第03講 向量的基本定理 知識(shí)點(diǎn)01 共線向量基本定理 （1）定義：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得bλa． （2）幾點(diǎn)說(shuō)明 ①bλa時(shí)，通常稱為b能用a表示． ②其中的“唯一”指的是，如果還有bμa，則有λμ． 作用：如果A，B，C是三個(gè)不同的點(diǎn)，則它們共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \o(AB,\s\up6(→))λeq \o(AC,\s\up6(→))． A，B，C三點(diǎn)共線?存在實(shí)數(shù)λ，μ對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)O(O不在直線BC上)滿足eq \o(OA,\s\up6(→))λeq \o(OB,\s\up6(→))＋μeq \o(OC,\s\up6(→))(λ＋μ1)． 【即學(xué)即練1】設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a2e1－e2，與向量be1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為________． 知識(shí)點(diǎn)02 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得cxa＋yb． 2.基底與向量的分解 平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}，此時(shí)如果cxa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式． 【解讀】①當(dāng)a與b不共線時(shí)，“唯一的實(shí)數(shù)對(duì)”指的是c用a，b表示時(shí)，表達(dá)式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv． ②當(dāng)x≠0或y≠0時(shí)，必定有xa＋yb≠0．也就是說(shuō)，當(dāng)a與b不共線時(shí)，xa＋yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個(gè)不為0． 的差向量a?b，可以簡(jiǎn)記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減” 【即學(xué)即練2】已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，則x________，y________． 題型01 共線向量定理的應(yīng)用 【典例1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點(diǎn)是（???） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【變式1】（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是（????）． A．3 B． C． D．2 【變式2】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（　　?。?A．1 B． C．4 D． 【變式3】（23-24高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知向量不共線，且，若與反共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（????） A．1 B． C．1或 D．或 題型02 基底的判斷 【典例2】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是（????） A． B． C． D． 【變式1】（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（????） A．， B．， C．， D．， 【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期中）設(shè)，為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【變式3】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)點(diǎn)O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，下列組合中：①與；②與；③與；④與，其中可作為表示平行四邊形所在平面所有向量的基的是（????） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 題型03 用基底表示向量 【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，點(diǎn)，分別為，邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（???） A． B． C． D． 【變式1】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知在中， ，分別為，的中點(diǎn)， ， ，則可以用含，的式子表示為（???） A． B． C． D． 【變式2】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（????） A． B． C． D． 【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，，則用向量，表示為（????） ?? A． B． C． D． 題型04 根據(jù)向量基本定理求參數(shù) 【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（????） A． B． C． D． 【變式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點(diǎn)在邊上，若，則的值為（????） A． B． C． D． 【變式2】（24-25高三上·江西·期中）已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（????） A． B．的最大值為 C．的最小值為15 D．的最小值是9 【變式3】（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖中，，，，若，則 . 題型05 平面向量基本定理的綜合問(wèn)題 【典例5】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）（多選）已知圖中，，，為圖中的陰影中（含邊界）任意一點(diǎn)，并且，下列命題正確的是（????） A． B． C． D．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得 【變式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多選）已知P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，且=+λ，λ∈R，則下列正確的是（????） A．?λ使得||>|| B．△PCD的面積為定值 C．∠CPD的取值范圍是[，] D．||的取值范圍是[，] 【變式2】（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）歐拉線是由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在1765年提出的一個(gè)幾何定理，指出在一個(gè)三角形中，其外心、重心和垂心共線.這條直線被稱為歐拉線.在三角形ABC中，O為三角形的外心，P為三角形垂心（O點(diǎn)與P點(diǎn)不重合），且，動(dòng)點(diǎn)M在直線OP上，且，則的最大值 【變式3】已知為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，若點(diǎn)在的內(nèi)部（不含邊界），則實(shí)數(shù)的取值可以是_____ 一、單選題 1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列關(guān)于基底的說(shuō)法正確的序號(hào)是（????） ①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（????） A．