TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc20914" PAGEREF _Tc20914 \h 1
\l "_Tc6419" 模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） PAGEREF _Tc6419 \h 1
\l "_Tc22695" 模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） PAGEREF _Tc22695 \h 6
\l "_Tc17846" 模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值） PAGEREF _Tc17846 \h 9
\l "_Tc29780" PAGEREF _Tc29780 \h 15
模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）
條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。
模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)： 模型（2）點A、B在直線同側(cè)：

模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)： 模型（2）點A、B在直線同側(cè)：

圖（1） 圖（2）
模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。
模型（2）：如圖（2），作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。
例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，E是邊上的一動點，F(xiàn)為的中點，則的最小值為 ．
例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為 ．
例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對角線，，P是對角線上的一個動點，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，則的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
例4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）如圖，在扇形中，，平分交于點，點為半徑上一動點．若陰影部分周長的最小值為，則扇形的半徑的長為 ．

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）
條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：點A、B在直線m同側(cè)： 模型（2）：點A、B在直線m異側(cè)：


圖（1） 圖（2）
模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點P，當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|＜AB，當(dāng)A、B、P共線時，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。
模型（2）：如圖（2），作點B作關(guān)于直線m的對稱點B’，連接AB’交直線m于點P，此時PB=PB’。
當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
當(dāng)A、B、P共線時，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長度。
例1．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．
例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，為邊中點，而點在邊上，為對角線所在直線上一動點，已知，，且，則的最大值為 ．
例3．（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且為對角線上一點，則的最大值為 ．

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）
模型（1）：兩定點+兩動點
條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
兩個點都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

圖1-1 圖1-1 圖1-1 圖2
模型（2）：一定點+兩動點
條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。

圖1-1 圖1-1 圖1-1 圖2
模型（1-1）（兩點都在直線外側(cè)型）
如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。
模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點型）
如圖（1-2），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。
模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側(cè)型）
如圖（1-3），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B’,
根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。
模型（2）：如圖（2），作點A分別關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結(jié)A’B,
根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。
例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3．（23-24九年級上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在中，．若點P是邊上一點．則的最小值為 ．（2）如圖②，在中，，，點E是的中點．若點P是邊上一點，求的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形型環(huán)湖路，如圖③．若米，米，．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一條由，連接而成的步行景觀道，其中點E，F(xiàn)分別在邊，上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時的長．（路面寬度忽略不計）

1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點M，N分別為，上的動點，且，，交于點 E，點 F 為 的中點，點P為上一個動點，連接，．若，則 的最小值為（ ）
A．B．C．5D．
2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形中，，，點E是邊的點，，點F是線段上一點，連接，以為直角邊作等腰直角，為斜邊，連接，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標(biāo)軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側(cè)的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．的最小值為B．的最小值為
C．周長的最小值為6D．四邊形面積的最小值為
6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，，則的最小值為 ．

7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點是矩形的對稱中心，點，分別在邊，上，且經(jīng)過點，，，，點是邊上一動點．則周長的最小值為 ．
8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形中，，，，連接、交于點，點為上一動點，連接，點為的中點，連接、，則的最小值為 ．
9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點為正方形的對稱中心，點為邊上的動點，連接，作交于點，連接，為的中點，為邊上一點，且，連接，，則的最小值為 ．
10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，中，，，，I為的內(nèi)心，若M、N分別是斜邊和直角邊上的動點，連接，則的最小值為 ．
11．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個動點，，沿翻折形成，連接、，則 ，的最小值是 .

12．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，連接，，的垂直平分線交于E，交于F，P是線段上一動點，點Q為的中點．若，的面積是24，則的最小值為 ．
13．（2024·山東淄博·一模）如圖，線段與相交于點E，保持，已知，，則的最小值是 ．
14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

15．（2023上·江蘇常州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧的中點，P點為直線上的一個動點，當(dāng)時，的最小值為 .

