1．了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．
2．體會(huì)平方運(yùn)算到求平方根的演變過程，理解二者的互逆關(guān)系，培養(yǎng)勤思考、勤動(dòng)筆的習(xí)慣．
3．會(huì)利用平方和開方的互逆關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的平方根，對(duì)一些特殊的數(shù)及其平方根形成記憶．
重點(diǎn)：平方根的概念及平方根的求法．
難點(diǎn)：求非負(fù)數(shù)的平方根．
一、導(dǎo)入新課
“西蘭卡普”是土家族織錦的叫法，是土家族濃郁的民族特色和傳統(tǒng)文化的代表，亦是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖，這張正方形的“西蘭卡普”面積為4 m2，請(qǐng)問它的邊長(zhǎng)是多少？
問題1：你算出的邊長(zhǎng)是多少？（2 m）
問題2：你是怎樣算出這個(gè)邊長(zhǎng)的？
（通過正方形的面積公式反推出來）
問題3：因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)的平方等于面積，所以我們很容易就能得到此處的邊長(zhǎng)為2 m，那么如果已知一個(gè)數(shù)的平方，應(yīng)該怎么求這個(gè)數(shù)呢？這個(gè)數(shù)是唯一的嗎？請(qǐng)大家?guī)е鴨栴}進(jìn)行探究．
二、合作探究
探究點(diǎn)一：平方根的概念
問題1：如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是多少？（3或－3）
問題2：根據(jù)問題1填寫下表．
思考1：上述表格得到的x值有什么特點(diǎn)？
（互為相反數(shù)）
思考2：一個(gè)數(shù)與自身相乘的乘積叫作平方，那么知道一個(gè)數(shù)的平方，求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫什么？
（開平方）
要點(diǎn)歸納：定義1：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫作a的平方根或二次方根．
定義2：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開平方．
根據(jù)所學(xué)內(nèi)容回答“導(dǎo)入新課”問題3.
（根據(jù)開平方求這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)并不唯一）
分別求下列各數(shù)的平方根：
（1） eq \f(16,9) ； （2）1.44； （3）121.
解：（1）± eq \f(4,3) .（2）±1.2.（3）±11.
判斷對(duì)錯(cuò)：
（1）8是64的平方根；（√）
（2）－8是64的平方根；（√）
（3）±8是64的平方根；（√）
（4）一個(gè)數(shù)的平方等于81，則這個(gè)數(shù)是9.（×）
（提示：當(dāng)前階段，要求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根，根據(jù)平方與開平方的互逆關(guān)系進(jìn)行求解．）
探究點(diǎn)二：平方根的性質(zhì)
觀察并思考：
思考1：觀察以上內(nèi)容你有什么發(fā)現(xiàn)？
（學(xué)生自主談?wù)?，圍繞平方和平方根的相關(guān)知識(shí)表達(dá)，言之有理即可）
思考2：1，4，9， eq \f(1,4) 的平方根分別是什么？
（±1，±2，±3，± eq \f(1,2) ）
思考3：0的平方根是多少？（0）
思考4：－1，－4，－9，－ eq \f(1,4) 有平方根嗎？（沒有）
（觀察、討論、歸納平方根的性質(zhì)．）
要點(diǎn)歸納：性質(zhì)1：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．
性質(zhì)2：0的平方根是0.
性質(zhì)3：負(fù)數(shù)沒有平方根．
追問：前面我們學(xué)了一個(gè)數(shù)的平方的書寫方式，那一個(gè)數(shù)的平方根又該如何表達(dá)呢？
（學(xué)生思考，老師給出答案）
要點(diǎn)歸納：正數(shù)a的正的平方根記為“ eq \r(a) ”，讀作“根號(hào)a”，a叫作被開方數(shù)；正數(shù)a的負(fù)的平方根記為“－ eq \r(a) ”，讀作“負(fù)根號(hào)a”，則a的平方根可記為“± eq \r(a) ”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.0的平方根記為 eq \r(0) .
m－1與3－2m是某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根，則m的值是（B）
A．4 B．2 C．－2 D．－ eq \f(4,3)
求下列式子中x的值．
（1）x2＝49； （2）4x2＝9.
解：（1）x＝±7；（2）x＝± eq \f(3,2) .
三、當(dāng)堂檢測(cè)
1．16的平方根是（ C ）
A．4 B．－4 C．±4 D．±8
2．下列各數(shù)中沒有平方根的是（ B ）
A．0 B．－82 C．（－ eq \f(1,4) ）2 D．－（－3）
3．下列說法正確的是（ D ）
A．任何非負(fù)數(shù)都有兩個(gè)平方根
B．一個(gè)正數(shù)的平方根仍然是正數(shù)
C．只有正數(shù)才有平方根
D．負(fù)數(shù)沒有平方根
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計(jì)】
平方根 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平方根的概念（根據(jù)互逆關(guān)系求平方根）,平方根的性質(zhì),平方根的表示方法))
本課時(shí)由國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)作為導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生興趣，讓他們了解平方根的概念，在探究過程中，融入了百以內(nèi)的數(shù)的平方根的求值，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用平方運(yùn)算求解平方根．由一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根，讓學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想方法解決問題．
x2
1
16
0.36
49
eq \f(1,25)
x
±1
±4
±0.6
±7
± eq \f(1,5)

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8.1 平方根

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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