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\l "_Tc11866" 模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡） PAGEREF _Tc11866 \h 1
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模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）
瓜豆原理：一個主動點(diǎn)，一個從動點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點(diǎn)動），當(dāng)主動點(diǎn)運(yùn)動時，從動點(diǎn)的軌跡相同。
只要滿足：
則兩動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是相似的，運(yùn)動軌跡長度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。
1、兩“動”，一“定”
2、兩動點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角
3、兩動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值
動點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點(diǎn)叫瓜（豆），從動點(diǎn)叫瓜（豆），瓜在直線上運(yùn)動，豆也在直線_上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆的軌跡也是圓。
模型1）如圖，P是直線BC上一動點(diǎn)，A是直線BC外一定點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時，則Q點(diǎn)軌跡也是一條直線。

證明：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動過程中，
因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
模型2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動時，則Q點(diǎn)軌跡也是一條直線。
證明：在BC上任取一點(diǎn)P1，作三角形△AP1Q1，且滿足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，連結(jié)Q1Q交BC于點(diǎn)N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q點(diǎn)所在直線與BC的夾角為定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
當(dāng)動點(diǎn)軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。
1）當(dāng)動點(diǎn)軌跡已知時可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動點(diǎn)軌跡未知時，先確定動點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。
3）確定動點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線，即模型1）；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線，即模型2）；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；
④觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；
注意：若動點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對角線）為其他已知軌跡的線段求最值。
例1．（2024·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
例2．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接，則 ，連接，則周長的最小值是 ．
例3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為 ．
例4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為 .
例6．（2024·重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．
例7．（2024·廣東·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則長的最小值是（ ）
A．2B．2.5C．D．
1．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一個動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是（ ）.
A．4B．C．D．
2．（2024·湖南長沙·一模）如圖，矩形中，，F(xiàn)是上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，連接，將繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則的最小值為 ．
3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形對角線上一動點(diǎn)，連接，以為邊向上作正方形，對角線交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為

4．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點(diǎn)，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為 ．

5．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時，的最小值是 ．

6．（2023上·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上一動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，線段繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，連接，則的最小值是 ．

7．（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．
8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，且，連接，則線段長度的最小值為______．
9．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)在直線上，于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，以為邊作等邊，連接，則的最小值為 ．
10．（2024·四川達(dá)州·三模）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接， ，則的最小值是 ．
11．（2024·四川成都·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)，為直線上的兩個動點(diǎn)，且，將線段關(guān)于翻折得線段，連接．當(dāng)線段的長度最小時，的度數(shù)為 度．
12．（23-24八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，中，，，，D是線段上一個動點(diǎn)，以為邊在外作等邊．若F是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為 ．

13．（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）等邊邊長為6，D是中點(diǎn)，E在上運(yùn)動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為 ．
14．（23-24九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延長線上一點(diǎn)，E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F．
(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的長；
(3)如圖3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直線AB上運(yùn)動，以DE為斜邊向上構(gòu)造直角△DTE，且∠E＝30°，請直接寫出CT的最小值是 ．
15．（2023·山東臨沂·二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時，作，垂足為M，求證：；(2)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，試探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．
16．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時，點(diǎn)隨之運(yùn)動，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．
17．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題：四邊形是邊長為3的正方形，點(diǎn)E是邊上的一動點(diǎn)，連接，以為一邊作正方形（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時針方向排列），連接，．
(1)如圖1，求點(diǎn)G到的距離，請寫出解答過程；
【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：
(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)D時，求的長，請寫出解答過程；
【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：
(3)求代數(shù)式的最小值．經(jīng)過小組研討，組長小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；
解題思路：如圖3，作等腰直角，使，連接，，，則點(diǎn)C，D，三點(diǎn)共線，
由，，可得，
由，，可得，……請完成“……”部分的解答過程．
18．（2024·山東濟(jì)南·一模）【問題情境】：（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．
【類比探究】：（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系：______，并說明理由：
【拓展提升】：（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，求的最小值．

