由余弦定理，,
因，則，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí).
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用正、余弦定理求邊長(zhǎng)的最大值問(wèn)題，屬于難題.
解決此類(lèi)題型的思路就是，要善于在圖形中選設(shè)與已知條件和所求結(jié)論都相關(guān)的角，借助于正、余弦定理將所求量表示成關(guān)于角的三角函數(shù)式，最后根據(jù)三角函數(shù)的值域求得最值.
四、解答題
10．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，使得，測(cè)得，，．
(1)若B，D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線(xiàn)型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理證得為等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；
（2）設(shè)，利用正弦定理可得，展開(kāi)化簡(jiǎn)即可得其正切值.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
則為等腰直角三角形，所以，
則．
在中，由余弦定理得
，
故．
故A，C兩點(diǎn)間距離為．
（2）設(shè)，則由題意可知，，．
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以，
解得，所以．
11．（2024·四川·三模）三角形中，角的對(duì)邊分別為，且 .
(1)求；
(2)若邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為2，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)即可得解；
（2）利用向量化及余弦定理結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】（1）由，
得，即，
所以，即，
又，所以；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，
則，
平方得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由余弦定理得，
因?yàn)椋裕?br>即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2022·北京通州·一模）太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)光線(xiàn)與地面所成的角（即太陽(yáng)在當(dāng)?shù)氐难鼋牵O(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為，為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度，為當(dāng)?shù)鼐暥戎担敲催@三個(gè)量滿(mǎn)足．通州區(qū)某校學(xué)生科技社團(tuán)嘗試估測(cè)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥戎担ㄈ≌担?，選擇春分當(dāng)日（）測(cè)算正午太陽(yáng)高度角．他們將長(zhǎng)度為1米的木桿垂直立于地面，測(cè)量木桿的影長(zhǎng)．分為甲、乙、丙、丁四個(gè)小組在同一場(chǎng)地進(jìn)行，測(cè)量結(jié)果如下：
則四組中對(duì)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥裙罍y(cè)值最大的一組是（ ）
A．甲組B．乙組C．丙組D．丁組
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)木桿的影長(zhǎng)為，得到，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得到當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)求得最大值，即可求解.
【詳解】如圖所示，地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為，為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度，為當(dāng)?shù)鼐暥戎?，那么這三個(gè)量滿(mǎn)足，
當(dāng)且為正值，可得，即，
設(shè)木桿的影長(zhǎng)為，可得，
因?yàn)榧?、乙、丙、丁四個(gè)小組在同一場(chǎng)地進(jìn)行，得到影長(zhǎng)分別為，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)求得最大值，
所以四組中對(duì)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥裙罍y(cè)值最大的一組是丁組.
故選：D.
2．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽(yáng)市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來(lái)閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理在中取得的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定，可得答案.
【詳解】由題意可知，，，所以，又因，
由正弦定理，可得：，解得，
又因?yàn)?，所以?br>故選:C.
3．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】確定角范圍后，由正弦定理表示出，再利用三角函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故選：C．
4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東 方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.
【詳解】由題意知，，
由正弦定理得，
所以.
故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.
故選：B.
5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，在水平地面上，來(lái)雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來(lái)雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】現(xiàn)從四棱錐中提取兩個(gè)直角三角形和的邊角關(guān)系，進(jìn)而分別解出兩個(gè)三角形邊的長(zhǎng)，求出來(lái)雁塔AB的高度即可.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
在直角三角形中，因?yàn)椋?br>所以，
在直角三角形中，因?yàn)椋?br>所以，
則.
故選：B.
6．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理邊化角可化簡(jiǎn)已知等式求得，進(jìn)而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得：，
，
，，，，，
，解得：；
由余弦定理得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
.
故選：B.
7．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．12D．15.
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化邊為角，可得出的關(guān)系，再利用余弦定理求出，進(jìn)而可得出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
故選：C.
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知外接圓的半徑為，為邊的中點(diǎn)，，為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解法一：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得，設(shè)，利用正弦定理將，用角的三角函數(shù)表示出來(lái)，再利用三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求解；
解法二：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得，利用向量可得，令，再由關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根，利用判別式可得其范圍；
解法三：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得，在和中，分別利用余弦定理可得，令，再由關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根，利用判別式可得其范圍.