16．（2023·湖北黃岡·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是 ___________．

17．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為，則的最大值為______ ．
18．（2024·陜西榆林·二模）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，，點E為的中點，點F為BC上一點，連接EF，，則的長為________；
【問題探究】（2）如圖2，菱形的邊長為8，且，E是的中點，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，求周長的最小值；
【問題解決】（3）某校為了開展勞動教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形所示，經(jīng)測量，米，米，，并沿著對角線修建一條隔墻（厚度不計）將該空地分成和兩個區(qū)域，其中區(qū)域為幼苗培育區(qū)，區(qū)域為作物觀察區(qū)，的中點P處有一扇門，現(xiàn)計劃在上取點E、F（點E在點F左側(cè)），并沿修建一面結(jié)果記錄墻（厚度不計），根據(jù)規(guī)劃要求，米，且與的長度之和最小，請問的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．
19．（23-24九年級上·河南周口·期末）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題：
如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關(guān)于河岸的對稱點，連接，與河岸線相交于，則點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到，所走的路程就是最短的．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，在等腰梯形中，，點、是底邊與的中點，連接，在線段上找一點，使最短．
作點關(guān)于的對稱點，恰好與點重合，連接交于一點，則這點就是所求的點，故的最小值為_______．
(2)實踐運用如圖3，已知的直徑，點A在圓上，且的度數(shù)為，點是弧的中點，點在直徑上運動，求的最小值．
(3)拓展遷移如圖，已知拋物線的對稱軸為，且拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點．①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；②在拋物線的對稱軸直線上找到一點，使周長最小，請求出此時點的坐標(biāo)與周長最小值．
20．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點的坐標(biāo)；
(2)在y軸上存在點，使得的值最小，求的最小值．
21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
22．（2023·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）【問題提出】
(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點P，M、N分別是、上的動點，分別作點P關(guān)于邊、的對稱點，，連接，與、相交于M、N，則此時的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點P關(guān)于邊、的對稱點分別為，，
∴，，，，
∴即周長的的最小值為
∵，∴∴是等腰直角三角形．
學(xué)以致用：若，在內(nèi)部有一點P，分別作點P關(guān)于邊、的對稱點，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．
(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點D是的中點，若，請用含有h的代數(shù)式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內(nèi)有一點P，點P到頂點B的距離為10，，點M、N分別是、邊上的動點，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
專題31 最值模型之將軍飲馬模型
“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。
將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
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\l "_Tc6419" 模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） PAGEREF _Tc6419 \h 1
\l "_Tc22695" 模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） PAGEREF _Tc22695 \h 6
\l "_Tc17846" 模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值） PAGEREF _Tc17846 \h 9
\l "_Tc29780" PAGEREF _Tc29780 \h 15
模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）
條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。
模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)： 模型（2）點A、B在直線同側(cè)：

模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)： 模型（2）點A、B在直線同側(cè)：

圖（1） 圖（2）
模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。
模型（2）：如圖（2），作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。
例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，E是邊上的一動點，F(xiàn)為的中點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查軸對稱中最短路線問題，正方形的判定，勾股定理，靈活運用將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵．取的中點H連接，， ，，證明出F點就是與的交點，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，利用將軍飲馬模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可．
【詳解】取的中點H連接，
，，，
，四邊形是平行四邊形，，且點為的中點，
∴，與的交點就是的中點F，連接，
，，四邊形是平行四邊形，
， 四邊形是正方形，A，C關(guān)于BH對稱，
連接，，則，，即的最小值為的長，
在中，， ，
由勾股定理，得， 故答案為：．
例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接交于，則，，，當(dāng)重合時，最小，最小值為，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.
【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接交于，則，，，∴當(dāng)重合時，最小，最小值為，
∵，，在中，∴，，∴，，
∵，∴，故答案為：
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對角線，，P是對角線上的一個動點，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，則的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】作點關(guān)于直線的對稱點，連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，證明四邊形為平行四邊形，為最小值，再求出菱形的邊，即為的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，交于，

∵菱形，∴，，，，
∵∴，∴，
∴，∴，，
作點關(guān)于直線的對稱點，連接， ∴，
∵點為邊上的中點，則點也為邊的中點，
∴當(dāng)點、、在一條直線上時，有最小值，
連接交于，∴當(dāng)重合時，為最小值，
∵為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∴的最小值是，故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱中的最短距離問題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)解決最短距離問題是解答本題的關(guān)鍵．
例4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）如圖，在扇形中，，平分交于點，點為半徑上一動點．若陰影部分周長的最小值為，則扇形的半徑的長為 ．

