TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc31678" PAGEREF _Tc31678 \h 2
\l "_Tc18721" 模型1.將軍遛馬模型 PAGEREF _Tc18721 \h 2
\l "_Tc14899" 模型2.將軍造橋（過橋）模型 PAGEREF _Tc14899 \h 6
\l "_Tc5882" PAGEREF _Tc5882 \h 12
模型1.將軍遛馬模型
將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定，在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。
點A、B在直線m異側(cè)（圖1-1）；點A、B在直線m同側(cè) （圖1-2）；

圖1-1 圖1-2
將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1，過A點作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC?！郟A+QB=QC+QB，
再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

圖1-1 圖1-2
將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2，過A點作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對稱點B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE?！郟A+QB=QE+QB，
根據(jù)對稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·陜西·模擬預測）如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E、F在對角線AC上（點E在點F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為________
例2．（2023·安徽合肥·?？既＃┰谶呴L為2的正方形中，點E、F是對角線上的兩個動點，且始終保持，連接、，則的最小值為（ ）
A．B．3C．D．
例3．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在邊長為1的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
例4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在正方形中，，是對角線上兩點點靠近點，且，當?shù)淖钚≈禐闀r，的長為 ．
模型2.將軍造橋（過橋）模型
將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最?。?。

圖2-1 圖2-2
將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2，過A點作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，
∵MN為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點F和E．點G和H分別是和上的動點，，那么的最小值為______．

例2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動線段，且，則的最小值為________．

例3．（2024·陜西西安·二模）如圖1，正方形的邊長為4，點是對角線上兩動點，且，將點沿的方向平移2個單位得到點，連接、．
(1)①四邊形的形狀為_____________；
②連接、，當點，，共線時，的值為_____________．
(2)自古以來，黃河就享有“母親河”的美譽，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存的搖籃．如圖2，某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在支流1的左上方有一村莊，支流2的右下方有一開發(fā)區(qū)，為促進當?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展，經(jīng)政府決定在支流1和支流2上分別修建一座橋梁、（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河岸垂直），你能幫助政府計算一下由村莊到開發(fā)區(qū)理論上的最短路程嗎？（即和的最小值）．經(jīng)測量，、兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為米、250米，且與線段所夾的銳角分別為、．
1．（2023安徽中考學二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（ ）
A．4B．4+C．2+2D．6
2．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為( )
A．2B．1+3C．3+D．
3．（2024·四川瀘州·一模）如圖，在直角坐標系中，，，C是的中點，點D在第二象限，且四邊形為矩形，P是上一個動點，過點P作于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，則的最小值為 ．
4．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．
5．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對角線上運動，若⊙O的周長為，，則周長的最小值是 ．

6．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．
7．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，在矩形中，點E、F是對角線上的兩點，，，點G是邊的中點．當取最小值時，的值為 ．
8．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形中，，，是邊上一動點，過點作對角線的垂線，分別交于點、交直線于點，則點在運動過程中，的最小值是 ．
9．（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運動，若的面積為，，則（1）的直徑長為 ；（2）周長的最小值是 ．
10．（2024·吉林長春·三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸的一個交點為點，點在拋物線對稱軸左側(cè)，線段CD在對稱軸上，，則四邊形周長的最小值為 ．
11．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，等邊的邊長為3，點D在邊上，，線段在邊上運動，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長的最小值為，其中，正確結(jié)論的序號為 .
12．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在正方形中，對角線與交于點，，是的中點，是對角線上的一條動線段，若的最大值為，則的長為 ．
13．（2024·江蘇連云港·二模）如圖，正方形的邊長為4，E是的中點，P是上的動點，過點P作，分別交，于點F，G．當取最小值時，則的長是 ．
14．（2024·四川廣安·二模）如圖，是直線上長度固定為1的一條動線段．已知點，，則的最小值為 ．
15．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在正方形中，，是對角線上兩點點靠近點，且，當?shù)淖钚≈禐闀r，的長為 ．
16．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，平面直角坐標系中，點A是直線上一動點，將點A向右平移1個單位得到點B，點，則的最小值為 ，此時點B坐標為 ．
17．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，將線段沿x軸向右平移得到，連接，，則的最小值為 ．
18．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）（1）問題提出如圖①，在中，，點D，E分別是的中點．若點M，N分別是和上的動點，則的最小值是______．
（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學認為：過A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點N，此時在點N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長為10的正方形在線段上運動，連接，當取值最小時，求的長．
19．（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當S△NBC=S△ABC時，求N點的坐標；(3)在（2）問的條件下，過點C作直線l∥x軸，動點P（m，3）在直線l上，動點Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
20．（2023·黑龍江·九年級?？计谥校﹩栴}背景（1）如圖（1），在公路的一側(cè)有，兩個工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之間的水平距離為．現(xiàn)需把廠的產(chǎn)品先運送到公路上然后再轉(zhuǎn)送到廠，則最短路線的長是_____．
問題探究（2）如圖（2），和是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，，點，重合，點，重合，將沿直線平移，得到，連接，．試探究在平移過程中，是否存在最小值．若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
問題解決（3）如圖（3），A，B分別是河岸m一側(cè)的兩個旅游景點，它們到河岸的垂直距離分別是和，，的水平距離是．游客在景點游覽完后，乘坐大巴先到河岸上的碼頭甲處，改乘游輪沿河航行到達碼頭乙，再乘坐大巴到達景點．請問碼頭甲，乙建在何處才能使從到的旅游路線最短，并求出最短路線的長．
專題32 最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型
將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉(zhuǎn)化為標準的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！
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模型1.將軍遛馬模型
將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定，在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。
點A、B在直線m異側(cè)（圖1-1）；點A、B在直線m同側(cè) （圖1-2）；