【詳解】解法一：
根據(jù)正弦定理得，所以，
因?yàn)闉殁g角，所以；
延長(zhǎng)到，使得，連接，如下圖所示：
易知四邊形為平行四邊形，且．
設(shè)，則，所以，
即，
所以，，
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
可得的取值范圍是．
解法二：
根據(jù)正弦定理得，
所以，因?yàn)闉殁g角，所以
因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，可得，
設(shè)，則①．
設(shè)，則，
將其代入①得②，
所以關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根；
當(dāng)，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，則，不合題意；
當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，不符合題意；
所以或，解得，
故的取值范圍是．
解法三：
根據(jù)正弦定理得，
所以，因?yàn)闉殁g角，所以；
設(shè)，根據(jù)余弦定理得，
在中易知，
又在中可得，
所以可得，即，
將代入，得①，
設(shè)，則，
將其代入①得②，
所以關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根；
當(dāng)，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，則，不合題意；
當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，不符合題意；
所以或，解得，
故的取值范圍是．
故選：C
【點(diǎn)睛】解三角形中的最值或范圍問(wèn)題主要有兩種解決方法：
一是將所求量表示為與邊有關(guān)的形式，利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求得最值或范圍；
二是將所求量用三角形的某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定最值或范圍．
二、多選題
9．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開(kāi)展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離
B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測(cè)量旗桿頂端的仰角，再測(cè)量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測(cè)得旗桿頂端的仰角，正對(duì)旗桿前行5m到達(dá)處，再次測(cè)量旗桿頂端的仰角
【答案】BCD
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.
【詳解】對(duì)于A：如果，兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線(xiàn)上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，故A不正確．
對(duì)于B：如下圖， 中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；
對(duì)于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高，故C正確；
對(duì)于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；
故選：BCD.
10．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，且，.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．面積的最大值為
B．
C．的最大值為
D．的取值范圍為
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷B選項(xiàng)；利用正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用三角恒等變換可得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，由余弦定理和基本不等式可?br>，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
所以，的面積的最大值為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理可得，則，
因?yàn)椋瑒t，所以，，
由平面向量數(shù)量積的定義可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最大值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，
由題意可知，，所以，，
，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則.
綜上所述，的取值范圍為，D對(duì).
故選：ACD.
11．（2024·貴州黔南·二模）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且的面積為.則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．的取值范圍為
C．若，則的外接圓的半徑為2
D．若，則的面積的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】對(duì)A：借助面積公式與余弦定理計(jì)算即可得；對(duì)B：借助銳角三角形定義與三角形內(nèi)角和計(jì)算即可得；對(duì)C：借助正弦定理計(jì)算即可得；對(duì)D：借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來(lái)，結(jié)合的范圍即可得解.
【詳解】對(duì)A：由題意可得，由余弦定理可得，
即有，即，
由，故，即，故A正確；
對(duì)B：則，，解得，故B正確；
對(duì)C：由正弦定理可得，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：若，則，
由正弦定理可得，即，
即
，
由，則，故，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來(lái)，結(jié)合的范圍即可得解.
三、填空題
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求三角形的面積的取值范圍.
【詳解】由題意及正弦定理，得．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>由正弦定理，得，
所以，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，
所以，所以，從而．
13．（2024·上海金山·二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線(xiàn)段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為 m．(結(jié)果精確到1 m)
【答案】
【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到中求解即可.
【詳解】解：作交于E，由題意可得如圖：
，
所以，
，
在中，由正弦定理可得：
，
所以，
所以，
，
在直角中，，
故答案為：475.
14．（2024·福建莆田·二模）如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的中心，是過(guò)點(diǎn)的任一直線(xiàn)，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問(wèn)題，結(jié)合基本不等式求出最值即可.
【詳解】
如圖，由對(duì)稱(chēng)性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時(shí)比完全重合時(shí)面積大，
此時(shí)，折疊后面積為正六邊形面積的與面積的3倍的和.
由正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性知，，，
在中，由余弦定理可得：
，
得，
由基本不等式可知，則，
故，
因，，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，
又正六邊形的面積，
所以折疊后的面積最大值為：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時(shí)的狀態(tài)，從而得解.
四、解答題
15．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.
(1)若，，求的面積；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根據(jù)正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)，在三角形中分別用正弦定理表示，從而建立關(guān)于的三角函數(shù)，進(jìn)而求三角函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋耐饨訄A半徑為4，所以，解得.
在中，，則，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）設(shè)，.