與 B．與 C．與 D．與 3．（22-23高一下·浙江溫州·階段練習(xí)）在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則四邊形一定是（???） A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形 4．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（　?。?A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線 5．（24-25高三上·山東·期中）已知向量，不共線，，，若，，三點(diǎn)共線，則（????） A． B．. C．1 D．2 6．（23-24高一下·北京通州·期中）如圖，在中，是AB的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則的值為（????） A． B． C．1 D．2 7．（23-24高一下·河北·期中）在中，為邊上的中點(diǎn)，是上靠近的四等分點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，，I是的平分線上一點(diǎn)，且，若內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)D滿足，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（????） A． B． C． D． 二、多選題 9．（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）若，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，是實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（????） A．若，滿足，則 B．對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量，使得不成立的實(shí)數(shù)，有無(wú)數(shù)對(duì) C．可以表示平面內(nèi)的所有向量 D．當(dāng)，取不同的值時(shí)，向量可能表示同一向量 10．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，在邊上，，是的中點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·四川達(dá)州·期末）如圖，已知O是內(nèi)部任意一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，．根據(jù)上述結(jié)論，則（????）． ?? A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O為的重心，那么 D．如果O為直角的內(nèi)心，且兩直角邊，，那么 三、填空題 12．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若，是兩個(gè)不共線的向量，且與共線，則實(shí)數(shù)的值為 . 13．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，， ，，．若三點(diǎn)共線，則的最小值是 ． 14．（23-24高一下·北京·期中）四邊形ABCD中，，且，若，則 ． 四、解答題 15．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）設(shè)，是不平行的向量，且，． (1)若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值； (2)若，用，的線性組合表示． 16．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設(shè)，． (1)用，表示，； (2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且．求證：，，三點(diǎn)共線． 17．（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，、依次是對(duì)角線上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè) . (1)請(qǐng)用 與 表示 ; (2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形. 18．（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖,已知點(diǎn)是的重心,過(guò)點(diǎn)作直線分別與邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）,設(shè). (1)求的值； (2)求的最小值,并求此時(shí)的值. 19．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，已知，，且點(diǎn)是的重心.過(guò)點(diǎn)的直線與線段、分別交于點(diǎn)、.設(shè)，（，）. ?? (1)求的值，并判斷是否為定值，若是則求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為.設(shè)，記，求的取值范圍. 課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解兩個(gè)平面向量共線的含義． 2．理解平面向量基本定理及其意義．1．理解并掌握兩個(gè)向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問(wèn)題． 2．理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義． 3．會(huì)用基底來(lái)表示其他向量． 4．會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題． 第03講 向量的基本定理 知識(shí)點(diǎn)01 共線向量基本定理 （1）定義：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得bλa． （2）幾點(diǎn)說(shuō)明 ①bλa時(shí)，通常稱為b能用a表示． ②其中的“唯一”指的是，如果還有bμa，則有λμ． 作用：如果A，B，C是三個(gè)不同的點(diǎn)，則它們共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \o(AB,\s\up6(→))λeq \o(AC,\s\up6(→))． A，B，C三點(diǎn)共線?存在實(shí)數(shù)λ，μ對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)O(O不在直線BC上)滿足eq \o(OA,\s\up6(→))λeq \o(OB,\s\up6(→))＋μeq \o(OC,\s\up6(→))(λ＋μ1)． 【即學(xué)即練1】設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a2e1－e2，與向量be1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為________． 【答案】－12 【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)μ，使bμa不成立． 即e1＋λe2μ(2e1－e2)2μe1－μe2， 所以(2μ－1)e1(λ＋μ)e2， 又因?yàn)閑1與e2不共線． 所以2μ?1=0，λ+μ=0，解得λ－12. 