1、以專題復(fù)習(xí)為主。如選擇題、填空題的專項練習(xí)，要把握準(zhǔn)確度和時間的安排。
2、重視方法思維的訓(xùn)練。對初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法，要通過典型試題的訓(xùn)練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。將專項復(fù)習(xí)中的共性習(xí)題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題25 最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型
將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！
模型1.將軍遛馬模型
【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。
【模型解讀】已知A、B是兩個定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個動點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)
（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)： （2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：

圖1 圖2
（1）如圖1，過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時P、Q即為所求的點(diǎn)。
（2）如圖2，過A點(diǎn)作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時P、Q即為所求的點(diǎn)。
【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。
例1．（2023·黑龍江·九年級?？计谥校﹩栴}背景（1）如圖（1），在公路的一側(cè)有，兩個工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之間的水平距離為．現(xiàn)需把廠的產(chǎn)品先運(yùn)送到公路上然后再轉(zhuǎn)送到廠，則最短路線的長是_____．
問題探究（2）如圖（2），和是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，，點(diǎn)，重合，點(diǎn)，重合，將沿直線平移，得到，連接，．試探究在平移過程中，是否存在最小值．若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
問題解決（3）如圖（3），A，B分別是河岸m一側(cè)的兩個旅游景點(diǎn)，它們到河岸的垂直距離分別是和，，的水平距離是．游客在景點(diǎn)游覽完后，乘坐大巴先到河岸上的碼頭甲處，改乘游輪沿河航行到達(dá)碼頭乙，再乘坐大巴到達(dá)景點(diǎn)．請問碼頭甲，乙建在何處才能使從到的旅游路線最短，并求出最短路線的長．
【答案】（1）（2）存在，最小值為（3）最短路線長為
【分析】（1）根據(jù)最短路徑的作法，找出最短路徑，再利用矩形的性質(zhì)，求出和的距離，最后利用勾股定理即可求出最短路徑；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知四邊形和均為平行四邊形，再利用最短路徑作法得出即為最短距離，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出答案；
（3）根據(jù)題意畫圖可知四邊形為平行四邊形，最后根據(jù)勾股定理即可求出答案．
【詳解】解：（1） 如圖 （1）， 點(diǎn) 是公路上的一點(diǎn)， 假設(shè)先把產(chǎn)品運(yùn)送到點(diǎn) 處， 再轉(zhuǎn)送到 廠， 作點(diǎn) 關(guān)于 的 對稱點(diǎn)， 連接，， 連接 交于點(diǎn)，
則 ，，
當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時， 取得最小值， 為 的長．
連接， 交于點(diǎn)， 過點(diǎn) 作 于點(diǎn)， 過點(diǎn) 作， 垂足為點(diǎn)，
則，四邊形 是矩形，
，，
又，，
即最短路線的長是．故答案為：．
（2） 存在．理由如下，如圖 （2）， 過點(diǎn) 作直線， 作點(diǎn) 關(guān)于直線的對稱點(diǎn)， 連接 ，，交直線于點(diǎn)， 過點(diǎn) 作交直線 于點(diǎn)， 連接，，， 則．
由平移知，．又 ，四邊形 是平行四邊形，
，由平移知，
又，四邊形 是平行四邊形，
當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn)重合時， 最小， 最小值為 的長．
過點(diǎn) 作 交 的延長線于點(diǎn)， 則 為等腰直角三角形．
，，，
的最小值為．故答案為：存在，最小值為．
（3） 如圖 （3），設(shè)碼頭乙為點(diǎn)， 碼頭甲為點(diǎn)， 連接，，
過點(diǎn) 作， 且， 作點(diǎn) 關(guān)于 的對稱點(diǎn)， 連接 交于點(diǎn)．
連接， 則．是平行四邊形， ，
點(diǎn) ，N重合時，旅游路線最短．
過點(diǎn) 作直線， 過點(diǎn) 作 于點(diǎn)，
則 ，，，，
．故答案為：最短路線長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，涉及到的知識點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑．
例2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．
【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．
例3．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．
【答案】
【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值為．故答案為：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．
例4．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對角線上運(yùn)動，若⊙O的周長為，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】過點(diǎn)作，令；可推出四邊形為平行四邊形，有；根據(jù)可知當(dāng)時，周長有最小值.
【詳解】解：過點(diǎn)作，令