專題37 最值模型之瓜豆模型（原理）直線
動點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）
瓜豆原理：一個主動點(diǎn)，一個從動點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點(diǎn)動），當(dāng)主動點(diǎn)運(yùn)動時，從動點(diǎn)的軌跡相同。
只要滿足：
則兩動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是相似的，運(yùn)動軌跡長度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。
1、兩“動”，一“定”
2、兩動點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角
3、兩動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值
動點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點(diǎn)叫瓜（豆），從動點(diǎn)叫瓜（豆），瓜在直線上運(yùn)動，豆也在直線_上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆的軌跡也是圓。
模型1）如圖，P是直線BC上一動點(diǎn)，A是直線BC外一定點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時，則Q點(diǎn)軌跡也是一條直線。

證明：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動過程中，
因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
模型2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動時，則Q點(diǎn)軌跡也是一條直線。
證明：在BC上任取一點(diǎn)P1，作三角形△AP1Q1，且滿足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，連結(jié)Q1Q交BC于點(diǎn)N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q點(diǎn)所在直線與BC的夾角為定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
當(dāng)動點(diǎn)軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。
1）當(dāng)動點(diǎn)軌跡已知時可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動點(diǎn)軌跡未知時，先確定動點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。
3）確定動點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線，即模型1）；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線，即模型2）；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；
④觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；
注意：若動點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對角線）為其他已知軌跡的線段求最值。
例1．（2024·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個動點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動，則當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過點(diǎn)G作MN∥AB，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動，
∴當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是本題的關(guān)鍵．
例2．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接，則 ，連接，則周長的最小值是 ．
【答案】
【分析】證明可得，得到點(diǎn)在射線上運(yùn)動，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時，取最小值，即，由得到，即得，進(jìn)而由勾股定理得，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形，為高上的動點(diǎn)，，
∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，，
，，，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動，
如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，
設(shè)交于點(diǎn)，則，在中，，則，
當(dāng)三點(diǎn)共線時，取最小值，即，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴周長的最小值為，故答案為：；．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，先根據(jù)面積法可計算的長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：是一個定點(diǎn)，的軌跡為中垂線上的一部分，所以垂線段最短，可知的長是的最小值，最后由等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，，，，
，，，，
，，
是一個定點(diǎn)，的軌跡為中垂線上的一部分，如下圖所示，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，所以垂線段最短，則的最小值為的值，
，，，中，，
，，，，
即的最小值為．故答案為：．
例4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接BF交ED于點(diǎn)0，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動，從而得到當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點(diǎn)O，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．
∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動，
∴當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最?。诹庑蜝EFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動是解題的關(guān)鍵．
例5．（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為 .
【答案】//
【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出，推出點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動，求出，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．
∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動，
∵，∴，∵，∴．據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時，的值最小，最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)Q的在射線上運(yùn)動．
例6．（2024·重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．
【答案】
【分析】設(shè)，作軸，作，作，根據(jù)可證明，由此可求，令，，可得在直線上運(yùn)動，當(dāng)時，的值最小，再由得，進(jìn)而得出，即可得出答案．
【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，，∴，
令，，∴，
∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)時，的值最小.
在中，令，則，令，則，∴，，∴．
∵，∴，∴，
在中，令，則，∴，∴.
∵，即，解得，所以的最小值為.故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．
例7．（2024·廣東·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則長的最小值是（ ）
A．2B．2.5C．D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)D作，垂足為H，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出的長，的度數(shù)，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得，從而可得，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而利用等式的性質(zhì)可得，進(jìn)而利用證明，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂線段最短，即可解答．
【詳解】解：取的中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)D作，垂足為H，∴，
∵，，，∴，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，
由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
當(dāng)時，即當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)H重合時，有最小值，且最小值為2.5，
∴長的最小值是2.5，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
1．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一個動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是（ ）.
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識．取的中點(diǎn)．連接，，，作交的延長線于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是射線，由“”可證，可得，推出，求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)．連接，，，作交的延長線于，
，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，
，是等邊三角形，，，
，，，，
，，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是射線，
，，，，，，
在中，，，，，，
在中，，，的最小值為，故選：C．
2．（2024·湖南長沙·一模）如圖，矩形中，，F(xiàn)是上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，連接，將繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】將線段繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，設(shè)交于J．證明，根據(jù)垂線段最短計算即可．
【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，設(shè)交于J．
∵四邊形是矩形，，，，
∴，，，，∴，
∵，∴，
在和中，∵，∴∴，
∴點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動，∴當(dāng)時，的值最小，
∵，∴，
∴四邊形是矩形，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握相應(yīng)的知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形對角線上一動點(diǎn)，連接，以為邊向上作正方形，對角線交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為