圖1-1 圖1-2
將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1，過A點作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

圖1-1 圖1-2
將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2，過A點作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對稱點B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。
∵PQ為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE?！郟A+QB=QE+QB，
根據(jù)對稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·陜西·模擬預測）如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E、F在對角線AC上（點E在點F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為________
【答案】
【分析】作DMAC，使得DM=EF=1，連接BM交AC于F，由四邊形DEFM是平行四邊形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，由四邊形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根據(jù)勾股定理計算即可．
【詳解】解：如圖，作DMAC，使得DM＝EF＝1，連接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DMEF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝3，
∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值為．故答案為．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題．
例21．（2023·安徽合肥·?？既＃┰谶呴L為2的正方形中，點E、F是對角線上的兩個動點，且始終保持，連接、，則的最小值為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】過點作使，易得四邊形為平行四邊形，得到，進而得到，得到三點共線時，有最小值即為的長，利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】解：過點作使，則：四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當三點共線時，有最小值即為的長，
∵四邊形為正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值為3．故選B．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，進行線段的轉(zhuǎn)化．
例3．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在邊長為1的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，于是得到的最小值的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點在過點且平行于的定直線上，作點關(guān)于定直線的對稱點，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，求得，得到，于是得到結(jié)論
【詳解】解：在邊長為1的菱形中，，，，
將沿射線的方向平移得到，，，
四邊形是菱形，，，，
，，四邊形是平行四邊形，
，的最小值的最小值，
點在過點且平行于的定直線上，
作點關(guān)于定直線的對稱點，連接交定直線于，則的長度即為的最小值，
在中，，，
，，，，
，，作，
過點D作垂足為G
在中，
．故選：．
【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平移的性質(zhì)，求得的最小值的最小值是解題的關(guān)鍵．
例4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在正方形中，，是對角線上兩點點靠近點，且，當?shù)淖钚≈禐闀r，的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，線段和的最值問題，勾股定理；平移至，則，連接，得出四邊形是平行四邊形，則，，根據(jù)題意可得，在中，勾股定理求得，進而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，平移至，則，連接,
∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴
∵在正方形中，，是對角線上兩點
∴∴
在中，
∴故答案為：．
模型2.將軍造橋（過橋）模型
將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最?。?br>
圖2-1 圖2-2
將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2，過A點作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，
∵MN為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點F和E．點G和H分別是和上的動點，，那么的最小值為______．

【答案】
【分析】過點E作交于點I，連接．易求出，，．易證四邊形為平行四邊形，得出，即說明當最小時，最?。僧旤cI，H，C三點共線時，最?。Y(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點E作交于點I，連接．

∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．同理可得出．
∵，，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∴，∴當最小時，最?。?br>∵當點I，H，C三點共線時，最小，∴此時最小，如圖，

∵，∴．∵∴四邊形為平行四邊形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值為． 故答案為：．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點之間線段最短等知識．正確作出輔助線，理解當點I，H，C三點共線時，最小，即此時
最小是解題關(guān)鍵．
例2．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動線段，且，則的最小值為________．