∵⊙O的周長為，∴⊙O的半徑為∴
∵且∴四邊形為平行四邊形
∴ 由正方形的對稱性可得：∴
∴故：當(dāng)時，周長有最小值
此時：∴周長的最小值是故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等．推出當(dāng)時，周長有最小值是解題關(guān)鍵．
例5．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．
【答案】
【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移圖形的性質(zhì)，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．
【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于AE對稱，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時，C′E+ED最小，
此時，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=，
即EC+GC的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的對稱性、線段最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解．
例6．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對角線，的長分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．
【答案】
【分析】連接與交于點(diǎn)，延長到，使得，連接，證明，，得，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，的值最小，由勾股定理求得便可．
【詳解】解：如圖所示，連接與交于點(diǎn)，延長到，使得，連接，
四邊形是菱形，，
，由平移性質(zhì)知，，，，
，，
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，的值最小，
的最小值為：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
模型2.將軍過橋（造橋）模型
【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。
【模型解讀】
【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點(diǎn)落在A’位置（圖2 ）．
問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．
圖1 圖2 圖3
【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？
圖4 圖5 圖6
考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）
當(dāng)A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）
【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。
例1．（2023.浙江八年級期中）同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過一些平行線的性質(zhì)，其實(shí)平行線的性質(zhì)還有一些：
（1）如圖1，如果，在a上任取一點(diǎn)P，作PQ⊥b于點(diǎn)Q，則線段PQ的長度叫a，b之間的距離.
如果在a上再取一點(diǎn)M，作MN⊥b于點(diǎn)N，則線段MN可以看成由線段PQ平移得到，即MN=PQ，這就得到平行線的又一條性質(zhì)：平行線間的距離處處相等．根據(jù)平移還有哪些線段相等 .
（2）剛在（1）中提到的平行線性質(zhì)在河上建橋也有廣泛的應(yīng)用：如圖2，直線a，b表示一條河的兩岸，且. 現(xiàn)在要在這條河上建一座橋．使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B．現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)設(shè)計：
小明：作AD⊥a，交a于點(diǎn)D，交b于點(diǎn)C． 在CD處建橋. 路徑是A-C-D-B．
小紅：作AD⊥a，交a，b于點(diǎn)D，點(diǎn)C；把CD平移至BE，連AE，交b于G，作GF⊥a于F. 在FG處建橋．路徑是A-G-F-B．
問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由.
（3）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在FG處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，凌晨3點(diǎn)某船從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，來回穿梭于兩橋之間，船在靜水每小時16千米，水流每小時4千米，在當(dāng)晚23點(diǎn)時有人看見船在離舊橋80千米處行駛求這兩橋之間的距離.
【答案】（1）PM=QN；（2）小紅設(shè)計的路徑較短，理由見解析；（3）200千米或120千米或100千米
【分析】(1)易得PQ∥MN，所以可得PM=QN；
(2)根據(jù)小明的路徑=AC+CD+DB，小紅的路徑=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中由兩邊之和大于第三邊，可得出結(jié)論;
(3)需要分情況討論：①船第一次到達(dá)新橋后返回距離舊橋80千米；
②船第一次返回舊橋，再向新橋行駛，距離舊橋80千米；
③船第二次到達(dá)新橋后返回距離舊橋80千米；
④船第二次返回舊橋，再向新橋行駛，距離舊橋80千米，這一次計算距離為60千米，不符合題意.
【詳解】（1）∵PQ⊥b，MN⊥b，∴PQ∥MN，
則PM與QN都為線段PQ平移的距離,∴PM=QN
（2）小紅設(shè)計的路徑較短，理由如下：
小明的路徑=AC+CD+DB，小紅的路徑=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中AC+CE＞AE，所以小紅設(shè)計的路徑短.
（3）設(shè)兩橋之間的距離為x千米(x>80)，舊橋到新橋?yàn)轫標(biāo)?，速度?6+4=20千米/小時，新橋到舊橋?yàn)槟嫠?，速度?6-4=12千米/小時,行駛總時長為23-3=20小時.
①船第一次到達(dá)新橋后返回距離舊橋80千米，由題意得
解得
②船第一次返回舊橋，再向新橋行駛，距離舊橋80千米，由題意得
解得
③船第二次到達(dá)新橋后返回距離舊橋80千米，由題意得，
解得
④船第二次返回舊橋，再向新橋行駛，距離舊橋80千米，由題意得，
解得
因?yàn)榇趦蓸蛑g行駛，故此種情況不存在.
綜上，兩橋間的距離為200千米或120千米或100千米.
【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑設(shè)計問題，設(shè)計圖可作為“造橋模型”記住，第（3）題考查船順?biāo)谀嫠叫袉栴}，需要掌握順?biāo)湍嫠乃俣扔嬎悖诸愑懻撌墙忸}的關(guān)鍵.
例2．（2023.廣東八年級專項訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，請確定兩座橋的位置．

