TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184912586" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
\l "_Tc184912587" 02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc184912588" 03考點(diǎn)突破·考法探究
\l "_Tc184912589" 考點(diǎn)一 一元二次方程及解法
\l "_Tc184912590" 考點(diǎn)二 根的判別式
\l "_Tc184912591" 考點(diǎn)三 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
\l "_Tc184912592" 考點(diǎn)四 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc184912593" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc184912594" 命題點(diǎn)一 一元二次方程及其解法
\l "_Tc184912595" ?題型01 已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值
\l "_Tc184912596" ?題型02 選用合適的方法解一元二次方程
\l "_Tc184912597" ?題型03 以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc184912598" ?題型04 配方法的應(yīng)用
\l "_Tc184912599" ?題型05 以開(kāi)放性試題的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc184912600" 命題點(diǎn)二 根的判別式
\l "_Tc184912601" ?題型01 不解方程，判斷一元二次方程根的情況
\l "_Tc184912602" ?題型02 根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍
\l "_Tc184912603" ?題型03 利用根的判別式求代數(shù)式的值
\l "_Tc184912604" ?題型04 以開(kāi)放性試題的形式考查根的判別式
\l "_Tc184912605" 命題點(diǎn)三 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
\l "_Tc184912606" ?題型01 不解方程，求方程中參數(shù)的值
\l "_Tc184912607" ?題型02 不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值
\l "_Tc184912608" 命題點(diǎn)四 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc184912609" ?題型01 變化率問(wèn)題
\l "_Tc184912610" ?題型02 幾何圖形問(wèn)題
\l "_Tc184912611" ?題型03 以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc184912612" ?題型04 以數(shù)學(xué)文化為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc184888344" 03考點(diǎn)突破·考法探究
考點(diǎn)一 一元二次方程及解法
一、一元二次方程基礎(chǔ)
一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號(hào)左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，等號(hào)右邊是0.其中：ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).
【易錯(cuò)/熱考】如果明確了ax2+bx+c=0為一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件.
一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.
判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個(gè)一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.
二、一元二次方程的解法
基本思路：通過(guò)“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原方程的解.
1. 直接開(kāi)平方法（基礎(chǔ)）
例：形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
當(dāng)b＞0時(shí)，則x1=ba=，x2= -ba，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)b＝0時(shí)，則，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)b＜0時(shí)，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
2. 配方法（基礎(chǔ)）
配方的實(shí)質(zhì)：將方程化為的形式，當(dāng)m≥0時(shí)，直接用直接開(kāi)平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步驟：
1）移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊,含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊；
2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；
3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；
4）求解：若q≥0時(shí)，直接用直接開(kāi)平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算)；
2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；
3）如果, 將a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【補(bǔ)充說(shuō)明】求根公式的使用條件：
4. 因式分解法
依據(jù)：如果兩個(gè)一次因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少一個(gè)為0，即若ab=0，則a=0或b=0.
步驟：
1）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；
2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；
3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；
4）求解.
【易錯(cuò)易混】利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0.
1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x?2x+3=0，將其化成二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項(xiàng)是 ．
【答案】?6
【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
先把化方程為一般式，從而得到常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】解：x?2x+3=0，
去括號(hào)，得x2+3x?2x?6=0，
合并，得x2+x?6=0，
所以常數(shù)項(xiàng)是?6．
故答案為：?6．
2．（2025·云南昆明·一模）若關(guān)于x的方程m+1x2+mx?1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠?1B．m=1C．m>1D．m≠0
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義．熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
由題意知，m+1≠0，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程m+1x2+mx?1=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得，m≠?1，
故選：A．
3．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x2?3x+m=0的一個(gè)根為1，則m= ．
【答案】2
【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=1代入原方程，列出關(guān)于m的方程，然后解方程即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+m=0的一個(gè)根為1，
∴x=1滿足一元二次方程x2?3x+m=0，
∴1?3+m=0，
解得，m=2．
故答案為：2．
4．（2024·山東德州·中考真題）把多項(xiàng)式x2?3x+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（ ）
A．x?32?5B．x?322+74
C．x?322+254D．x+322+74
【答案】B
【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項(xiàng)法，先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．
根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；
【詳解】解：x2?3x+4
=x2?3x+(32)2?(32)2+4
=x?322+74
故選B．
5．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程x2?2x?2023=0時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為(x+a)2=b的形式，則ab的值為（ ）
A．?2024B．2024C．?1D．1
【答案】D
【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關(guān)鍵．
用配方法把x2?2x?2023=0移項(xiàng)，配方，化為x?12=2024，即可．
【詳解】解：∵x2?2x?2023=0，
移項(xiàng)得，x2?2x=2023，
配方得，x2?2x+1=2023+1，
即x?12=2024，
∴a=?1，b=2024，
∴ab=?12024=1．
故選：D．
考點(diǎn)二 根的判別式
根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.