【答案】
【分析】在上取一點，使得，連接，如圖所示，首先證明，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作交的延長線于，證明，求出可得結(jié)論．
【詳解】解：在上取一點，使得，連接，如圖所示：

，，四邊形是平行四邊形，，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作交的延長線于，如圖所示：
，，是等邊三角形，，，
，，，，
，，，
，，，，，，
，，
，的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，旋轉(zhuǎn)變換，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
例3．（2024·陜西西安·二模）如圖1，正方形的邊長為4，點是對角線上兩動點，且，將點沿的方向平移2個單位得到點，連接、．
(1)①四邊形的形狀為_____________；
②連接、，當點，，共線時，的值為_____________．
(2)自古以來，黃河就享有“母親河”的美譽，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存的搖籃．如圖2，某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在支流1的左上方有一村莊，支流2的右下方有一開發(fā)區(qū)，為促進當?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展，經(jīng)政府決定在支流1和支流2上分別修建一座橋梁、（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河岸垂直），你能幫助政府計算一下由村莊到開發(fā)區(qū)理論上的最短路程嗎？（即和的最小值）．經(jīng)測量，、兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為米、250米，且與線段所夾的銳角分別為、．
【答案】(1)①平行四邊形；②6．(2)米
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)：
（1）①根據(jù)平行的性質(zhì)得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；②由正方形的性質(zhì)得到，，由勾股定理得，由平行線的性質(zhì)得到，則，由勾股定理得到，再由正方形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得到，，則；
（2）如圖所示，將點A沿著垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，連接，將點B沿著垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，連接，則四邊形和四邊形都是平行四邊形，可得，則當四點共線時，最小，即此時最?。蝗鐖D所示， 分別延長交于H，則，進而得到，則米，米，進一步得到米，米，則米， 即可得到的最小值為米．
【詳解】（1）解：①由平行的性質(zhì)可得，
∴四邊形是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；
②∵四邊形是正方形，∴，，
∴，
∵，∴，∴，∴，
由正方形的對稱性可得，由平行四邊形的性質(zhì)可得，
∴，故答案為：6；
（2）解：如圖所示，將點A沿著垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，連接，將點B沿著垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，連接，
∴四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴，
∴，
∴當四點共線時，最小，即此時最?。?br>如圖所示， 分別延長交于H，
∵支流1和支流2與線段所夾的銳角分別為、，
∴，∴，∴米，
∴米，∴米，米，
∴米， ∴的最小值為米．
1．（2023安徽中考學二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（ ）
A．4B．4+C．2+2D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，進而得出△AEF周長的最小值即可．
【詳解】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長最?。?br>∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周長的最小值＝4+2＝6，故選：D．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)與動點問題最小值，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．
2．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為( )
A．2B．1+3C．3+D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時AM+BN＝AB′．
【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．
根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．
【點睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化．
3．（2024·四川瀘州·一模）如圖，在直角坐標系中，，，C是的中點，點D在第二象限，且四邊形為矩形，P是上一個動點，過點P作于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，則的最小值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了一次函數(shù)點的坐標的求法、三角形面積的求法和三點共線及最值，綜合性強，是中考常見題型．連接，根據(jù)、的坐標先確定和的長，證明四邊形是矩形，得，再證明四邊形是平行四邊形，則，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，當、、在同一直線上時，的值最小，利用平行四邊形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：如圖，連接，，，，，
是的中點，，，四邊形是矩形，，
，四邊形是平行四邊形，，，
要使的值最小，只需、、三點共線即可，
點是點關(guān)于點的對稱點，，又點，根據(jù)勾股定理可得，
此時，，即的最小值，6；故答案為：6
4．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．
【答案】
【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值為．故答案為：
【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．
5．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對角線上運動，若⊙O的周長為，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】過點作，令；可推出四邊形為平行四邊形，有；根據(jù)可知當時，周長有最小值.
【詳解】解：過點作，令

