2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為，極小值和極大值統(tǒng)稱為．
2．函數(shù)的最大(小)值
(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：
①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
常用結(jié)論
對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件
【核心題型】
題型一利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值問題
根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．
命題點(diǎn)1 根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值
【例題1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù)，給出下列4個(gè)圖象：
其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個(gè)數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【變式1】（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（）

A．在處取得極大值B．是函數(shù)的極值點(diǎn)
C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【變式2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（）
A． B．
C． D．
【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A．曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率小于零
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)遞增
C．函數(shù)f（x）在x＝1處取得極大值
D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（－3，3）內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)
命題點(diǎn)2 求已知函數(shù)的極值
【例題2】（2024·寧夏銀川·一模）若函數(shù)在處取得極大值，則的極小值為（）
A．B．C．D．
【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間的極大值、極小值分別為（）
A．，B．，
C．，D．，
【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t方程可能有（）個(gè)解.
A．3B．4C．5D．6
【變式3】（2024·遼寧鞍山·二模）的極大值為．
命題點(diǎn)3 已知極值(點(diǎn))求參數(shù)
【例題3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為函數(shù)（其中）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·四川綿陽(yáng)·三模）若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在處有極值8，則等于．
【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若的極值為－2，求a的值；
(2)若m，n是的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．
題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．
命題點(diǎn)1 不含參函數(shù)的最值
【例題4】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)），有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式2】（2024·上海徐匯·二模）如圖，兩條足夠長(zhǎng)且互相垂直的軌道相交于點(diǎn)，一根長(zhǎng)度為的直桿的兩端點(diǎn)分別在上滑動(dòng)（兩點(diǎn)不與點(diǎn)重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計(jì)），直桿上的點(diǎn)滿足，則面積的取值范圍是 .
【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值．
(2)證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
命題點(diǎn)2 含參函數(shù)的最值
【例題5】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．C．D．
【變式2】．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)只有3個(gè)零點(diǎn)，，，則的取值范圍是．
【變式3】（2024·北京海淀·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在處取得極小值，則極小值為（）
A．1B．2C．D．
2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
3．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）
A．函數(shù)的最大值為1
B．函數(shù)的最小值為1
C．函數(shù)的最大值為1
D．函數(shù)的最小值為1
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)既存在極大值點(diǎn)又存在極小值點(diǎn)，則（）
A． B．
C． D．對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)滿足題意
7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，B．
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．
三、填空題
8．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為百米.
9．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值1，則 .
四、解答題
10．（2023·河南洛陽(yáng)·一模）已知函數(shù)．
(1)求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在上的值域．
11．（2024·上海靜安·二模）已知，記（且）．
(1)當(dāng)（是自然對(duì)數(shù)的底）時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；
(2)試討論函數(shù)的奇偶性；
(3)拓展與探究：
① 當(dāng)在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)的圖象在軸上存在對(duì)稱中心？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②請(qǐng)?zhí)岢龊瘮?shù)的一個(gè)新性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)．（不必證明）
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．-2B．2C．-1D．1
3．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（）
A．1B．2C．D．3
4．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．B．C．D．
5．（2023·甘肅蘭州·一模）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（）
A．B．C．D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，則曲線的曲率．則曲線的曲率的極值點(diǎn)為（）
A．B．C．D．
7．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知個(gè)大于2的實(shí)數(shù)，對(duì)任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（）
A．14B．16C．21D．23
8．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，則（）
A．有一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)B．有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)
C．最多有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)D．最多有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱和是伴侶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
C．與是伴侶函數(shù)
D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為0，極大值點(diǎn)為，且極大值為0，則（）
A．B．
C．存在，使得D．直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）
A．若為減函數(shù)，則B．若存在極值，則
C．若，則D．若，則
三、填空題
12．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的極小值為 .
13．（2023·廣東汕頭·一模）函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，則的極大值是．
14．（2024·上海閔行·二模）對(duì)于任意的，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
15．（2024·安徽·二模）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.
16．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.
17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最大值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
18．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處的切線在軸上的截距為．
(1)求的值；
(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．
(2)若的極大值為，求的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，求證：．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．在處得到極大值B．在處得到極大值
C．在處得到極小值D．在處得到極小值
3．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)使得存在三個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，，滿足，，，恰好為一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
4．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．則下列說(shuō)法正確的是（）
A．函數(shù)的定義域?yàn)镽
B．若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則
C．當(dāng)時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值大于極大值
二、多選題
5．（2023·安徽·一模）已知函數(shù)，則（）
A．是奇函數(shù)
B．的單調(diào)遞增區(qū)間為和
C．的最大值為
D．的極值點(diǎn)為
6．（2024·浙江杭州·二模）過點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（）
A．直線與拋物線C有2個(gè)公共點(diǎn)
B．直線恒過定點(diǎn)
C．點(diǎn)的軌跡方程是
D．的最小值為
三、填空題
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
8．（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .
四、解答題
9．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．
10．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值.

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