又，所以.
因?yàn)?，所?
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，
所以的最大值為.
16．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）汾陽(yáng)文峰塔建于明末清初，位于山西省汾陽(yáng)市城區(qū)以東2公里的建昌村，該塔共十三層，雄偉挺拔，高度位于中國(guó)磚結(jié)構(gòu)古塔之首.如圖，某測(cè)繪小組為了測(cè)量汾陽(yáng)文峰塔的實(shí)際高度AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的三個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，E，現(xiàn)測(cè)得，，，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為.參考數(shù)據(jù)：取，，.

(1)求；
(2)求塔高（結(jié)果精確到1m）.
【答案】(1)
(2)85m
【分析】（1）在中，由余弦定理即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理求出，再解即可.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
則
；
（2）在中，由正弦定理得，
則，
在中，，
所以，
故塔高為85m.
17．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某班級(jí)學(xué)生用皮尺和測(cè)角儀（測(cè)角儀的高度為1.7m）測(cè)量重慶瞰勝樓的高度，測(cè)角儀底部A和瞰勝樓樓底O在同一水平線(xiàn)上，從測(cè)角儀頂點(diǎn)C處測(cè)得樓頂M的仰角，（點(diǎn)E在線(xiàn)段MO上）．他沿線(xiàn)段AO向樓前進(jìn)100m到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)從測(cè)角儀頂點(diǎn)D處測(cè)得樓頂M的仰角，樓尖MN的視角（N是樓尖底部，在線(xiàn)段MO上）．
(1)求樓高M(jìn)O和樓尖MN；
(2)若測(cè)角儀底在線(xiàn)段AO上的F處時(shí)，測(cè)角儀頂G測(cè)得樓尖MN的視角最大，求此時(shí)測(cè)角儀底到樓底的距離FO．
參考數(shù)據(jù)：，，，
【答案】(1)，
(2)FO為37．4m
【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，進(jìn)而求得MO，進(jìn)而求得CE，計(jì)算可求得樓離MO和樓尖MN；
法二：利用，，可求得ME，進(jìn)而計(jì)算可求得樓離MO和樓尖MN；
（2）設(shè)，，，進(jìn)而可得，利用基本不等式可求得樓尖MN的視角最大時(shí)x的值．
【詳解】（1）法一：，，∴．
在中，由正弦定理得，，
又，∴．
∴，
∴．
（m）．
∴．
∵，∴，．
法二：，，
∴，
即，∴，
∴．
m．
∴．
∵，∴，．
（2）設(shè)，，，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
∴測(cè)角儀底到樓底的距離FO為37．4m處時(shí)，測(cè)得樓尖MN的視角最大．
18．（2024·四川德陽(yáng)·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式，可得，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出a的表達(dá)式，并結(jié)合恒等變換公式化簡(jiǎn)，利用為銳角三角形，求出角C的范圍，即可求得a的取值范圍，再利用三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)橹?，，即?br>而，故，
故，又，
則；
（2）由（1）以及題設(shè)可得；
由正弦定理得
，
因?yàn)闉殇J角三角形，，，
則，
則，則，
即，則，
即面積的取值范圍為.
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
(1)求.
(2)求面積的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.
（2）利用正弦定理得，結(jié)合為銳角三角形，求得，進(jìn)而求得，即可求解.
【詳解】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.
又，所以由正弦定理，得.
又為銳角三角形，所以.
方法二：由題意知，.
由正弦定理得，
所以，
所以，即；
又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?
（2）由正弦定理，得；
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
解得，所以，所以.
因?yàn)椋?，所?
故面積的取值范圍為.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（23-24高三上·安徽銅陵·階段練習(xí)）鎮(zhèn)國(guó)寺塔亦稱(chēng)西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順?國(guó)泰民安”八個(gè)字，是全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位?國(guó)家3A級(jí)旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高為7.5，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N在同一水平面上且三點(diǎn)共線(xiàn)）測(cè)得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測(cè)得鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，在中應(yīng)用正弦定理得，再由倍角余弦公式求，進(jìn)而求鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度.
【詳解】在中，則，
所以，而，，
所以，又，
則.
