專題24 最值模型之將軍飲馬模型-【幾何模型】最新中考數(shù)學二輪復習常見幾何模型全歸納與精練（全國通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

1、以專題復習為主。如選擇題、填空題的專項練習，要把握準確度和時間的安排。
2、重視方法思維的訓練。對初中數(shù)學所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學思想方法，要通過典型試題的訓練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習慣。將專項復習中的共性習題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題24 最值模型之將軍飲馬模型
“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
在解決將軍飲馬模型主要依據(jù)是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。
模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）
【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；
（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：

【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關于直線m的對稱點。
例1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．

例2．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動點，則的最小值是（）
A．B．C．2D．
例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，，則的最小值為．

例4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（）
A．3B．5C．D．
例5．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（）

A．B．3C．D．
例6．（2023·山東濟寧·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，點C、D是上的點．且，分別與、相交于點E，F(xiàn)．若的半徑為5，，點P是線段上任意一點，則的最小值是．

例7．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點E是線段上的一個動點，，且，則的最小值是___．
例8．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
模型2. 求多條線段和（周長）最小值
【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內(nèi)側，一個點在外側：

（3）兩個點都在內(nèi)側：
（4）臺球兩次碰壁模型
1）已知點A、B位于直線m,n 的內(nèi)側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.
2）已知點A位于直線m,n 的內(nèi)側, 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.

【最值原理】兩點之間線段最短。
例1．（2023·陜西西安·九年級?？茧A段練習）【問題提出】
(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點P，M、N分別是、上的動點，分別作點P關于邊、的對稱點，，連接，與、相交于M、N，則此時的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：
∵點P關于邊、的對稱點分別為，，
∴，，，，
∴即周長的的最小值為
∵，∴∴是等腰直角三角形．
學以致用：若，在內(nèi)部有一點P，分別作點P關于邊、的對稱點，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．
(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點D是的中點，若，請用含有h的代數(shù)式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內(nèi)有一點P，點P到頂點B的距離為10，，點M、N分別是、邊上的動點，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
例2．（2023下·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，，點M、N分別在射線上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關于對稱的點為，點P關于對稱的點為，當點P在直線上運動時，的面積最小值為．

例3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（）
A．B．C．D．
例4．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則
（1）的最小值是________；（2）若，則的最小值為________．
模型3.求兩條線段差最大值
【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；
（1）點A、B在直線m同側：

延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，
因此點P為所求的點。
（2）點A、B在直線m異側：

過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。
例1．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

例2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．
例3．（2022·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．
例4．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當?shù)闹底畲髸r，則 ________ ．
課后專項訓練
1．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是( )
A．B．C．D．
2．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點，，則的最小值為（）
A．1B．C．D．2
3．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結論錯誤的是（）

A．的最小值為B．的最小值為
C．周長的最小值為6D．四邊形面積的最小值為
4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）如圖，點是正方形內(nèi)部一個動點，且，，則的最小值為（）

A．B．C．D．
5．（2023春·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）
A．4B．3C．2D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（）
A．10B．10C．5D．5
7．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（）
A．B．C．D．
8．（2022·江蘇·九年級月考）如圖，點，在直線的同側，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（）
A．160B．150C．140D．130
9．（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，是的垂直平分線，分別交，于點E，F(xiàn)，點D是邊的中點，點M是線段上一動點，則的最小值為（）
A．6B．7C．8D．9
10．（2023上·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，是的直徑，，點在上，，為的中點，是直徑上一動點，則的最小值是．

11．（2023下·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，，在的同側，，，，點為的中點，若，則的最大值是．

12．（2023上·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是．
13．（2022·重慶大渡口·九年級期中）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．
14．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）中，，，點P為高上的一個動點，連接，將射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，交過點P與垂直的直線于點Q，連接，則周長的最小值是______．
15．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長為1的正方形中，E為邊上一動點（點E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點E的運動過程中，周長的最小值是______．

16．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）如圖，己知長方體，是棱上任意一點，是側面對角線上一點，則的最小值是________．

17．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．
18．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．
19．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．
20．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．
21．（2023·江西南昌·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知點，，在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）在直線上方的拋物線上求一點，使的面積為；
（3）若點是拋物線對稱軸上一動點，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標；
22．（2023·廣東深圳·九年級?？奸_學考試）已知，如圖，函數(shù)y＝，的圖象交于點A、B．
(1)直接寫出A、B兩點的坐標：A ，B ；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集：；
(3)點P是坐標軸上的動點，當取得最小值時，求點P的坐標．

23．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點、、分別在線段、、上運動，求的最小值．
24．（2022·海南·中考真題）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．
(1)當點P是的中點時，求證：；
(2)將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長的最小值；③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．
25．（2023上·廣西桂林·八年級校聯(lián)考期中）數(shù)學模型學習與應用：
白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣
模型學習：詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關鍵是利用軸對稱變換，把直線同側兩點的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側的線段問題，“將軍飲馬”問題的數(shù)學模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使的值最?。?br>作法：作A點關于直線l的對稱點，連接，與直線l的交點即為點P．此時的值最?。?br>模型應用：（1）如圖2，已知為等邊三角形，高，為上一動點，D為的中點．
①當?shù)淖钚≈禃r，在圖中確定點P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．
②則的最小值為．
模型變式：（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地，已知，是內(nèi)一點，連接后測得米，現(xiàn)當?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€三角形花壇，點，分別是，邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值．

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