根的情況與判別式的關(guān)系：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.
1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x=?b±b2?4ac2a；
2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：x1=x2=?b2a；
3）?方程無(wú)實(shí)根.
【補(bǔ)充說(shuō)明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【易錯(cuò)易混】
1）使用一元二次方程根的判別式時(shí)，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；
2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不能說(shuō)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
1．（2023·吉林·中考真題）一元二次方程x2?5x+2=0根的判別式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．17
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判別式△=b2?4ac求出答案．
【詳解】解：∵a=1，b=?5，c=2，
∴△=b2?4ac=?52?4×1×2=17．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）若拋物線y=x2?x+c（c是常數(shù)）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則c的取值范圍是 ．
【答案】c>14
【分析】本題主要考查了拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)與x2?x+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
由拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，運(yùn)用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線y=x2?x+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴x2?x+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴Δ=12?4×1×c=1?4c14．
故答案為：c>14．
3．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x2?10x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．3B．23C．14D．214
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b=10，根據(jù)菱形的面積得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式計(jì)算可得答案．
【詳解】解：設(shè)方程x2?10x+m=0的兩根分別為a，b，
∴a+b=10，
∵a，b分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，已知菱形的面積為11，
∴12ab=11，即ab=22，
∵菱形對(duì)角線垂直且互相平分，
∴該菱形的邊長(zhǎng)為a22+b22=12a2+b2=12a+b2?2ab
=12102?2×22=14，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=10是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·上海寶山·一模）一次函數(shù)y=?3x?a不經(jīng)過(guò)第三象限，關(guān)于x的方程ax2?3x+1=0的解的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】1或2
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的分布，一元二次方程的根的判別式，準(zhǔn)確判斷圖象不過(guò)第三象限的條件，直線y=?3x?a不經(jīng)過(guò)第三象限，則?a=0或?a>0，分這兩種情形判斷方程的根，靈活運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線y=?3x?a不經(jīng)過(guò)第三象限，
∴?a=0或?a>0，
∴a=0或a0,
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
綜上，方程有1個(gè)或2個(gè)解，
故選：D．
5．（2024·四川眉山·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x=1?3m有實(shí)數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x22?x1x2≤15，求m的取值范圍．
【答案】(1)m的取值范圍是m≤1312；
(2)m的取值范圍?13≤m≤1312．
【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，
（1）根據(jù)根的判別式得出b2?4ac=32?4?1+3m=?12m+13≥0，求出不等式的解集即可；
（2）求出x1+x2=3，x1x2=3m?1，再代入x12+x22?x1x2≤15計(jì)算即可解答；
熟練掌握一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）方程x2?3x=1?3m 整理得x2?3x?1+3m=0，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x=1?3m有實(shí)數(shù)根，
∴b2?4ac=32?4?1+3m=?12m+13≥0，
解得：m≤1312，
即m的取值范圍是m≤1312；
（2）∵x1+x2=3，x1x2=3m?1，
又∵x12+x22?x1x2≤15，
∴x1+x22?2x1x?x1x2≤15，
∴32?23m?1?3m?1≤15，
∴m≥?13，
∵m≤1312，
∴?13≤m≤1312，
故m的取值范圍?13≤m≤1312．
QUOTE QUOTE 考點(diǎn)三 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
若一元二次方程的兩個(gè)根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：x1+x2＝?ba，x1?x2＝ca
【補(bǔ)充說(shuō)明】
1）一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：.