∵⊙O的周長為，∴⊙O的半徑為∴
∵且∴四邊形為平行四邊形
∴ 由正方形的對稱性可得：∴
∴故：當時，周長有最小值
此時：∴周長的最小值是故答案為：
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等．推出當時，周長有最小值是解題關(guān)鍵．
6．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．
【答案】
【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移圖形的性質(zhì)，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當點C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．
【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點C與點C′關(guān)于AE對稱，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當點C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，
此時，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=，
即EC+GC的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的對稱性、線段最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解．
7．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，在矩形中，點E、F是對角線上的兩點，，，點G是邊的中點．當取最小值時，的值為 ．
【答案】2
【分析】取的中點，連接．根據(jù)點是邊上的中點，則，推出四邊形是平行四邊形，所以，因此，當、、三點在同一直線上時，最小，即，由，推出，代入計算得出答案．
【詳解】解：如圖，取的中點，連接．
∵點是邊上的中點，∴是的中位線，∴．
∵是矩形，，∴，，∴，∴，
∵，∴，∴四邊形是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，
∴，∴，∴當、、三點在同一直線上時，最小，
∵，，∴，∴，
∴，∴，故答案為：2．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱，三角形中位線，平行四邊形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中，證明是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形中，，，是邊上一動點，過點作對角線的垂線，分別交于點、交直線于點，則點在運動過程中，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】過點作交于，過點作，使，連接，，推出的最小值為的長度，為定值，再分別求出、的長度即可．
【詳解】解：過點作交于，過點作，使，連接，，如下圖，
∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，
即取最小值為的長度，∵四邊形是矩形，，，
∴，，,，，
∴，∵，，
∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，∴，
又∵，∴,∴，即，解得，
∴，∴，
∵，∴，即的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系等知識，正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
9．（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運動，若的面積為，，則（1）的直徑長為 ；（2）周長的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】（1）根據(jù)正方形內(nèi)接于，得到是，根據(jù)，解得（舍去），解得即可．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到點A與點C是對稱點，連接，交于點O，連接，則，過點C作，連接，則四邊形是平行四邊形，繼而得到，繼而得到，結(jié)合，故當三點共線時，取得最小值，得到周長的最小值．
【詳解】（1）∵正方形內(nèi)接于，∴是的直徑，∴，
解得（舍去），故答案為：．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到點A與點C是對稱點，，
連接，交于點O，連接，則，
過點C作，連接，則四邊形是平行四邊形，
∴，∴，∵，
故當三點共線時，取得最小值，得到周長的最小值．
∵，∴，∴，
故周長的最小值為4．故答案為：4．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形不等式的應用，圓的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系的應用是解題的關(guān)鍵．
10．（2024·吉林長春·三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸的一個交點為點，點在拋物線對稱軸左側(cè)，線段CD在對稱軸上，，則四邊形周長的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得點的坐標和再證明四邊形是平行四邊形，得出，結(jié)合兩點之間線段最短，故四邊形的周長是，運用兩點距離公式列式計算，得出，代入計算即可作答．
【詳解】解：∵拋物線與軸交于點，與軸的一個交點為點，
∴當時，∴點的坐標是，當時，則，∴，
設(shè)拋物線與軸的另外一個交點為M，∴∴對稱軸；則
過點M作軸，且，
∵軸，線段CD在對稱軸上，∴
∵∴四邊形是平行四邊形∴
連接與對稱軸相交于一點，即為點D的位置，再連接
∵對稱軸，線段CD在對稱軸上，
∴∴ 此時四邊形周長有最小值
即
∵∴則則
∴四邊形周長的最小值為故答案為：
11．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，等邊的邊長為3，點D在邊上，，線段在邊上運動，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長的最小值為，其中，正確結(jié)論的序號為 .
【答案】②③/③②
【分析】①根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得，進而得，同理得，即，進而得，由此得與不可能相等．
②假設(shè)與相似，設(shè)，利用相似三角形對應邊成比例，列比例式得出x的值，再與x的取值范圍進行比較，即可判斷相似是否成立；
③過P作于E，過D作于F，過C點作于G點，利用函數(shù)求四邊形面積的最大值．設(shè)，可表示出，，可用函數(shù)表示出，，再根據(jù)，依據(jù)，即可得到四邊形面積的最大值；
④作D點關(guān)于直線的對稱點，作，且，連接交 于P點，將P點沿射線平移得Q點，連接、、，則可得四邊形是平行四邊形．進而可得則四邊形的周長，此時四邊形的周長最小，計算出，根據(jù)勾股定理即可求出的值，進而可得四邊形周長的最小值，即可得解．
【詳解】①在中，，，，即，
當Q點與A點重合時，．
在中，， ，，，，
當P點與B點重合時，．綜上，當Q點與A點重合時，；
當P點與B點重合時，；當P、Q不與A、B重合時．
∴與不可能相等，故①錯誤．
②設(shè)，，，，．假設(shè)與相似，
，，，整理得，，解得：，，
，∴或1.5都符合題意， ∴與可能相似，故②正確．
③如圖，過P作于E，過D作于F，過C點作于G點．