【答案】見解析
【分析】由于含有固定線段“橋”，需要將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖所示，將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，使的長等于河寬，將點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，使的長等于河寬；連接，與河岸相交于點(diǎn)，；過點(diǎn)作于點(diǎn)D，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即為兩橋的位置．
，
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，由于有固定的長度的線段，常用的方法通過平移，構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答．
例3．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為( )
A．2B．1+3C．3+D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時AM+BN＝AB′．
【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
例4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動點(diǎn)，，那么的最小值為______．

【答案】
【分析】過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．易求出，，．易證四邊形為平行四邊形，得出，即說明當(dāng)最小時，最?。僧?dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時，最小．結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，連接．

∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．同理可得出．
∵，，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∴，∴當(dāng)最小時，最?。?br>∵當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時，最小，∴此時最小，如圖，

∵，∴．∵∴四邊形為平行四邊形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值為． 故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點(diǎn)之間線段最短等知識．正確作出輔助線，理解當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時，最小，即此時
最小是解題關(guān)鍵．
例5．（2023.山東中考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC=S△ABC時，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）問的條件下，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，動點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，4）；(2)點(diǎn)N坐標(biāo)為（4，-5）；
(3)當(dāng)m=時，PM+PQ+QN有最小值，最小值為3+3．
【分析】（1）將點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)代入解析式，解關(guān)于a、b、c的方程組可得函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式即可得點(diǎn)M坐標(biāo)；（2）設(shè)N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根據(jù)點(diǎn)N、C坐標(biāo)用含t的代數(shù)式表示出直線CN解析式，求得CN與x軸的交點(diǎn)D坐標(biāo)，即可表示BD的長，根據(jù)S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB?OC建立關(guān)于t的方程，解之可得；（3）將頂點(diǎn)M（1，4）向下平移3個單位得到點(diǎn)M′（1，1），連接M′N交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，此時M′、Q、N三點(diǎn)共線時，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由點(diǎn)M′、N坐標(biāo)求得直線M′N的解析式，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，據(jù)此知m的值，過點(diǎn)N作NE∥x軸交MM′延長線于點(diǎn)E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，據(jù)此知m=時，PM+PQ+QN的最小值為3+3．
【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，則拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，4）；
（2）解：∵N是拋物線上第四象限的點(diǎn)，∴設(shè)N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又點(diǎn)C（0，3），設(shè)直線NC的解析式為y=k1x+b1，
則，解得：，∴直線NC的解析式為y=（-t+2）x+3，
設(shè)直線CN與x軸交于點(diǎn)D，當(dāng)y=0時，x=，∴D（，0），BD=3-，

∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB?OC，即BD?|yC-yN|= [3-（-1）]×3，
即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去），
當(dāng)t=4時，-t2+2t+3=-5，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（4，-5）；
（3）解：將頂點(diǎn)M（1，4）向下平移3個單位得到點(diǎn)M′（1，1），連接M′N交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，
則MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x軸，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四邊形MM′QP是平行四邊形，∴PM=QM′，
由作圖知當(dāng)M′、Q、N三點(diǎn)共線時，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
設(shè)直線M′N的解析式為y=k2x+b2（k2≠0），
將點(diǎn)M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：，
∴直線M′N的解析式為y=-2x+3，當(dāng)y=0時，x=，∴Q（，0），即m=，
此時過點(diǎn)N作NE∥x軸交MM′延長線于點(diǎn)E，在Rt△M′EN中，∵M(jìn)′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
∴M′N=， ∴M′Q+QN=3，∴當(dāng)m=時，PM+PQ+QN的最小值為3+3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理及根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到點(diǎn)P、Q的位置．
例6．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動點(diǎn)，且，則的最小值是________．