【答案】
【分析】作于點(diǎn)則由正方形的性質(zhì)得所以 取的中點(diǎn)連接以點(diǎn)為圓心為半徑作則點(diǎn)、點(diǎn)都在上, 所以可知點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線所交成的銳角為的直線上運(yùn)動，則當(dāng)時，線段的值最小，此時由矩形的性質(zhì)得，則由得所以于是得到問題的答案．
【詳解】如圖，作于點(diǎn)，則∵四邊形是正方形，

∴且

取的中點(diǎn)連接以點(diǎn)為圓心為半徑作，
∴點(diǎn)、 點(diǎn)都在上，
∴點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線所交成的銳角為的直線上運(yùn)動，
∴當(dāng)時，線段的值最小，如圖，則
∵點(diǎn)、點(diǎn)都在以為直徑的圓上，，，
∵四邊形是矩形，，
，
∴的最小值為故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、垂線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點(diǎn)，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等以及垂線段最短進(jìn)行解答．連接，依據(jù)構(gòu)造全等三角形，即，將的長轉(zhuǎn)化為的長，再依據(jù)垂線段最短得到當(dāng)最短時，亦最短，根據(jù)，，即可求得的長的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，

由題意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
當(dāng)時，最短，此時也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴當(dāng)時， ，∴的最小值為．故答案為：．
5．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時，的最小值是 ．

【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形為矩形，得，根據(jù)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，得，，可得，根據(jù)得四邊形為平行四邊形，則，根據(jù)得與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的中點(diǎn)，得過點(diǎn)，即點(diǎn)在線段上隨點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)時有最小值，則即為所求，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)得，根據(jù)得，則，進(jìn)行計算即可得．
【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)H，連接，作于點(diǎn)，

∵四邊形為矩形，，∴，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，
∴，，∴，
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵，∴與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，∵G為的中點(diǎn)，
∴過點(diǎn)G，即點(diǎn)G在線段上隨點(diǎn)F運(yùn)動而運(yùn)動，當(dāng)時有最小值，則即為所求，
∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段最小值，矩形的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)，添加輔助線．
6．（2023上·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上一動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，線段繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，連接，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，屬于中考?？碱}型．
設(shè)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，證明，推出，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，推出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是直線，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．
【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，

∵線段繞著點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，
∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是直線，
∵直線交軸于，交軸于，
過點(diǎn)作于．則，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的值最小，最小值為，故答案為：；．
7．（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】上截取，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．
【詳解】如圖，上截取，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
正方形中，，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，
是等腰直角三角形,
在射線上運(yùn)動，
則是等腰直角三角形，與點(diǎn)重合時，取得最小值，等于
即的最小值為故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，且，連接，則線段長度的最小值為______．
【答案】
【分析】如圖：在取一點(diǎn)T使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得
，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明，由矩形的性可得、，進(jìn)而推出點(diǎn)F在射線上運(yùn)動，當(dāng)時值最?。?br>【詳解】解：如圖：在取一點(diǎn)T使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得
，連接
∵∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴∴,
∵矩形中，，∴，
∵,∴，∴,
點(diǎn)F在射線上運(yùn)動，當(dāng)時，的值最小，最小值為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形并確定是解答本題的關(guān)鍵．
9．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)在直線上，于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，以為邊作等邊，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，以為邊作等邊，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為，再直角三角形的性質(zhì)求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，連接，∴，，
∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，
∴， ∴最小時，有最小值，∵為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴的最小值為，∵，∴，∴，∴，
∴ 的最小值為， 故答案為：．
10．（2024·四川達(dá)州·三模）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接， ，則的最小值是 ．
【答案】/
【分析】在上取一點(diǎn)，連接，使,在上截取，連接， 作直線, 因?yàn)? ,所以，，，求得，可證明，得， 可知點(diǎn)在經(jīng)過上的定點(diǎn)且與相交成的銳角等于的直線上運(yùn)動，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、、， 則，，則，， 可證明，所以點(diǎn)在的延長線上，，作于點(diǎn)，則 ，， 所以，求得，由得，則的最小值，于是得到問題的答案．
【詳解】解：在上取一點(diǎn)，連接，使，在上截取，連接，作直線，