設(shè)，則，．
，，．
，，，．
中，，，，
，
，∵S隨x的增大而增大，∴當x取最大值2.5時，S的值最大，
，故③正確．
④如圖，作D點關(guān)于直線的對稱點，作，且，連接交 于P點，將P點沿射線平移得Q點，連接、、，
則，，且四邊形是平行四邊形，，
則四邊形的周長 ，
此時四邊形的周長最?。B接，
，且，，
，，且，
．在中，，
∴四邊形的周長的最小值為，故④錯誤．故答案為：②③
【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、利用函數(shù)求最值、動點變化問題等知識．解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過用函數(shù)求最值、作對稱點求最短距離，即可得解．
12．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在正方形中，對角線與交于點，，是的中點，是對角線上的一條動線段，若的最大值為，則的長為 ．
【答案】1
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，線段最值問題等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．
過點作的平行線，過點作的平行線，兩平行線交于點，取關(guān)于的對稱點，連接，，，根據(jù)三角形兩邊之查小于第三邊即可得到，在中，利用勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：如圖，過點作的平行線，過點作的平行線，兩平行線交于點，取關(guān)于的對稱點，連接，，，
∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，
∵關(guān)于的對稱點是，是的中點，∴是的中點，即
在中，，∴，
當點運動到與點，在一條直線上的時候，即取到最大值，即，
∵，，∴，∴在中，，
∴，∴．故答案為：1．
13．（2024·江蘇連云港·二模）如圖，正方形的邊長為4，E是的中點，P是上的動點，過點P作，分別交，于點F，G．當取最小值時，則的長是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得與，再由勾股定理求得；過G作于G，，證明得，再將沿方向平移至，連接，當D、G、H三點共線時，的值最小，此時為等腰直角三角形，得，進而得是等腰直角三角形，再證得出，進而即可得解．
【詳解】過G作于M，則，，
∵正方形的邊長為4，∴，，
∵E是的中點，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
將沿方向平移至，連接，則，，，
當D、G、H三點共線時，的值最小，
此時為等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴，∴，∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，兩點之間線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是通過平移變換確定取最小值的位置．
14．（2024·四川廣安·二模）如圖，是直線上長度固定為1的一條動線段．已知點，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱最短路線問題．在軸上取點，使，則四邊形為平行四邊形，作點關(guān)于直線的對稱點，則，即、、三點共線時，最小值為的長．
【詳解】解：如圖，在軸上取點，使，則四邊形為平行四邊形，
∵點，，，，，
作點關(guān)于直線的對稱點，，，
，即、、三點共線時，最小值為的長，
在中，由勾股定理得，∴的最小值為，故答案為：．
15．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在正方形中，，是對角線上兩點點靠近點，且，當?shù)淖钚≈禐闀r，的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，線段和的最值問題，勾股定理；平移至，則，連接，得出四邊形是平行四邊形，則，，根據(jù)題意可得，在中，勾股定理求得，進而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，平移至，則，連接,
∴四邊形是平行四邊形，∴，，
∵，∴∵在正方形中，，是對角線上兩點
∴∴
在中，∴故答案為：．
16．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，平面直角坐標系中，點A是直線上一動點，將點A向右平移1個單位得到點B，點，則的最小值為 ，此時點B坐標為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，即將C，O均向左移動一個單位，可證四邊形和四邊形是平行四邊形，得，這樣的最值問題轉(zhuǎn)化為最值問題，作D點關(guān)于直線的對稱點E，連接，由對稱性可證的最小值為，即的最小值為，求出一次函數(shù)與坐標軸的交點，并求出，，在中，即可取出，由同角的余角相等，可證，由解直角三角形，在中， ，，再由勾股定理即可求出；求出直線的解析式，并與直線聯(lián)立，求出交點A，由平移即可求出B點坐標；
【詳解】如圖，設(shè)，，作D點關(guān)于直線的對稱點E，連接交直線于A，連接， 交直線于G，作軸于S，
將點A向右平移1個單位得到點B，，，，軸，
四邊形和四邊形是平行四邊形，，
點D，E關(guān)于直線對稱，，，，
，的最小值為，
令，得，解得，，，，
令，得，，，在中，，
，，
在中，，，
，，，，
在中，，，
，，在中， ，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得，
，解得，直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，，．故答案為：，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應用，一次函數(shù)與方程的關(guān)系，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化思想的運用，證得的最小值為．
17．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，將線段沿x軸向右平移得到，連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】作，且使，連接．作點關(guān)于x軸的對稱點C'（0，-3），連接交x軸于點W，連接，推出當點在點W處時，最小，最小值是的長，再利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：如圖，作且使，連接，
∴四邊形是平行四邊形，，，
∵點，，∴設(shè)點1），∴點．
作點關(guān)于x軸的對稱點連接，，交x軸于點W，
，∴當點在點W處時，最小，最小值是的長．
，的最小值是故答案為
【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題，平面直角坐標系中的平移，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，能靈活運用平移和軸對稱構(gòu)造將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵．
18．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）（1）問題提出如圖①，在中，，點D，E分別是的中點．若點M，N分別是和上的動點，則的最小值是______．
（2）問題探究：如圖②，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處，才能使從A到B的路徑最短．博琳小組針對該問題展開討論，小旭同學認為：過A作河岸的垂線，使，為河寬，連接，與河的一岸交于點N，此時在點N處建橋，可使從A到B的路徑最短．你認為小旭的說法正確嗎？請說明理由．（3）問題解決：如圖③，在矩形中，．E、F分別在上，且滿足，．若邊長為10的正方形在線段上運動，連接，當取值最小時，求的長．