故選：C
2．（2023·貴州·二模）鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已知人眼距離地面高度，某建筑物高，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測(cè)量人與鏡子的距離，將鏡子后移a米，重復(fù)前面中的操作，則測(cè)量人與鏡子的距離，則鏡子后移距離a為（ ）
A．6mB．5mC．4mD．3m
【答案】A
【分析】設(shè)建筑物底部到第一次觀(guān)察時(shí)鏡面位置之間的距離為，根據(jù)光線(xiàn)反射性質(zhì)列出關(guān)于的方程組，求解即可.
【詳解】
如圖：設(shè)建筑物最高點(diǎn)為A，建筑物底部為，第一次觀(guān)察時(shí)鏡面位置為，第一次觀(guān)察時(shí)人眼睛位置為C處，第二次觀(guān)察時(shí)鏡面位置為，
設(shè)到之間的距離為，
由光線(xiàn)反射性質(zhì)得，所以，即，①
同理可得，②
①②兩式相比得，解得，
代入①得，
故選：A．
3．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【詳解】由余弦定理可得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.
因此，面積的最大值為.
故選：B.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)椋茫?br>由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因?yàn)?，則，
所以，即．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以．
又在上單調(diào)遞增，所以，則．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因?yàn)?，所以?br>在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故
故選：C．
【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
二、多選題
5．（2022·廣東佛山·一模）在中，、、所對(duì)的邊為、、，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若，則B．的最大值為
C．D．角的最小值為
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，得，
故，A對(duì)；
對(duì)于B，由基本不等式可得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
由余弦定理可得，
則，B對(duì)；
對(duì)于C，，則，
由余弦定理可得，，
所以，，整理可得，
則，C對(duì)；
對(duì)于D，由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)榍液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，D錯(cuò).
故選：ABC.
6．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意得，結(jié)合邊的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)邊的關(guān)系及基本不等式即可判斷BC；用邊長(zhǎng)為的三角形的周長(zhǎng)判斷D
【詳解】對(duì)于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，則成立，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D，邊長(zhǎng)為的三角形，滿(mǎn)足，但，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
三、填空題
7．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過(guò)路口后轉(zhuǎn)向西北方向，圍繞道路打造了一個(gè)半徑為的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀(guān)光道，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，利用正弦定理可得，利用三角函數(shù)的有界性建立不等式，即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)切點(diǎn)為，連接．由題意得，
設(shè)，
在中，
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
設(shè)，則，
所以，
故
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，
解得，所以的最小值為．
故答案為：.
8．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為 ．
【答案】6
【分析】在中，利用正弦定理可得，進(jìn)而可求得的面積，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而可得的面積，即可得結(jié)果.
【詳解】在中，由正弦定理，可得，
所以的面積；
在中，由余弦定理，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，且，則，
所以的面積；
顯然當(dāng)B、D位于直線(xiàn)AC的兩側(cè)時(shí)，四邊形ABCD的面積較大，
此時(shí)四邊形的面積.
所以四邊形的面積的最大值為.
故答案為：6.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)
（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；
（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運(yùn)算．
四、解答題
9．（2024·山西·一模）中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理即可求解，進(jìn)而可求解，
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合不等式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槿切蔚拿娣e為，
則，
所以，又，則；
（2）由于，所以，
即，取等號(hào)，
故，
故
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且______．
(1)求角的大??；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，且線(xiàn)段，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）①由三角恒等變換可得；②由正弦定理和正弦展開(kāi)式可得；
（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面積最值即可.
【詳解】（1）選①，，
所以．
因?yàn)?，所以，即?br>所以．
選②．由及正弦定理得，
所以．
因?yàn)?，，所以?br>所以，
所以．
（2）如圖，
點(diǎn)滿(mǎn)足，則，故，又，
故，
即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故，即面積的最大值為．
11．（2023·四川達(dá)州·二模）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，.
(1)求；
(2)若，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)可得出，即可求得的值；
（2）分析可知、均為銳角，利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.
【詳解】（1）解：，
.
由正弦定理得.
.
因?yàn)椋瑒t，
，，
則，
所以，，即，
所以，，
，即.
（2）解：由（1）得.
若，則、均為鈍角，則，矛盾，
所以，，，此時(shí)、均為銳角，合乎題意，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且為鈍角.
，則，且為銳角，
由，解得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，.
因此，面積的最小值為
術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)
術(shù)語(yǔ)意義
圖形表示
仰角與俯角
在目標(biāo)視線(xiàn)與水平視線(xiàn)(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方的叫做仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)下方的叫做俯角
方位角
從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線(xiàn)之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ

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