【答案】2
【分析】本題主要考查扇形周長的計算，軸對稱最短路徑的計算方法，掌握扇形弧長的計算方法，軸對稱求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求出，作點關(guān)于的對稱點，可得最小，則扇形周長最小，由此即可求解．
【詳解】解：∵平分，，∴，
設(shè)扇形的半徑，∴的長為：，陰影部分的周長最小為，
如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接與交于點，此時，的值最小，即陰影部分的周長最小，

∴，∴，
即，解得，，故答案為：．
模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）
條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：點A、B在直線m同側(cè)： 模型（2）：點A、B在直線m異側(cè)：


圖（1） 圖（2）
模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點P，當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|＜AB，當(dāng)A、B、P共線時，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。
模型（2）：如圖（2），作點B作關(guān)于直線m的對稱點B’，連接AB’交直線m于點P，此時PB=PB’。
當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
當(dāng)A、B、P共線時，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長度。
例1．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．
【答案】6
【分析】作A關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PA-PB|的值最大的點，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】如圖，作A關(guān)于的對稱點，連接并延長交延長線于點P，則點P就是使的值最大的點，，連接，
∵為等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，∵點A與A′關(guān)于CD對稱，
∴CD⊥AA′，，，∴，
∵AC=BC，∴，，∴，
∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6
【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，為邊中點，而點在邊上，為對角線所在直線上一動點，已知，，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，軸對稱中最值問題，勾股定理．取的中點，連接，易得，故，即當(dāng)共線時，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可．
【詳解】解：如圖，取的中點，連接，四邊形是菱形
在和中
連接 當(dāng)共線時，最大，圖中處
作于
．即的最大值為．
例3．（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且為對角線上一點，則的最大值為 ．

【答案】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問題等，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．以為對稱軸作N的對稱點，連接，根據(jù)對稱性質(zhì)可知，，由此可得，當(dāng)三點共線時，取“”，此時即的值最大，由正方形的性質(zhì)求出的長，繼而可得，，再證明，可得，，判斷出為等腰直角三角形，求得長即可得答案．
【詳解】解：如圖，以為對稱軸作N的對稱點，連接，

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，，∴，當(dāng)三點共線時，取“”，
∵在正方形中，，，∴，∵O為中點，∴，
∵N為中點，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴為等腰直角三角形，∴，故答案為：2．
模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）
模型（1）：兩定點+兩動點
條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
兩個點都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

圖1-1 圖1-1 圖1-1 圖2
模型（2）：一定點+兩動點
條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。

圖1-1 圖1-1 圖1-1 圖2
模型（1-1）（兩點都在直線外側(cè)型）
如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。
模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點型）
如圖（1-2），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。
模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側(cè)型）
如圖（1-3），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B’,
根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。
模型（2）：如圖（2），作點A分別關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結(jié)A’B,
根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。
例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作E關(guān)于BC的對稱點，點A關(guān)于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，根據(jù)，即可解．
【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對稱點，點A關(guān)于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中點，∴是的中位線，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長最小時，P、Q的位置．
例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【詳解】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，如圖所示：
連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．
根據(jù)軸對稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，
∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．
【點睛】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
例3．（23-24九年級上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在中，．若點P是邊上一點．則的最小值為 ．（2）如圖②，在中，，，點E是的中點．若點P是邊上一點，求的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形型環(huán)湖路，如圖③．若米，米，．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一條由，連接而成的步行景觀道，其中點E，F(xiàn)分別在邊，上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時的長．（路面寬度忽略不計）

