專題28 最值模型之阿氏圓模型-【幾何模型】最新中考數(shù)學二輪復習常見幾何模型全歸納與精練（全國通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

1、以專題復習為主。如選擇題、填空題的專項練習，要把握準確度和時間的安排。
2、重視方法思維的訓練。對初中數(shù)學所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學思想方法，要通過典型試題的訓練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。將專項復習中的共性習題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題28 最值模型之阿氏圓模型
最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上兩點A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。
例1．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．
例2．（2023春·江蘇·九年級?？茧A段練習）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點，則的最大值是．
例3．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，菱形的邊長為2，銳角大小為，與相切于點E，在上任取一點P，則的最小值為___________．
例4．（2023·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應，連接，則的最小值為．

例5．（2023·浙江·一模）問題提出：
如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
例6．（2022·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值

例7．（2022·湖北武漢·模擬預測）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點 A, B ，所有滿足 ? k ( k 為定值)的 P 點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，
【問題解決】如圖，在△ABC 中，CB ? 4 ， AB? 2AC ，則△ABC 面積的最大值為_____．
例8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．
(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．

課后專項訓練
1．（2023春·浙江九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（）
A．7B．5C．D．
2．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）如圖，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內(nèi)一動點，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為( )
A．6B．4C．4D．6
3．（2022·湖北·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．
4．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．
5．（2023·湖南·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為．
6．（2023上·四川成都·九年級校考期中）如圖，已知，若點、在射線上，且滿足，，是射線上的動點，同時在右側(cè)作，且滿足，則的面積為．若點運動軌跡與射線交于點，當?shù)淖钚≈禃r，此時的值為．
7．（2023·廣西·南寧市一模）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內(nèi)一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是_____．
8．（2023·江蘇蘇州·蘇州市二模）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．
9．（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┤鐖D，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．
10．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．
11．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為 _____．
12．（2023·四川成都·九年級專題練習）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是上一動點，連接PB，PC，則的最小值_____________的最小值_______
13．（2023·廣西·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為4，，的半徑為2，P為上一動點，則的最小值．的最小值
14．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知：
（1）初步思考：如圖1，在中，已知，BC=4，N為BC上一點且，試說明：
（2）問題提出：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值．（3）推廣運用：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B﹦60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最大值．

圖1 圖2 圖3
15．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關于點的勾股點．
(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則點是關于點______的勾股點；若點在格點上，且點是關于點的勾股點，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點，點是平面內(nèi)一點，且點是關于點的勾股點．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；
③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．
(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關于點的勾股點，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．
16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，已知是等邊三角形，，點D為的中點，點E，F(xiàn)分別為邊，上的動點（點E不與B，C重合），且．
(1)求的取值范圍；(2)若，求的長；(3)求的最小值．
17．（2023·重慶大渡口·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，在矩形中，，分別以所在的直線為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，連接,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段的中點，并與矩形的兩邊交于點和點，直線經(jīng)過點和點. （1）連接、，求的面積；（2）如圖2，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)—定角度，使得點的對應點好落在軸的正半軸上，連接，作，點為線段上的一個動點，求的最小值.

17．（2023·深圳·模擬預測）【模型由來】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點A、B，則所有滿足（且）的點的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”．
【模型建立】如圖1所示，圓O的半徑為r，點A、B都在圓O外，P為圓O上一動點，已知，連接PA、PB，則當“”的值最小時，P點的位置如何確定？

第1步：一般將含有k的線段PB兩端點分別與圓心O相連，即連接OB、OP；
第2步：在OB上取點C，使得，即，構造母子型相似∽（圖2）；
第3步：連接AC，與圓O的交點即為點P（圖3）．
【問題解決】如圖，與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，半徑為3，點，點，點P在弧MN上移動，連接PA，PB．(1)的最小值是多少？(2)請求出（1）條件下，點P的坐標．
18．（2023·江蘇揚州·校聯(lián)考二模）請認真閱讀下列材料：
如圖①，給定一個以點O為圓心，r為半徑的圓，設點A是不同于點O的任意一點，則點A的反演點定義為射線上一點，滿足．
顯然點A也是點的反演點．即點A與點互為反演點，點O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點A到點的變換或從點到點A的變換稱為反演變換．
例如：如圖②，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點B；C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為；若C關于的反演點分別為．
（1）求點的坐標；（2）連接、，求的最小值．
解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．
∴，故點的坐標為；
（2）如圖③，連接、，由反演變換知，
即，而，∴．
∴，即．
∴．故的最小值為13.
請根據(jù)上面的閱讀材料，解決下列問題：
如圖④，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點B，C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為．
（1）點D關于的反演點的坐標為________；（2）連接、，求的最小值；
（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是__________________．

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