【答案】
【分析】由可知為定長，在、間滑動，故由造橋選址模型進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離加上定長，再利用特殊角構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求出兩點(diǎn)間距離．
【詳解】作交于點(diǎn)E，在取，連接，延長至點(diǎn)，使，連接，作于點(diǎn)，如下圖：

，，為等邊三角形，，
，，四邊形為平行四邊形，
同理得四邊形與四邊形為平行四邊形，，，，
，
中，，
中，
，的最小值是．
【點(diǎn)睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點(diǎn)距離和最小，解題時需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長度時若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
課后專項訓(xùn)練
1．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對角線BD平移，點(diǎn)，分別對應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)，，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到BD的距離，從而對②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于 連接，過作于 分別交于 證明 是最小值時的位置，再利用勾股定理求解，對④做出判斷．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//且AB=
∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四邊形CD為平行四邊形，故①正確
在矩形ABCD中，BD===25,過A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴點(diǎn)C到的距離為24
∴點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的距離為48∴故②正確
∵∴當(dāng)在一條直線時最大，此時與D重合
∴的最大值==15∴故③正確，

如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，交于 連接，過作于 分別交于 則 為的中位線， ，
由可得，
此時最小，由②同理可得：
設(shè) 則
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（負(fù)根舍去），
∴故④正確故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023安徽中考學(xué)二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對角線BD上運(yùn)動，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（ ）
A．4B．4+C．2+2D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，進(jìn)而得出△AEF周長的最小值即可．
【詳解】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長最?。?br>∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周長的最小值＝4+2＝6，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)與動點(diǎn)問題最小值，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．
3．（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（ ）
A．2B．4C．2D．4
【答案】B
【分析】連接AE，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性質(zhì)可證明四邊形CDEG為平行四邊形，即得出，從而可得出，即CH的長為的最小值．最后根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出CH的長即可．
【詳解】如圖，連接AE，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)H，連接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性質(zhì)可知，．∵四邊形ABCD為菱形，
∴，，，
∴，，∴四邊形CDEG為平行四邊形，∴．
由軸對稱的性質(zhì)可知，，，∴，
∴，即CH的長為的最小值．
∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，
∴，∴，∴為等邊三角形，
∴，，∴，∴，
即為頂角是120°，底角為30°的等腰三角形，
結(jié)合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱變換，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，綜合性強(qiáng)，為選擇題中的壓軸題．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．
4．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考三模）在邊長為2的正方形中，點(diǎn)E、F是對角線上的兩個動點(diǎn)，且始終保持，連接、，則的最小值為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)作使，易得四邊形為平行四邊形，得到，進(jìn)而得到，得到三點(diǎn)共線時，有最小值即為的長，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作使，則：四邊形為平行四邊形，

∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值即為的長，
∵四邊形為正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值為3．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化．
5．（2023·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為 _________________．
【答案】
【分析】在y軸上取點(diǎn)E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB，作點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)A'，得到A'、E、D三點(diǎn)共線時，AD+DE最小值為A'E的長，根據(jù)勾股定理求出A'E，即可得解；
【詳解】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，
作點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點(diǎn)共線時，AD+DE最小值為A'E的長，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計算是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·浙江金華·八年級期末）在綜合實(shí)踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是 __；（2）A′B+D′B的最小值為 __．
【答案】 平行四邊形 2
【分析】（1）利用平移的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，作直線DD′，作點(diǎn)C關(guān)于直線DD′的對稱點(diǎn)C″，連接D′C″，BC″，過點(diǎn)B作BH⊥CC″于H．求出BC″，證明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，故答案為：平行四邊形．
（2）如圖2，作直線DD′，作點(diǎn)C關(guān)于直線DD′的對稱點(diǎn)C″，連接D′C″，BC″，過點(diǎn)B作BH⊥CC″于H．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四邊形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四邊形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四邊形A′BCD′是平行四邊形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值為2，故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-平移變換，軸對稱最短問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
7．（2022下·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，將△DAB 沿射線 DB方向平移得到△D’A’B’，連接 CD’和 CB’， 則 CD’+CB’的最小值為 ．
【答案】
【分析】作C點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C' ，連接 過點(diǎn)作過點(diǎn)C'作，兩平行線交于點(diǎn)G，則四邊形是平行四邊形，當(dāng)C，G，三點(diǎn)共線時， 的值最小，求出CG的值即可所求．
【詳解】解：如圖所示：作C點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，連接
過點(diǎn)作過點(diǎn)C'作，兩平行線交于點(diǎn)G，
∴四邊形是平行四邊形，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值為CG的長度，
在中，在中，故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，通過構(gòu)造平行四邊形邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用將軍飲馬問題進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當(dāng)取最小值時，點(diǎn)坐標(biāo)為______.
【答案】
【分析】如圖把點(diǎn)A向右平移1個單位得到E（1，1），作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，此時AP+PQ+QB的值最小，求出直線BF的解析式，即可解決問題．
【詳解】解：如圖把點(diǎn)4向右平移1個單位得到E（1，1），作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F（1，-1），連接BF，BF與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，此時4P+PQ+QB的值最小.
設(shè)最小BF的解析式為y=kx+b，則有解得
∴直線BF的解析式為y=x-2，令y=0，得到x=2.
∴Q（2.0）故答案為（2，0）.
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決交點(diǎn)問題，屬于中考?？碱}型
9．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，且點(diǎn)坐標(biāo)為，若菱形沿軸左右運(yùn)動，連接、，則運(yùn)動過程中，四邊形周長的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長的最小，AE＋DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)用“將軍飲馬”模型，根據(jù)點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為O，過點(diǎn)A作AF1∥DF，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長的最小值．
【詳解】∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，
∵坐標(biāo)為，點(diǎn) 在軸上，線段軸，∴EF＝8，