【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）的長為500米，的長為1000米
【分析】（1）過B作于P，由垂線段最短可知，時，的值最小，由面積法即可求解；
（2）作E關(guān)于直線的對稱點，連接交于P，由E，關(guān)于直線對稱，可知，當(dāng)B，P，共線時，此時最小，最小值為的長度，根據(jù)，點E是的中點，可得，再用勾股定理可得答案；
（3）作C關(guān)于的對稱點M，連接交于H，作C關(guān)于的對稱點N，連接，延長，交于G，連接，連接交于E，交于F，由C，N關(guān)于對稱，C，M關(guān)于對稱，，當(dāng)N，E，F(xiàn)，M共線，最小，根據(jù)，，可得，即得米，米，米，由，知是等邊三角形，從而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米．
【詳解】解：（1）過B作于P，如圖：

由垂線段最短可知，時，∵，∴，
∵，∴；故答案為：；
（2）作E關(guān)于直線的對稱點，連接交于P，如圖：
∵E，關(guān)于直線對稱，∴，∴，
當(dāng)B，P，共線時，最小，最小值為的長度，
∵，∴，∵點E是的中點，∴，
∵E，關(guān)于直線對稱，∴，∴，
在中，，∴的最小值為；
（3）作C關(guān)于的對稱點M，連接交于H，作C關(guān)于的對稱點N，連接，延長，交于G，連接，連接交于E，交于F，如圖：
∵由C，N關(guān)于對稱，C，M關(guān)于對稱，
∴，∴，
當(dāng)N，E，F(xiàn)，M共線時，此時最??；
∵，∴，
∵C，M關(guān)于對稱，∴，
∴，∴米，由勾股定理得米，∴米，
∵，∴是等邊三角形，∴米，∴米，
∵，∴，∵C，N關(guān)于對稱，∴C，B，N共線，，
∴米，由勾股定理得米，∴米，∴，
∵，∴，∴，
在中，（米），在中，（米），
∴（米），答：的長為500米，的長為1000米．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作對稱，根據(jù)兩點之間線段最短解決問題．
1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點M，N分別為，上的動點，且，，交于點 E，點 F 為 的中點，點P為上一個動點，連接，．若，則 的最小值為（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)得，進(jìn)而可得，由此可得E點的運動軌跡在是以為直徑的圓上．延長至使，得與F關(guān)于直線對稱．連接交于P點，交圓O于E點，則，此時的值最小，根據(jù)勾股定理求出的長，即可得的最小值．
【詳解】∵是正方形，，，
又，，，
又，，，
∴E點在以為直徑的圓上運動．設(shè)的中點為O，則 ，
延長至使，則與F關(guān)于直線對稱，
連接交于P點，交圓O于E點，則，，
此時P、E、F三點共線，因此的值最?。谥校?，，
，，∴的最小值為，故選：B．
【點睛】本題是一道動點問題和最值問題的綜合性題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直徑所對圓周角等于90度、軸對稱的性質(zhì)．找出E點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形中，，，點E是邊的點，，點F是線段上一點，連接，以為直角邊作等腰直角，為斜邊，連接，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】過點G作于H，則可證明，得；取中點O，則，則點G在直線上運動，連接，則，，當(dāng)三點共線時最小，從而最小，由勾股定理即可求得最小值．
【詳解】解：如圖，過點G作于H，則，；
四邊形是矩形，，，，；
，，；
取中點O，連接，則，，四邊形是平行四邊形，
，四邊形是矩形，，則點G在直線上運動；
連接，則垂直平分，，，
當(dāng)三點共線時最小，從而最小，
，則由勾股定理，即的最小值為．
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，確定點G運動的路徑是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標(biāo)軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【分析】直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對稱點B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．
【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對稱，
，
∵直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小
∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，點，∴，，
∴∴△CDB是等邊三角形∴
∵點是的中點，∴,且BE⊥CD， ∴故選：A．
【點睛】本題考查菱形性質(zhì)及動點問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長．
4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關(guān)于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．
【詳解】解：四邊形是矩形，，，
點M，N分別是的中點，，，，，
，，，又，四邊形是平行四邊形，
，，
如圖，作點C關(guān)于直線的對稱點M，連接，，則，