2）當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，如，其兩根關(guān)系為x1+x2＝?p， x1?x2＝q.
3）以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是.
4）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.
1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫(xiě)作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡(jiǎn)過(guò)程中寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡(jiǎn)過(guò)程中寫(xiě)錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是?2和?5．則原來(lái)的方程是( )
A．x2+6x+5=0B．x2?7x+10=0
C．x2?5x+2=0D．x2?6x?10=0
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中x1+x2=7，x1x2=10，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵小影在化簡(jiǎn)過(guò)程中寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得到方程的兩個(gè)根是6和1；
∴x1+x2=6+1=7，
又∵小冬寫(xiě)錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是?2和?5．
∴x1x2=10
A. x2+6x+5=0中，x1+x2=?6，x1x2=5，故該選項(xiàng)不符合題意；
B. x2?7x+10=0中，x1+x2=7，x1x2=10，故該選項(xiàng)符合題意；
C. x2?5x+2=0中，x1+x2=5，x1x2=2，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. x2?6x?10=0中，x1+x2=6，x1x2=?10，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程x2?2x+k=0的一個(gè)根為?2，則方程的另一個(gè)根為 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)兩根之和等于?ba，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，
∵方程x2?2x+k=0有一個(gè)根為?2，
∴?2+m=2，
解得：m=4．
故答案為：4．
3．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程x2+x?2=0的兩根分別為x1，x2，則1x1+1x2的值為 ．
【答案】12/0.5
【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1x2=ca，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=?1，x1x2=?2，然后把1x1+1x2化簡(jiǎn)為x1+x2x1x2然后整體代入即可．
【詳解】解：∵方程x2+x?2=0的兩根分別為x1，x2，
∴x1+x2=?1，x1x2=?2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=?1?2=12．
故答案為：12．
4．（2023·青海西寧·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：aa2?b2?1a+b÷1a2?ab，其中a，b是方程x2+x?6=0的兩個(gè)根．
【答案】aba+b，6
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出a+b=?1 ab=?6，代入化簡(jiǎn)結(jié)果，即可求解．
【詳解】解：原式=aa+ba?b?1a+b÷1a2?ab
=ba+ba?b?aa?b
=aba+b
∵a，b是方程x2+x?6=0的兩個(gè)根
∴a+b=?1 ab=?6
∴原式=aba+b=?6?1=6.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：
審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;
設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;
答：實(shí)際問(wèn)題的答案.
一元二次方程的常見(jiàn)問(wèn)題及數(shù)量關(guān)系：
1．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x．列方程為（ ）
A．72001+x2=8450B．72001+2x=8450
C．84501?x2=7200D．84501?2x=7200
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，則2022年平均每公頃72001+xkg，則2023年平均每公頃產(chǎn)72001+x2kg，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．
【詳解】解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，則2022年平均每公頃產(chǎn)72001+xkg，
則2023年平均每公頃產(chǎn)72001+x2kg，
根據(jù)題意有：72001+x2=8450，
故選：A．
2．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉(cāng)”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長(zhǎng)到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（ ）
A．670×1+2x=780B．670×1+x2=780
C．670×1+x2=780D．670×1+x=780
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：670×1+x2=780．
故選：B．
3．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹(shù)造林活動(dòng)，2023年底森林覆蓋率已達(dá)到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x，則符合題意得方程是（ ）
A．0.641+x=0.69B．0.641+x2=0.69
C．0.641+2x=0.69D．0.641+2x2=0.69
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件．設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2023年底森林覆蓋率=2021年底森林覆蓋率×1+x2，據(jù)此即可列方程求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，得64%1+x2=69%
即0.641+x2=0.69，
故選：B．
4．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（ ）
A．x+1+x=36B．21+x=36C．1+x+x1+x=36D．1+x+x2=36
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染x(x+1)人，依題意列方程：1+x+x(1+x)=36．
【詳解】由題意得：1+x+x(1+x)=36，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車(chē)2020年的銷(xiāo)售量為20萬(wàn)輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售量逐年遞增，2022年的銷(xiāo)售量比2020年增加了31.2萬(wàn)輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（ ）
A．201+2x=31.2B．201+2x?20=31.2
C．201+x2=31.2D．201+x2?20=31.2