知識(shí)點(diǎn)02 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得cxa＋yb． 2.基底與向量的分解 平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成該平面上向量的一組基底，記為{a，b}，此時(shí)如果cxa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式． 【解讀】①當(dāng)a與b不共線時(shí)，“唯一的實(shí)數(shù)對(duì)”指的是c用a，b表示時(shí)，表達(dá)式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv． ②當(dāng)x≠0或y≠0時(shí)，必定有xa＋yb≠0．也就是說(shuō)，當(dāng)a與b不共線時(shí)，xa＋yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個(gè)不為0． 的差向量a?b，可以簡(jiǎn)記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減” 【即學(xué)即練2】已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，則x________，y________． 【答案】－15?。?2 【解析】根據(jù)平面向量基本定理可知向量e1，e2不共線可以作為一組基底，則表示是唯一的，從而，解的x= －15,y=－12. 題型01 共線向量定理的應(yīng)用 【典例1】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點(diǎn)是（???） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】根據(jù)向量共線定理一一分析即可. 【詳解】對(duì)A，， 則共線，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，則A、B、D三點(diǎn)共線，故A正確； 對(duì)B，因?yàn)椋什还簿€，則A、B、C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤； 對(duì)C，因?yàn)?，故不共線，則B、C、D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤； 對(duì)D，，因?yàn)椋?故不共線，則A、C、D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤. . 【變式1】（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是（????）． A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由由A，B，D三點(diǎn)共線，得存在實(shí)數(shù)，使，再用表示后，由向量相等可得． 【詳解】由已知，由A，B，D三點(diǎn)共線， 故存在實(shí)數(shù)，使，即， 即，解得． ． 【變式2】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（　　?。?A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用共線向量定理列式求解即得. 【詳解】由是兩個(gè)不共線的向量，得是非零向量，又與共線， 則，即，于是，所以. 【變式3】（23-24高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知向量不共線，且，若與反共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（????） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】根據(jù)題意設(shè)，然后將，代入化簡(jiǎn)，可得，從而可求出實(shí)數(shù)λ的值. 【詳解】解：由于與反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使， 于是， 整理得． 由于不共線，所以有，整理得， 解得或． 又因?yàn)?，故?． 題型02 基底的判斷 【典例2】（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）若是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可. 【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以共線，不能作為基底； 對(duì)于B選項(xiàng)，，所以共線，不能作為基底； 對(duì)于C選項(xiàng)，，所以共線，不能作為基底； 對(duì)于D選項(xiàng)，易知不共線，可以作為基底. . 【變式1】（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（????） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由不共線的兩個(gè)非零向量才可以作為基底，結(jié)合共線定理對(duì)各項(xiàng)逐一判斷. 【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以與共線，不能作為基底； 對(duì)于B，設(shè)，則，解得，所以與共線，不能作為基底； 對(duì)于C，設(shè)，則，即：，此時(shí)無(wú)解，所以與不共線，可以作為基底； 對(duì)于D，設(shè)，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底； . 【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期中）設(shè)，為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根據(jù)基底的定義，結(jié)合共線向量的性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】A：假設(shè)和是共線向量，因此有， 因?yàn)?，為平面向量的一組基底， 所以，不是共線向量，且，因此不不成立， 因此假設(shè)不不成立，因此和不是共線向量，因此本選項(xiàng)的向量可以做基底； B：假設(shè)和是共線向量，因此有， 因?yàn)?，為平面向量的一組基底， 所以，不是共線向量，且，因此不不成立， 因此假設(shè)不不成立，因此和不是共線向量，因此本選項(xiàng)的向量可以做基底； C：假設(shè)和是共線向量，因此有， 因?yàn)椋瑸槠矫嫦蛄康囊唤M基底， 所以，不是共線向量，且，因此要想不成立， 一定有，顯然無(wú)實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不不成立， 因此和是不共線向量，所以本選項(xiàng)的向量可以做基底； D：因?yàn)椋?所以和是共線向量，所以本選項(xiàng)的向量不可以做基底， 【變式3】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）設(shè)點(diǎn)O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，下列組合中：①與；②與；③與；④與，其中可作為表示平行四邊形所在平面所有向量的基的是（????） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】根據(jù)基底的定義判斷即可. 【詳解】①不共線可以做基底，②不可以做基底； ③不共線可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. . 題型03 用基底表示向量 【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，點(diǎn)，分別為，邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（???） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法及數(shù)乘向量運(yùn)算求解即得. 【詳解】依題意，，而， 所以 【變式1】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知在中， ，分別為，的中點(diǎn)， ， ，則可以用含，的式子表示為（???） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的加減法則，，分別與相應(yīng)的關(guān)系，再消元構(gòu)建三者的關(guān)系，得出結(jié)果. 【詳解】由題意得，，，故， 故. . 【變式2】（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，，，若，，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果. 【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，?所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. . 【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，，則用向量，表示為（????） ?? A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的線性運(yùn)算求解即可. 【詳解】，故， 則. 題型04 根據(jù)向量基本定理求參數(shù) 【典例4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以為基底表示向量，因?yàn)?，則，建立與的等量關(guān)系，求解即可. 【詳解】因?yàn)?，，所以?又，所以， 則，解得：，. 【變式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，點(diǎn)在邊上，若，則的值為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的線性運(yùn)算把用表示后可得，從而得結(jié)論． 【詳解】由已知， 所以，，， ． 【變式2】（24-25高三上·江西·期中）已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（????） A． B．的最大值為 C．的最小值為15 D．的最小值是9 【答案】ACD 【分析】由平面向量的基本定理及共線的推論得，再應(yīng)用基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤. 【詳解】 因?yàn)?，則，又，，共線，所以，A正確； 由，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤； 由，當(dāng)時(shí)有最小值，C正確； 因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)不成立，D正確. CD 【變式3】（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖中，，，，若，則 . 【答案】 【分析】先設(shè)得到，再設(shè)得到，再結(jié)合平面向量基本定理求得，即可求解. 【詳解】設(shè)， 則， 設(shè)， 則， 所以，解得，則，結(jié)合題設(shè)有 所以， 故答案為： 題型05 平面向量基本定理的綜合問(wèn)題 【典例5】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·階段練習(xí)）（多選）已知圖中，，，為圖中的陰影中（含邊界）任意一點(diǎn)，并且，下列命題正確的是（????） A． B． C． D．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得 【答案】ACD 【分析】按點(diǎn)的位置分類，結(jié)合向量線性運(yùn)算探討的取值及關(guān)系，再逐項(xiàng)分析判斷得解. 【詳解】由，得，又，則， 于是，，連接，則四邊形為平行四邊形， 有，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，， 而，不共線，則，， 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，， 當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于，則， 其中，， 則，，，，因此， 對(duì)于A，，A正確； 對(duì)于B，取，則，B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，由，得，C正確； 對(duì)于D，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，均有，D正確． CD 【變式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多選）已知P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，且=+λ，λ∈R，則下列正確的是（????） A．?λ使得||>|| B．△PCD的面積為定值 C．∠CPD的取值范圍是[，] D．||的取值范圍是[，] 【答案】CCD 【分析】對(duì)于A，根據(jù)正六邊形的對(duì)稱性判斷即可；對(duì)于B，根據(jù)可得，從而確定在正六邊形的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而根據(jù)到的距離為定值判斷即可；對(duì)于C，根據(jù)正六邊形的對(duì)稱性分析最值即可；對(duì)于D，根據(jù)當(dāng)時(shí)，有最小值，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，判斷即可. 【詳解】 由可得， 即，可得， 對(duì)于A，因?yàn)檎呅侮P(guān)于對(duì)角線對(duì)稱，故，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，在正六邊形的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)， 所以到的距離為定值，所以的面積為定值，故B正確； 對(duì)于C，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，取得最大值， 當(dāng)與重合時(shí)取得最小值，即的取值范圍是，故C正確； 對(duì)于D，因?yàn)檎呅芜呴L(zhǎng)為1，所以平行線的距離， 又當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，故D正確. CD 【變式2】（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）歐拉線是由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在1765年提出的一個(gè)幾何定理，指出在一個(gè)三角形中，其外心、重心和垂心共線.這條直線被稱為歐拉線.在三角形ABC中，O為三角形的外心，P為三角形垂心（O點(diǎn)與P點(diǎn)不重合），且，動(dòng)點(diǎn)M在直線OP上，且，則的最大值 【答案】 【分析】首先利用歐拉線的性質(zhì)以及已知的平行關(guān)系得到一些向量關(guān)系，再根據(jù)向量的線性表示求出與的關(guān)系，最后求的最大值. 【詳解】設(shè)為重心，則由歐拉線定理可知在上， 連接交于點(diǎn)， 所以為的中線，所以， 點(diǎn)在直線上，設(shè)， 所以， 所以，所以， 所以，當(dāng)時(shí)取最大值. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找出和的代數(shù)關(guān)系. 