當(dāng)點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，
在中，，，
，
的最小值，故選C．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．
5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側(cè)的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．的最小值為B．的最小值為
C．周長的最小值為6D．四邊形面積的最小值為
【答案】A
【分析】延長，則是等邊三角形，觀察選項都是求最小時，進(jìn)而得出當(dāng)點與重合時，則三點共線，各項都取得最小值，得出B，C，D選項正確，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長，依題意∴是等邊三角形，

∵是的中點，∴，∵，∴
∴，∴∴，
∴四邊形是平行四邊形，則為的中點，如圖所示，
設(shè)的中點分別為，則
∴當(dāng)點在上運動時，在上運動，當(dāng)點與重合時，即，
則三點共線，取得最小值，此時，
則，∴到的距離相等，則，
此時 此時和的邊長都為2，則最小，
∴，∴∴，
或者如圖所示，作點關(guān)于對稱點，則，則當(dāng)三點共線時，

此時 故A選項錯誤，
根據(jù)題意可得三點共線時，最小，此時，則，故B選項正確；
周長等于，即當(dāng)最小時，周長最小，
如圖所示，作平行四邊形，連接，
∵，則
如圖，延長,，交于點，則，
∴是等邊三角形，∴，
在與中，∴
∴∴∴
∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當(dāng)時，最短，
∵∴周長的最小值為，故C選項正確；
∵∴四邊形面積等于
∴當(dāng)?shù)拿娣e為0時，取得最小值，此時，重合，重合
∴四邊形面積的最小值為，故D選項正確，故選：A．
【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)點與重合時得出最小值是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】連接交于一點F，連接，根據(jù)正方形的對稱性得到此時最小，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，連接交于一點F，連接，
∵四邊形是正方形，∴點A與點C關(guān)于對稱，∴，
∴，此時最小，
∵正方形的邊長為4，∴，∵點E在上，且，
∴，即的最小值為故答案為：．

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．
7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點是矩形的對稱中心，點，分別在邊，上，且經(jīng)過點，，，，點是邊上一動點．則周長的最小值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段和的最小值計算；作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，則的最小值為，證明出周長的最小值為，作于，于，利用勾股定理求出和即可．
【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，

，的最小值為，周長的最小值為，
作于，于，，，
點是矩形的對稱中心，經(jīng)過點，
∵，，，，，
，，，周長的最小值為．
8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形中，，，，連接、交于點，點為上一動點，連接，點為的中點，連接、，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、軸對稱最短路徑問題，找到對稱點轉(zhuǎn)化線段是解題關(guān)鍵．
過點作的平行線分別交、于點、，由點為上一動點，點為線段的中點可得到點在線段上運動，為的中位線，求證，用等腰三角形“三線合一”證明，所以，即點與點關(guān)于對稱，所以，同時證明是等邊三角形，，即的最小值為．
【詳解】解：過點作分別交、于點、，
∵點為上一動點，點為線段的中點 ∴點在線段上運動，且為的中位線，
∵在和中， ∴，
∴，∴，，
∴，是等邊三角形，∴點與點關(guān)于對稱，∴，
又∵∴的最小值為．
9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點為正方形的對稱中心，點為邊上的動點，連接，作交于點，連接，為的中點，為邊上一點，且，連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】如圖，連接，由題意知，，由，得，，證明，則，是等腰直角三角形，由是中點，則，，，如圖，過作于，過作于，由，可知四點共圓，由，可得，進(jìn)而可得在線段上運動，如圖，延長，作點關(guān)于對稱的點，過作于，連接交于，連接，由題意知，，且，可知當(dāng)三點共線時，值最小，在中，由勾股定理得，，計算求解的值即可．
【詳解】解：如圖，連接，
由題意知，，∵，∴，
∵，∴，
在和中，∵，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∵是中點，∴，
∴，，如圖，過作于，過作于，∴，
∵，∴四點共圓，∵，∴，
∴在線段上運動，如圖，延長，作點關(guān)于對稱的點，過作于，連接交于，連接，由題意知，，
∴，∴三點共線時，值最小，
∵，在中，由勾股定理得，，
∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形，對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識．解題的關(guān)鍵在于確定點的運動軌跡．
10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，中，，，，I為的內(nèi)心，若M、N分別是斜邊和直角邊上的動點，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了最短路徑問題，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)．解答本題的的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到點與線段的長，找到數(shù)量關(guān)系．
作，，使，，由軸對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點之間線段最短，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)得，推出四邊形為正方形，再根據(jù)三角形全等，得到，求出和的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)一步可求得．
【詳解】解：分別作，，垂足分別為點D、E、F，使，交于點M，交于點G，
∵，，∴， ∴，
當(dāng)、M、N三點共線且垂直于時，最短．
∵I為的內(nèi)心，，，∴，
設(shè)，又∵，∴四邊形是正方形，∴，
∵中，，，∴， ∴，
在和中，∴（），∴，同理，
∵，∴，解得，，
又∵，∴，又∵，∴，
又∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，
∴，∴，，即，，∴，
∴，∴的最小值為．故答案為：．
11．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個動點，，沿翻折形成，連接、，則 ，的最小值是 .