【答案】（1）3；（2）小旭的說法正確，理由見解析；（3）38或14
【分析】（1）連接，過點A作于點F，根據(jù)兩點之間線段最短，可得當時，最短，此時點N與點F重合，即的最小值為的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得四邊形為平行四邊形，從而得到，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，當點，N，B三點共線時，最短，即可求解；
（3）過點N分別作，分別交于點H，G，連接交于點T，過點G作于點X，則，，證明四邊形，四邊形都是平行四邊形， 可得，從而得到當點H，T，G三點共線時，的值最小，此時點N與點T重合，然后證明，可得，可求得的長；過點Q分別作，分別交于點K，L，連接交于點S，當點K，S，L三點共線時，的值最小，此時點N與點S重合，同理可求出的長，即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，過點A作于點F，∴，

當時，最短，此時點N與點F重合，即的最小值為的長，
∵，∴，∴，
∴的最小值為3；故答案為：3
（2）解：小旭的說法正確，理由如下：根據(jù)題意得：，，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，當點，N，B三點共線時，最短，
∵為河寬，∴在點N處建橋，可使從A到B的路徑最短．
（3）如圖，過點N分別作，分別交于點H，G，連接交于點T，過點G作于點X，則，，

根據(jù)題意得：，，
∴四邊形，四邊形都是平行四邊形，
∴，∴，
即當點H，T，G三點共線時，的值最小，此時點N與點T重合，
∵，∴，，，
∵，∴，∴，∴，解得：，
∴；
如圖，過點Q分別作，分別交于點K，L，連接交于點S，當點K，S，L三點共線時，的值最小，此時點N與點S重合，同理；
綜上所述，當取值最小時，的長為38或14．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間，線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．
19．（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當S△NBC=S△ABC時，求N點的坐標；(3)在（2）問的條件下，過點C作直線l∥x軸，動點P（m，3）在直線l上，動點Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，頂點M坐標為（1，4）；(2)點N坐標為（4，-5）；
(3)當m=時，PM+PQ+QN有最小值，最小值為3+3．
【分析】（1）將點A、B、C坐標代入解析式，解關(guān)于a、b、c的方程組可得函數(shù)解析式，配方成頂點式即可得點M坐標；（2）設(shè)N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根據(jù)點N、C坐標用含t的代數(shù)式表示出直線CN解析式，求得CN與x軸的交點D坐標，即可表示BD的長，根據(jù)S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB?OC建立關(guān)于t的方程，解之可得；（3）將頂點M（1，4）向下平移3個單位得到點M′（1，1），連接M′N交x軸于點Q，連接PQ，此時M′、Q、N三點共線時，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由點M′、N坐標求得直線M′N的解析式，即可求得點Q的坐標，據(jù)此知m的值，過點N作NE∥x軸交MM′延長線于點E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，據(jù)此知m=時，PM+PQ+QN的最小值為3+3．
【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，則拋物線的頂點M坐標為（1，4）；
（2）解：∵N是拋物線上第四象限的點，∴設(shè)N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又點C（0，3），設(shè)直線NC的解析式為y=k1x+b1，
則，解得：，∴直線NC的解析式為y=（-t+2）x+3，
設(shè)直線CN與x軸交于點D，當y=0時，x=，∴D（，0），BD=3-，

∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB?OC，即BD?|yC-yN|= [3-（-1）]×3，
即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去），
當t=4時，-t2+2t+3=-5，∴點N坐標為（4，-5）；
（3）解：將頂點M（1，4）向下平移3個單位得到點M′（1，1），連接M′N交x軸于點Q，連接PQ，
則MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x軸，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四邊形MM′QP是平行四邊形，∴PM=QM′，
由作圖知當M′、Q、N三點共線時，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
設(shè)直線M′N的解析式為y=k2x+b2（k2≠0），
將點M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：，
∴直線M′N的解析式為y=-2x+3，當y=0時，x=，∴Q（，0），即m=，
此時過點N作NE∥x軸交MM′延長線于點E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
∴M′N=， ∴M′Q+QN=3，∴當m=時，PM+PQ+QN的最小值為3+3．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理及根據(jù)兩點間線段最短得到點P、Q的位置．
20．（2023·黑龍江·九年級?？计谥校﹩栴}背景（1）如圖（1），在公路的一側(cè)有，兩個工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之間的水平距離為．現(xiàn)需把廠的產(chǎn)品先運送到公路上然后再轉(zhuǎn)送到廠，則最短路線的長是_____．
問題探究（2）如圖（2），和是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，，點，重合，點，重合，將沿直線平移，得到，連接，．試探究在平移過程中，是否存在最小值．若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
問題解決（3）如圖（3），A，B分別是河岸m一側(cè)的兩個旅游景點，它們到河岸的垂直距離分別是和，，的水平距離是．游客在景點游覽完后，乘坐大巴先到河岸上的碼頭甲處，改乘游輪沿河航行到達碼頭乙，再乘坐大巴到達景點．請問碼頭甲，乙建在何處才能使從到的旅游路線最短，并求出最短路線的長．
【答案】（1）（2）存在，最小值為（3）最短路線長為
【分析】（1）根據(jù)最短路徑的作法，找出最短路徑，再利用矩形的性質(zhì)，求出和的距離，最后利用勾股定理即可求出最短路徑；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知四邊形和均為平行四邊形，再利用最短路徑作法得出即為最短距離，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出答案；
（3）根據(jù)題意畫圖可知四邊形為平行四邊形，最后根據(jù)勾股定理即可求出答案．
【詳解】解：（1） 如圖 （1）， 點 是公路上的一點， 假設(shè)先把產(chǎn)品運送到點 處， 再轉(zhuǎn)送到 廠， 作點 關(guān)于 的 對稱點， 連接，， 連接 交于點，
則 ，，
當點 與點 重合時， 取得最小值， 為 的長．
連接， 交于點， 過點 作 于點， 過點 作， 垂足為點，
則，四邊形 是矩形，
，，
又，，
即最短路線的長是．故答案為：．
（2） 存在．理由如下，如圖 （2）， 過點 作直線， 作點 關(guān)于直線的對稱點， 連接 ，，交直線于點， 過點 作交直線 于點， 連接，，， 則．
由平移知，．又 ，四邊形 是平行四邊形，
，由平移知，
又，四邊形 是平行四邊形，
當點 與點重合時， 最小， 最小值為 的長．
過點 作 交 的延長線于點， 則 為等腰直角三角形．
，，，
的最小值為．故答案為：存在，最小值為．
（3） 如圖 （3），設(shè)碼頭乙為點， 碼頭甲為點， 連接，，
過點 作， 且， 作點 關(guān)于 的對稱點， 連接 交于點．
連接， 則．是平行四邊形， ，
點 ，N重合時，旅游路線最短．
過點 作直線， 過點 作 于點，
則 ，，，，
．故答案為：最短路線長為．
【點睛】本題考查了軸對稱在最短路徑問題中的應用，涉及到的知識點有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑．

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