【變式3】已知為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，若點(diǎn)在的內(nèi)部（不含邊界），則實(shí)數(shù)的取值可以是_____ 【答案】 【解析】 如圖， 由得，, 所以,所以, 所以解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：. 一、單選題 1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列關(guān)于基底的說(shuō)法正確的序號(hào)是（????） ①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由基底的定義可逐項(xiàng)判斷. 【詳解】對(duì)于①，平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底（只要不共線就行），正確； 對(duì)于②，零向量和任何一個(gè)向量都平行，不能作為基底，錯(cuò)誤； 對(duì)于③，由平面向量基本定理知，基底確定，分解形式也唯一確定，正確, 所以①③正確. 2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（????） A．與 B．與 C．與 D．與 【答案】A 【分析】由基的定義可判斷選項(xiàng)正誤. 【詳解】因、是平面上的一組基，則、不共線，據(jù)此可得ABC選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)向量組均不共線，可作為基， D選項(xiàng)，與共線，則不可以作為一組基. 3．（22-23高一下·浙江溫州·階段練習(xí)）在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則四邊形一定是（???） A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形 【答案】C 【分析】利用向量判斷四邊形形狀首先考慮判斷對(duì)邊的位置與大小關(guān)系，根據(jù)變形可得，可得四邊形為梯形. 【詳解】由，得， 所以， 可得且. 所以四邊形一定是梯形． 4．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（　　） A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線 【答案】A 【分析】運(yùn)用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點(diǎn)共線. 【詳解】對(duì)于A，，與不共線，A不正確； 對(duì)于B，，，則與不共線，B不正確； 對(duì)于C，，，則與不共線，C不正確； 對(duì)于D，， 即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以三點(diǎn)共線，D正確． ． 5．（24-25高三上·山東·期中）已知向量，不共線，，，若，，三點(diǎn)共線，則（????） A． B．. C．1 D．2 【答案】A 【分析】因?yàn)椋c(diǎn)共線，則與共線，由此可以根據(jù)向量共線的性質(zhì)列出等式，進(jìn)而求出與的關(guān)系，最后得出的值. 【詳解】由于，，三點(diǎn)共線，所以與共線. 存在實(shí)數(shù)，使得，即. 因?yàn)?，不共線，根據(jù)向量相等的性質(zhì)，若，則. 由，將其代入可得. . 6．（23-24高一下·北京通州·期中）如圖，在中，是AB的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則的值為（????） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)， 所以， 則，. . 7．（23-24高一下·河北·期中）在中，為邊上的中點(diǎn)，是上靠近的四等分點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量，用基底表示. 【詳解】因?yàn)椋?由已知可得，，所以， 所以． 8．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，，I是的平分線上一點(diǎn)，且，若內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)D滿足，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】將向量 歸一化可得，結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合題意列式求解即可. 【詳解】設(shè)，則，且， 可得， 則，可得， 即，可得， 則， 因?yàn)?，則，可得， 所以， 因?yàn)椋獾茫?所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是. . 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是以為基底表示出.本題的難點(diǎn)在于用表示出向量. 二、多選題 9．（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）若，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，是實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（????） A．若，滿足，則 B．對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量，使得不成立的實(shí)數(shù)，有無(wú)數(shù)對(duì) C．可以表示平面內(nèi)的所有向量 D．當(dāng)，取不同的值時(shí)，向量可能表示同一向量 【答案】AC 【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案. 【詳解】若，則，從而向量，共線，這與，不共線相矛盾，則，同理可得，故A正確； 由平面向量基本定理可知，唯一確定，故B不正確； 平面內(nèi)的每個(gè)向量可表示成的形式，反之也不成立，故C正確； 結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)和確定后，其和向量便唯一確定，故D不正確. C 10．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，在邊上，，是的中點(diǎn)，則（????） A． B． C． D． 【答案】DD 【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算判斷各選項(xiàng)的準(zhǔn)確性. 【詳解】如圖： 對(duì)A：，故A錯(cuò)誤； 對(duì)B：，故B錯(cuò)誤； 對(duì)C：，故C正確； 對(duì)D：，故D正確. D 11．（23-24高一下·四川達(dá)州·期末）如圖，已知O是內(nèi)部任意一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，．根據(jù)上述結(jié)論，則（????）． ?? A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O為的重心，那么 D．如果O為直角的內(nèi)心，且兩直角邊，，那么 【答案】CCD 【分析】依題意易判斷A錯(cuò)誤，利用平面向量線性運(yùn)算計(jì)算，平面向量基本定理可知B正確，由重心性質(zhì)可得C正確，根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)并利用勾股定理可判斷D正確. 【詳解】對(duì)于A：由題意,結(jié)合， 可得,即A錯(cuò)誤. 對(duì)于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正確； 對(duì)于C：如果O為的重心， 則可知， 可知，即C正確； 對(duì)于D：如果O為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r, 則, 又,,則,所以， 可知，即D正確. CD. 