【答案】 1 4
【分析】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的最短路線問題，作點關(guān)于的對稱點，連接，．由，推出，又是定值，即可推出當(dāng)、、、共線時，定值最小，最小值．
【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，．

在中，，，，
，，是定值，
當(dāng)、、、共線時，定值最小，最小值，
的最小值為4，故答案為：1，4．
12．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，連接，，的垂直平分線交于E，交于F，P是線段上一動點，點Q為的中點．若，的面積是24，則的最小值為 ．
【答案】6
【分析】連接，先證明是等腰三角形，點Q是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，∵，∴，，
∵，∴，∴，是等腰三角形，點Q是邊的中點，
，，解得，
是線段的垂直平分線，點B關(guān)于直線的對稱點為點，∴，
的長為的最小值，∴的最小值．故答案為：6．
【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三我的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
13．（2024·山東淄博·一模）如圖，線段與相交于點E，保持，已知，，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】過點作，過點作交于，過點作于，連接，則四邊形為平行四邊形，從而得，，，在中分別求出，，則，由此可求出，然后根據(jù)可得出的最小值．此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，正確地作出輔助線構(gòu)造平行四邊形和直角三角形，理解兩點之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點作，過點作交于，過點作于，連接，如下圖所示：
，，，四邊形為平行四邊形，，，
又，，
在中，，，，
由勾股定理得：，，
在中，由勾股定理得：，
，，根據(jù)“兩點之間線段最短”得：，
即，的最小值為，的最小值是．故答案為：．
14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點在射線上運動，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則，則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．
【詳解】解：∵為高上的動點．∴
∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長為的等邊三角形，
∴∴
∴，∴點在射線上運動，如圖所示，

作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則
在中，，則，
則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023上·江蘇常州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧的中點，P點為直線上的一個動點，當(dāng)時，的最小值為 .

【答案】
【分析】作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點P，此時有最小值，連接、、、，根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)，得出，，再利用勾股定理求出的長，即可得到的最小值．
【詳解】解：如圖，作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點P，此時有最小值，
連接、、、，
點A是半圓上的三等分點，，B是弧的中點，，
由軸對稱的性質(zhì)可知，，，，，
，，由勾股定理得：，
，故答案為：．

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)求最小值，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)作輔助線將所求線段轉(zhuǎn)化．
16．（2023·湖北黃岡·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是 ___________．

【答案】
【分析】取的中點，連接，，過點作于H點．解直角三角形求出，根據(jù)可得結(jié)論．
【詳解】解：取的中點，連接，，過點作于H點．

∵四邊形是菱形，，，∴，，
∵點E為的中點，點為的中點，∴，，
∵四邊形是菱形，，且，，
∴點E與點關(guān)于對稱，∴，∵，，
∴，，∴，
∴在中，，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)F、G、三點共線時取等號，
∴，∴的最大值為．故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考?？碱}型．
17．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為，則的最大值為______ ．
【答案】5
【分析】過點P作于H．過點P作直線，作點C關(guān)于直線l的對稱點，連接交直線l于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長．
【詳解】解：如圖，過點作于．，，，