∵，，∴，，
，∴，
∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴，
在和中，，∴，∴，
∴點(diǎn)在經(jīng)過上的定點(diǎn)且與相交成的銳角等于的直線上運(yùn)動，
作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、、，
∵垂直平分，是等邊三角形，∴，，，，
∴，，∴，
∴，連接，則，
∵，∴，∴點(diǎn)在的延長線上，∴，
作于點(diǎn)，則，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴的最小值是，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2024·四川成都·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)，為直線上的兩個動點(diǎn)，且，將線段關(guān)于翻折得線段，連接．當(dāng)線段的長度最小時，的度數(shù)為 度．
【答案】75
【分析】將線段繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接，得到，再由當(dāng)時，有最小值，可得與均為30°、60°、90°直角三角形，再證明為等腰直角三角形，是等邊三角形，進(jìn)而得到，最后當(dāng)于H時，有最小值，由此可以求出．
【詳解】解：將線段繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接，設(shè)交于G點(diǎn)，如下圖所示：在矩形中，，，根據(jù)折疊可知，，，
∴，，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴點(diǎn)在上，
∵垂線段最短，∴當(dāng)時，有最小值，∴與均為、、直角三角形，
設(shè)，，則，，，
∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，
∵，，∴是等邊三角形，∴，
∴，∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（23-24八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，中，，，，D是線段上一個動點(diǎn)，以為邊在外作等邊．若F是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為 ．

【答案】9
【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到點(diǎn)F在的平分線上，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，

∵為等邊三角形，F(xiàn)是的中點(diǎn)， ∴，平分，即點(diǎn)F在的平分線上，
如圖，當(dāng)，點(diǎn)D在上時，最小，
在中，， 則，
由勾股定理得：，
∵平分，， ∴， ∴，
∴， ∴， ∴， 故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短，得出，點(diǎn)D在上時，最小是解題的關(guān)鍵．
13．（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）等邊邊長為6，D是中點(diǎn)，E在上運(yùn)動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為 ．
【答案】/
【分析】連接，由條件可以得出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明，從而可以得出，作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)G，連接，則，依據(jù)當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時，的最小值等于線段長，可得的周長最?。?br>【詳解】解：如圖，連接，
∵都是等邊三角形，∴，，
，
∴，∴，∴，
∴，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)G，連接，則，，
∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時，的最小值等于線段長，且時，的周長最小，
∴，∴．
∴周長：．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短等知識．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．
14．（23-24九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AC＝AB，D是BC延長線上一點(diǎn)，E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F．
(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的長；
(3)如圖3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直線AB上運(yùn)動，以DE為斜邊向上構(gòu)造直角△DTE，且∠E＝30°，請直接寫出CT的最小值是 ．
【答案】(1)證明見解析(2)CD的長為(3)
【分析】（1）如圖1，作，與交于，可得，，證明，有，進(jìn)而可證；
（2）如圖2，作，與交于，由（1）可知，由題意知是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，有為的中位線，根據(jù)，，求解，在中，由勾股定理得，求的，設(shè)，則，根據(jù)可得，求解的值，進(jìn)而可得到的值；
（3）如圖3，分別為中點(diǎn)，連接，作與重合時的，證明，均為等邊三角形，分別為中點(diǎn)，可知為的中位線，有，，可說明、、三點(diǎn)共線，得中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為過的一條平行于直線的直線，即，證明，，可知，的運(yùn)動軌跡為過的一條平行于直線的直線，即，進(jìn)而可知的最小值即為與兩平行線之間的距離，根據(jù)，計算求解的值即可．
【詳解】（1）證明：如圖1，作，與交于，
∵∴∵∴∴∴
∵，∴∴∴．
（2）解：如圖2，作，與交于，
由（1）可知，∵，∴是等腰直角三角形
∵，為中點(diǎn)∴為的中位線∴∵，∴
在中，由勾股定理得設(shè)，則
∵∴即解得∴∴，
∴∴∴的長為．
（3）解：如圖3，分別為中點(diǎn)，連接，作與重合時的，
∵，∴，
∴是等邊三角形 同理也是等邊三角形
∵分別為中點(diǎn)∴為的中位線∴
∵∴∴、、三點(diǎn)共線
∴中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為過的一條平行于直線的直線，即
∵，∴
在和中∵∴
∴∴
∴的運(yùn)動軌跡為過的一條平行于直線的直線，即
∴的最小值即為與兩平行線之間的距離 ∵∴∴，
∵∴解得故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線，含30°的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用．
15．（2023·山東臨沂·二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時，作，垂足為M，求證：；(2)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，試探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析(2)存在，
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于交點(diǎn)為，根據(jù)全等和勾股定理，得出，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，有最小值，證明，得出，，進(jìn)而得到，再證明，求出的長，即可得到的最小值．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，
在和中，，，