【答案】D
【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年銷(xiāo)量為20萬(wàn)輛，到2022年銷(xiāo)量增加了31.2萬(wàn)輛列方程即可．
【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得
201+x2?20=31.2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用—增長(zhǎng)率問(wèn)題，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．
【答案】5
【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的四個(gè)數(shù)最大數(shù)與最小數(shù)的差值為8，設(shè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為x+8，結(jié)合已知，利用最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為65列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x．
根據(jù)題意，得xx+8=65．
解得x1=5，x2=?13（不符合題意，舍去）．
答：這個(gè)最小數(shù)為5．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，掌握日歷的特征，根據(jù)已知得出的最大數(shù)與最小數(shù)的差值是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國(guó)的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷(xiāo)售，規(guī)定銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷(xiāo)售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷(xiāo)售數(shù)量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
(1)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若每天銷(xiāo)售所得利潤(rùn)為1200元，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
(3)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為50元
(3)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)1248元
【分析】（1）設(shè)每天的銷(xiāo)售數(shù)量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；
（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本且不高于54元，可得銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為50元；
（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．
【詳解】（1）解：設(shè)每天的銷(xiāo)售數(shù)量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80，
解得k=?2b=160，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵規(guī)定銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為50元；
（3）設(shè)每天獲利w元，
w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，對(duì)稱軸是直線x＝55，
而x≤54，
∴x＝54時(shí)，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．
\l "_Tc184888347" 04題型精研·考向洞悉
命題點(diǎn)一 一元二次方程及其解法
?題型01 已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值
1．（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程a+2x2+x+a2?4=0的一個(gè)根是x=0，則a的值為（ ）
A．2B．?2C．2或?2D．12
【答案】A
【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由一元二次方程的定義，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+a2?4=0可得a2?4=0，即可求答案．
【詳解】解：a+2x2+x+a2?4=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，即a≠?2①
由一個(gè)根x=0，代入a+2x2+x+a2?4=0，
可得a2?4=0，解之得a=±2；②
由①②得a=2；
故選A
2．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若一元二次方程2x2?4x?1=0的兩根為m，n，則3m2?4m+n2的值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x1+x2=?ba,x1x2=ca，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=2，mn=?12，2m2?4m=1，再把3m2?4m+n2變形為2m2?4m+m2+n2，然后利用整體代入的方法計(jì)算，再利用完全平方公式求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程2x2?4x?1=0的兩個(gè)根為m，n，
∴m+n=2，mn=?12，2m2?4m=1
∴3m2?4m+n2
=2m2?4m+m2+n2
=m2+n2+1
=(m+n)2?2mn+1
=22?2×(?12)+1
=6
故答案為：6．
3．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x?1=0的一個(gè)根，則(m+5)(m?1)的值為 ．
【答案】?4
【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程x2+4x?1=0的一個(gè)根，可得出m2+4m=1，再化簡(jiǎn)代數(shù)式，整體代入即可求解．
【詳解】解：∵m是方程x2+4x?1=0的一個(gè)根，
∴m2+4m=1
(m+5)(m?1)
=m2?m+5m?5
=m2+4m?5
=1?5
=?4，
故答案為：?4．
4．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程x2?2x?1=0的根，則m2+1m2= ．
【答案】6
【分析】由m是方程x2?2x?1=0的根，可得m2=2m+1，把m2+1m2化為2m+1+12m+1，再通分變形即可．
【詳解】解：∵m是方程x2?2x?1=0的根，
∴m2?2m?1=0，即m2=2m+1，
∴m2+1m2=2m+1+12m+1
=2m+12+12m+1
=4m2+4m+22m+1
=8m+4+4m+22m+1
=62m+12m+1
=6；
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確的把原分式變形，再求值是解本題的關(guān)鍵．
QUOTE QUOTE QUOTE ?題型02 選用合適的方法解一元二次方程

已知a，b，c分別為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).
1）當(dāng)a=1，b為偶數(shù)，c≠0時(shí)，首選配方法；
2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平方法；
3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；
4）當(dāng)a=1，b≠0，c≠0時(shí)，可選配方法或因式分解法；
5）當(dāng)a≠1，b≠0，c≠0時(shí)，可選公式法或因式分解法.