過點作直線，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點作于．
，四邊形是矩形，，，
，，，
的最大值為．故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，涉及到的知識點三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最值問題．
18．（2024·陜西榆林·二模）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，，點E為的中點，點F為BC上一點，連接EF，，則的長為________；
【問題探究】（2）如圖2，菱形的邊長為8，且，E是的中點，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，求周長的最小值；
【問題解決】（3）某校為了開展勞動教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形所示，經(jīng)測量，米，米，，并沿著對角線修建一條隔墻（厚度不計）將該空地分成和兩個區(qū)域，其中區(qū)域為幼苗培育區(qū)，區(qū)域為作物觀察區(qū)，的中點P處有一扇門，現(xiàn)計劃在上取點E、F（點E在點F左側(cè)），并沿修建一面結(jié)果記錄墻（厚度不計），根據(jù)規(guī)劃要求，米，且與的長度之和最小，請問的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值為米．
【分析】（1）根據(jù)中點的定義求出，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段和差即可得到答案；
（2）先求出，則當(dāng)最小時，的周長最?。B接交AC于點，證明，則，即可得到，則當(dāng)B、F、E三點共線，即點F在點的位置時，取得最小值，最小值為的長．過點E作交的延長線于點H， 進(jìn)一步求出，得到的最小值為．即可得到答案；
（3）過點P作于點H，得到米．在上取點N，使得米，連接．得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步得到．作點N關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接交于點G，則垂直平分，，即，則當(dāng)點D、F、三點共線，即點F在點處時，取得最小值，最小值為，進(jìn)一步求出米，即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵，點E為的中點，∴，
∵，，∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴，故答案為：11
（2）菱形的邊長為8，點E為的中點，，
當(dāng)最小時，的周長最?。B接交AC于點，如圖2．

四邊形為菱形，，．
在和中，，，，
，，，
當(dāng)B、F、E三點共線，即點F在點的位置時，取得最小值，最小值為的長．
過點E作交的延長線于點H，如圖2．
四邊形為菱形，，．
，，，，
，即的最小值為．∴周長的最小值為．
（3）過點P作于點H，如圖3．
，于點H，∴．點P為的中點，即，
點H為的中點，即米．在上取點N，使得米，連接．
，四邊形為平行四邊形，，．
作點N關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接交于點G，如圖3．
則垂直平分，，即，
當(dāng)點D、F、三點共線，即點F在點處時，取得最小值，最小值為的長．，
過點作交的延長線于點M，如圖3．∴
∴．∴，∴米，∴米．
點P、H分別為的中點，為的中位線，米，
米，米，米，
即的值存在最小值，最小值為米．
【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、解直角三角形、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
19．（23-24九年級上·河南周口·期末）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題：
如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關(guān)于河岸的對稱點，連接，與河岸線相交于，則點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到，所走的路程就是最短的．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，在等腰梯形中，，點、是底邊與的中點，連接，在線段上找一點，使最短．
作點關(guān)于的對稱點，恰好與點重合，連接交于一點，則這點就是所求的點，故的最小值為_______．
(2)實踐運用如圖3，已知的直徑，點A在圓上，且的度數(shù)為，點是弧的中點，點在直徑上運動，求的最小值．
(3)拓展遷移如圖，已知拋物線的對稱軸為，且拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點．①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；②在拋物線的對稱軸直線上找到一點，使周長最小，請求出此時點的坐標(biāo)與周長最小值．
【答案】(1)(2)的最小值為
(3)①；②點M的坐標(biāo)為；周長的最小值為
【分析】（1）過點A作于點M，作于點N，求出，，，證明四邊形為平行四邊形，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；
（2）取點A關(guān)于的對稱點，連接、、、、，與交于點，當(dāng)點P在點時，最小，且最小值為，證明，根據(jù)，利用勾股定理求出即可；（3）①先利用對稱性求出點B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；②連接交直線于一點，該點即為點M，連接，，根據(jù)勾股定理求出周長的最小值為；求出直線的解析式為，把代入求出點M的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：過點A作于點M，作于點N，如圖所示：

則，∵四邊形為等腰梯形，∴，，
∴，，
∴，，，
∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∴，∴，
即的最小值為．故答案為：．
（2）解：取點A關(guān)于的對稱點，連接、、、、，與交于點，當(dāng)點P在點時，最小，且最小值為，如圖所示：