（2）解：存在，理由如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于交點(diǎn)為，
在矩形中，，，，，
，，，
，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，有最小值，
，，，，，
，，，
，，，，
，即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，最短線段等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動時，點(diǎn)隨之運(yùn)動，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．
【答案】(1)或；(2)；(3)．
【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點(diǎn)對角線所在直線上運(yùn)動，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，∴，∴,∴，
∴，即，則，解得：或，∴或；
（2）設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，即，∴，
當(dāng)時，有最大，最大值為；
（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點(diǎn)在對角線所在直線上運(yùn)動，
如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過作于點(diǎn)，
∴，四邊形為矩形，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，，
∴，∴，
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
17．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題：四邊形是邊長為3的正方形，點(diǎn)E是邊上的一動點(diǎn)，連接，以為一邊作正方形（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時針方向排列），連接，．
(1)如圖1，求點(diǎn)G到的距離，請寫出解答過程；
【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：
(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)D時，求的長，請寫出解答過程；
【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：
(3)求代數(shù)式的最小值．經(jīng)過小組研討，組長小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；
解題思路：如圖3，作等腰直角，使，連接，，，則點(diǎn)C，D，三點(diǎn)共線，
由，，可得，
由，，可得，……請完成“……”部分的解答過程．
【答案】(1)3(2)(3)
【分析】（1）如圖1，作于H，可證得，從而；
（2）作，交的延長線于點(diǎn)X，作于H，可證得，從而，可得出，從而，進(jìn)而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步即可解答；
（3）由題意可得從而，點(diǎn)F在過且與夾角為 的直線上運(yùn)動，從而得出，延長至V，使，連接，則的最小值為的長，作，交的延長線于點(diǎn)Z，得等腰直角三角形，可求得，進(jìn)而完成解答．
【詳解】（1）解：如圖1：作于H，∴，

∵四邊形和四邊形是正方形，∴，
∴，
∴，∴，∴．
（2）解：如圖2：作，交的延長線于點(diǎn)X，作于H，
同理（1）可知：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：如圖3，∴，
∴，點(diǎn)F在過且與夾角為 的直線上運(yùn)動，∴，
延長至V，使，連接，則的最小值為的長，作，交的延長線于點(diǎn)Z，可得等腰直角三角形，∴，
∴，∴，∴的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識，利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段是解決問題的關(guān)鍵．
18．（2024·山東濟(jì)南·一模）【問題情境】：（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．
【類比探究】：（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系：______，并說明理由：
【拓展提升】：（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，求的最小值．

【答案】（1）；（2）判斷：，理由見解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，，，，則有，即可證明，有成立；（2）由矩形的性質(zhì)得，，結(jié)合題意可證得，則有，故；（3）過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)K，過點(diǎn)G作交的延長線于點(diǎn)L，則，結(jié)合矩形的性質(zhì)證得，有，即可證得，得到，得，則點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，得到的值最小為，將，利用勾股定理即可求得．
【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴，，
∵四邊形是正方形，∴，，∴，
則，那么，，故答案為：；
（2）判斷：，理由如下：∵四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴，，∴，
∵，，∴
∴，∴，∴；故答案為：；
（3）如圖，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)K，過點(diǎn)G作交的延長線于點(diǎn)L，
則，∵四邊形是矩形，∴，，，

∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，
作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，
∴當(dāng)點(diǎn)B，G，三點(diǎn)同一直線時，的值最小，即為，由（2）得 ，∴，
∴，∴的最小值為的最小值，即，
∵，，∴，
∴∴，∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的性質(zhì)和線段之間的轉(zhuǎn)化及最短距離的求解．

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