1．（2024·安徽·中考真題）解方程：x2?2x=3
【答案】x1=3，x2=?1
【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
【詳解】解：∵x2?2x=3，
∴x2?2x?3=0，
∴(x?3)(x+1)=0，
∴x1=3，x2=?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法進(jìn)行解題．
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2
【答案】x1=?1，x2=1
【分析】直接開(kāi)方可得2x+3=?3x?2或2x+3=3x+2，然后計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵(2x+3)2=(3x+2)2
∴2x+3=?3x?2或2x+3=3x+2
解得x1=?1，x2=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>3．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算
(1)33?32+π+30+27+3?2
(2)從下列方程中任選一個(gè)方程，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?br>①x2?8x?1=0 ②x+32=1?2x2 ③2x+32?25=0
【答案】(1)33
(2)①x1=4+17，x2=4?17；②x1=4，x2=?23；③x1=1，x2=?4
【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，解一元二次方程，零指數(shù)冪：
（1）根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則和零指數(shù)冪計(jì)算法則求解即可；
（2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接開(kāi)平方的方法解方程即可．
【詳解】（1）解：原式=3?3+1+33+2?3
=33；
（2）解：①∵x2?8x?1=0，
∴x2?8x=1，
∴x2?8x+16=17，
∴x?42=17，
∴x?4=±17，
解得x1=4+17，x2=4?17；
②∵x+32=1?2x2，
∴x+32?1?2x2=0，
∴x+3+1?2xx+3?1+2x=0，
∴4?x=0或3x+2=0，
解得x1=4，x2=?23；
③∵2x+32?25=0，
∴2x+32=25，
∴2x+3=±5，
解得x1=1，x2=?4．
4．（2024·湖南衡陽(yáng)·一模）（1）用配方法解方程：x2=2x?1；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2x?1=4x?2．
【答案】（1）x1=x2=1；（2）x1=12，x2=2
【分析】本題主要考查了解一元二次方程：
（1）先移項(xiàng)，然后利用完全平方公式配方，進(jìn)而解方程即可得到答案；
（2）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【詳解】解：（1）x2=2x?1
x2?2x+1=0
x?12=0
解得x1=x2=1；
（2）x2x?1=4x?2
x2x?1?22x?1=0
x?22x?1=0
x?2=0或2x?1=0
解得x1=12，x2=2．
?題型03 以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程
1．（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x?3=x?32的過(guò)程如下框：
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．
【答案】?jī)晌煌瑢W(xué)的解法都錯(cuò)誤，正確過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程
【詳解】解：
正確解答：3x?3=x?32
移項(xiàng)，得3x?3?x?32=0，
提取公因式，得x?33?x?3=0，
去括號(hào)，得x?33?x+3=0，
則x?3=0或6?x=0，
解得x1=3，x2=6．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．
2．（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x?8=0的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
(1)小明同學(xué)的解答過(guò)程，從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
【答案】(1)三
(2)x1=?1+5，x2=?1?5．過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程．
（1）按照配方法解一元二次方程的步驟進(jìn)行判斷即可；
（2）按照配方法解一元二次方程的正確步驟進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）小明同學(xué)的解答過(guò)程，從第三步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，配方結(jié)果不正確；
故答案為：三
（2）解：2x2+4x?8=0
移項(xiàng)，得2x2+4x=8，
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+2x=4，
配方，得(x+1)2=5，
由此可得x+1=±5，
所以，x1=?1+5，x2=?1?5．
3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2?2x?3=0時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下：
(1)判斷：兩位同學(xué)的解題過(guò)程是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”．
(2)請(qǐng)選擇合適的方法求解此方程．
【答案】(1)兩位同學(xué)均錯(cuò)
(2)x1=3，x2=?1
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0，
∴x=42±482×1=22±23，
解得x1=22+23，x2=22?23．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ?題型04 配方法的應(yīng)用
【利用配方法求代數(shù)式的最值】求多項(xiàng)式的最值時(shí)，要先把多項(xiàng)式配方成的形式.若a＞0，則代數(shù)式有最小值；若a＜0,則代數(shù)式有最大值.