∵A關(guān)于的對稱點，為直徑，∴點在上，∵，∴，
∵點A關(guān)于的對稱點，∴，∵點是弧的中點，∴，
∴，∴，
∵直徑，∴，∴，即的最小值為．
（3）解：①∵拋物線的對稱軸為，且拋物線經(jīng)過，
∴拋物線與x軸的另外一個交點B的坐標(biāo)為：，∴拋物線的解析式為：，
把代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：．
②連接交直線于一點，該點即為點M，連接，，如圖所示：

∵點A、B關(guān)于直線對稱，∴，∴，
∵兩點之間線段最短，∴最小，即最小，∵為定值，∴此時的周長最小，
∵，，∴周長的最小值為；
設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，解得：，∴直線的解析式為，
把代入得：，∴點M的坐標(biāo)為．
【點睛】本題主要考查了將軍飲馬問題，二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，求出二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析，解題的關(guān)鍵是理解題意，數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線．
20．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點的坐標(biāo)；
(2)在y軸上存在點，使得的值最小，求的最小值．
【答案】(1)，(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，線段和的最小值．
（1）把點代入一次函數(shù)，即可得出，再把點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，即可得出，兩個函數(shù)解析式聯(lián)立求得點坐標(biāo)；（2）作點作關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點，此時的值最小，然后根據(jù)勾股定理即可求得．
【詳解】（1）解：把點代入一次函數(shù)，得，解得，∴，
點代入反比例函數(shù)，得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式,
兩個函數(shù)解析式聯(lián)立列方程組得，解得或，∴點B坐標(biāo)．
（2）解：作點關(guān)于y軸的對稱點，連接交軸于點，此時的值最小
則的最小值．
21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進(jìn)而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進(jìn)行求解即可；
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，
∴，解得：，∴；
（2）∵，∴，設(shè)直線，
則：，解得：，∴，當(dāng)時，，∴；
作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則：，，
∴當(dāng)三點共線時，有最小值為的長，

∵，，∴，即：的最小值為：；
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）【問題提出】
(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點P，M、N分別是、上的動點，分別作點P關(guān)于邊、的對稱點，，連接，與、相交于M、N，則此時的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點P關(guān)于邊、的對稱點分別為，，
∴，，，，
∴即周長的的最小值為
∵，∴∴是等腰直角三角形．
學(xué)以致用：若，在內(nèi)部有一點P，分別作點P關(guān)于邊、的對稱點，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．
(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點D是的中點，若，請用含有h的代數(shù)式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內(nèi)有一點P，點P到頂點B的距離為10，，點M、N分別是、邊上的動點，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)等邊(2)(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)對稱性，得到，，，進(jìn)而得到：，即可得到為等邊三角形；（2）作的垂直平分線，交于點，連接，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，，推出是含的直角三角形，用分別表示出，再利用，求出，進(jìn)而求出的面積．（3）如圖，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接，交，于點M，N，此時的周長最小，可以求出，由推出最小時，的值最大，此時的面積最大，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵點P關(guān)于邊OA、OB的對稱點分別為，，

∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴為等邊三角形；故答案為：等邊；
（2）解：∵，，點D是的中點，
∴，，，
作的垂直平分線，交于點，連接，
則：，，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴；
（3）解：存在；理由如下：如圖，以點為圓心，為半徑畫圓，分別作點關(guān)于，的對稱點，，則點，在上，連接，分別交，于點，，此時的周長最?。?br>∴，，，
∵，∴，且，∴，
過點作于，∴，，∴，∴，
∵，
∵為定值，∴最小時，的值最大，此時的面積最大，
過點作于點，則 ，
∴當(dāng)時，即O點與Q點重合時，的值最大，
∴，∴，∴，
∴，
∴，∴∴，
此時是等邊三角形，∴，
∵，∴，
∴ ，∴的最大值．
【點睛】本題考查軸對稱，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形、隱圓等知識．通過構(gòu)造軸對稱，利用軸對稱進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．

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