【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于將重心、內(nèi)心性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量OA,OB,OC之間得關(guān)系式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解. 三、填空題 12．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若，是兩個(gè)不共線的向量，且與共線，則實(shí)數(shù)的值為 . 【答案】 【分析】由題意結(jié)合共線向量定理可得存在實(shí)數(shù)，使，化簡(jiǎn)后可求得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)榕c共線， 所以存在實(shí)數(shù)，使， 因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線的向量， 所以，所以， 解得或，所以 故答案為： 13．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，， ，，．若三點(diǎn)共線，則的最小值是 ． 【答案】8 【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解. 【詳解】， ,若三點(diǎn)共線， 設(shè)，即，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，解得，， 則， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故最小值為8. 故答案為：8. 14．（23-24高一下·北京·期中）四邊形ABCD中，，且，若，則 ． 【答案】2 【分析】由題設(shè)可得且，利用相似三角形和向量的線性運(yùn)算將用與的另式表達(dá)，根據(jù)平面向量基本定理列出方程求解即得. 【詳解】如圖，由可得且， 易得,則有 于是,??因， 故得由，解得：. 故答案為：2. 四、解答題 15．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）設(shè)，是不平行的向量，且，． (1)若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值； (2)若，用，的線性組合表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共線的定理計(jì)算可得； （2）由向量的線性運(yùn)算和共線定理計(jì)算可得； 【詳解】（1）因?yàn)橄蛄颗c共線，所以設(shè)， 即， 所以， （2）設(shè)， 又因?yàn)椋?由向量基本定理，得，解得 所以． 16．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設(shè)，． (1)用，表示，； (2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且．求證：，，三點(diǎn)共線． 【答案】(1)， (2)證明見解析 【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算法則，計(jì)算出，進(jìn)而得到； （2）計(jì)算出，結(jié)合（1）可得，證明出結(jié)論. 【詳解】（1）由題可知， ， （2） ，且有公共點(diǎn)M ，，三點(diǎn)共線. 17．（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，、依次是對(duì)角線上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè) . (1)請(qǐng)用 與 表示 ; (2)用向量方法證明：四邊形是平行四邊形. 【答案】(1) (2)證明過(guò)程見解析 【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可； （2）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、相等向量的定義進(jìn)行證明即可. 【詳解】（1）因?yàn)?、依次是?duì)角線上的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 所以， 于是有， 即； （2）因?yàn)椤⒁来问菍?duì)角線上的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 所以， 于是有， 即，因此， 顯然有，不共線， 因此且， 所以四邊形是平行四邊形. 18．（23-24高一下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖,已知點(diǎn)是的重心,過(guò)點(diǎn)作直線分別與邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）,設(shè). (1)求的值； (2)求的最小值,并求此時(shí)的值. 【答案】(1) (2)最小值為, 【分析】（1）是的重心,所以，結(jié)合性質(zhì)得解. （2）“乘1法”，再將1進(jìn)行代換，用基本不等式解決. 【詳解】（1）因?yàn)槭堑闹匦? 所以, 因?yàn)?所以,因?yàn)槿c(diǎn)共線, 所以,則. （2）由⑴得,,則, 所以,當(dāng)且僅當(dāng)且,即, 所以的最小值為,此時(shí). 19．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，已知，，且點(diǎn)是的重心.過(guò)點(diǎn)的直線與線段、分別交于點(diǎn)、.設(shè)，（，）. ?? (1)求的值，并判斷是否為定值，若是則求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為.設(shè)，記，求的取值范圍. 【答案】(1)，是定值，理由見詳解 (2) 【分析】（1）根據(jù)題意可得，變形可得，根據(jù)三點(diǎn)共線，即可得的值； （2）根據(jù)題意可得，，故得的表達(dá)式，根據(jù)的范圍，利用函數(shù)性質(zhì)，即可得答案. 【詳解】（1）已知，，所以， 所以， 因?yàn)椋?，則，， 因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以， 因?yàn)樵谥本€上，所以. （2）， 所以， 設(shè)，由（1）得，所以 所以 因?yàn)?，，又因?yàn)椋瑒t， 因?yàn)?，所以?因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為：，當(dāng)或時(shí)，的最大值為：，所以， 因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)樵谏弦彩菃握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以的取值范圍為 【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于利用小問(wèn)（1）所得的結(jié)論，結(jié)合根據(jù)三點(diǎn)共線確定，將雙變量函數(shù)化為單變量函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域. 課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解兩個(gè)平面向量共線的含義． 2．理解平面向量基本定理及其意義．1．理解并掌握兩個(gè)向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問(wèn)題． 2．理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義． 3．會(huì)用基底來(lái)表示其他向量． 4．會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題．

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