連接OA，過點(diǎn)A作AF1∥DF交EF于點(diǎn)F1，
則四邊形ADFF1是平行四邊形，F(xiàn)F1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，
∵點(diǎn)E，O關(guān)于AD對稱，∴OA=AE，
當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對稱，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對稱性質(zhì)．
10．（2023·重慶·?？既＃┤鐖D，在邊長為1的菱形ABCD中，，將沿射線BD的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)C作直線，以直線l為對稱軸作點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，連接CE，，AC，證明，求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)，C，E共線時，的最小值是．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作直線，以直線l為對稱軸作點(diǎn)的對稱點(diǎn)E，連接CE，，AC，
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，與直線l交于點(diǎn)F，則，，，
由，，易得，，
，由平移的性質(zhì)可知，，
，，，，，
在中，，，，，
在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，
當(dāng)點(diǎn)，C，E共線時，，即的最小值是，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，正確的理解題意是解答本題的關(guān)鍵．
11．（2023.廣東省深圳市九年級期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P為線段EF上的動點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E′關(guān)于x軸對稱，連接BP、E′M．
（1）請直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____；
（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____；

【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性質(zhì)求出OD的長，再由平行四邊形的性質(zhì)求出BD的長即可解決問題；
（2）首先證明四邊形OPME′是平行四邊形，可得OP=EM，因?yàn)镻M是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最?。?br>【詳解】解：（1）如圖1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），
∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如圖1中，連接OP．
∵EF垂直平分線段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四邊形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四邊形OPME′是平行四邊形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最小，∴當(dāng)O、P、B共線時，BP+PM+ME′的長度最?。咧本€OB的解析式為y=x，∴P（2，）．故答案為（2，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用兩點(diǎn)之間線段最短，解決最短問題．
12．（成都市2022-2023學(xué)年八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長的最小值為 ．
【答案】
【分析】先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值為的長，即有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，將點(diǎn)沿軸向下平移個單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點(diǎn)，連接，
是等腰直角三角形，，，
將直線：向上平移個單位長度得到直線，，，
，，，
，，，四邊形是平行四邊形，
，，
當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值為的長，即有最小值，
點(diǎn)，點(diǎn)，，
折線的長的最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
13．（廣西2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點(diǎn)，，兩點(diǎn)，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為 ．
【答案】．
【分析】先通過平移和軸對稱得到當(dāng)B、E、三點(diǎn)共線時，的值最小，再通過設(shè)直線的解析式并將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，當(dāng)時，求出a的值，最后將四邊形周長與時的周長進(jìn)行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．
【詳解】解：∵，，，，
∴，，由平移的性質(zhì)可知：,
∴四邊形的周長為；
要使其周長最小，則應(yīng)使的值最??；
設(shè)拋物線平移了a個單位，當(dāng)a>0時，拋物線向右平移，當(dāng)a

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