1．（2022·山東德州·中考真題）已知 M=a2?a，N=a?2（a 為任意實(shí)數(shù)），則M?N的值（ ）
A．小于 0B．等于 0C．大于 0D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握整式的加減，完全平方式與配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)完全平方式利用配方法把M?N的代數(shù)式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷即可．
【詳解】M?N
=a2?a?a?2
=a2?2a+2
=a?12+1，
∵a?12≥0，
∴a?12+1≥1，
∴M?N大于0，
故選：C．
2．（2023·江蘇連云港·中考真題）若W=5x2?4xy+y2?2y+8x+3（x、y為實(shí)數(shù)），則W的最小值為 ．
【答案】?2
【分析】運(yùn)用配方法將W=5x2?4xy+y2?2y+8x+3變形為W=2x?y+12+x+22?2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出W的最小值即可．
【詳解】解：W=5x2?4xy+y2?2y+8x+3
=4x2?4xy+y2+4x?2y+1+x2+4x+4?2
=2x?y2+22x?y+1+x+22?2
=2x?y+12+x+22?2
∵x、y為實(shí)數(shù)，
∴2x?y+12≥0,x+2≥0,
∴W的最小值為?2,
故答案為：?2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)注意配方的步驟，注意在變形的過(guò)程 中不要改變式子的值．
3．（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與 m2+4的大小， 填“>” “3，
∴1?m2|m?3|÷m?12?m?3m+1
=?m+1m?1m?3?2m?1?m?3m+1
=?2；
5．（2024·四川南充·中考真題）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2?2kx+k2?k+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍．
(2)若k1
(2)2
【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“x1，x2是關(guān)于x的方程x2?2kx+k2?k+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，則Δ>0，得出關(guān)于k的不等式求解即可；
（2）根據(jù)k0，
∴Δ=?2k2?4×1×k2?k+1=4k2?4k2+4k?4=4k?4>0，
解得：k>1；
（2）解：∵k1，
∴1?2B．m≥?2C．m≤?2D．m0得出a的取值范圍，根據(jù)b是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，可得4b2?4b+a=0，整體代入，可得m的取值范圍．
【詳解】解：∵一元二次方程x2?x+14a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴ Δ=1?a>0，
∴a0，解得c0，
解得c0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·江蘇南通·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足題意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0，解不等式得到k的范圍，然后在此范圍內(nèi)取一個(gè)值即可．
【詳解】解∶∵一元二次方程x2?2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ=?22?4k>0，
解得k0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③b=3,c=?1時(shí)，Δ=b2?4ac=32?4×1×?1=13>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
④b=2,c=2時(shí)，Δ=b2?4ac=22?4×1×2=?40，
x=?b±b2?4ac2a=?3±52，
x1=?3+52，x2=?3?52；
選擇③b=3,c=?1時(shí)，
x2+3x?1=0，
Δ=b2?4ac=32?4×1×?1=13>0，
x=?b±b2?4ac2a=?3±132，
x1=?3+132，x2=?3?132．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0，
解得m>2，
∵x1+x2=?2m,x1x2=m2?m+2，x1+x2+x1?x2=2，
∴?2m+m2?m+2=2，
解得m1=3,m2=0（不合題意，舍去），
∴m=3
故答案為：3
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?px+1=0（p為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2．
(1)填空：x1+x2=________，x1x2=________；
(2)求1x1+1x2，x1+1x1；
(3)已知x12+x22=2p+1，求p的值．
【答案】(1)p，1；
(2)1x1+1x2=p，x1+1x1=p；
(3)p=3．
【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）利用根和系數(shù)的關(guān)系即可求解；
（2）1x1+1x2變形為x1+x2x1x2，再把根和系數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算即可求解，由一元二次方程根的定義可得x12?px1+1=0，即得x1?p+1x1=0，進(jìn)而可得x1+1x1=p；
（3）把方程變形為x1+x22?2x1x2=2p+1，再把根和系數(shù)的關(guān)系代入得p2?2=2p+1，可得p=?1或p=3，再根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可求解．
【詳解】（1）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=p，x1x2=1，
故答案為：p，1；
（2）解：∵x1+x2=p，x1x2=1，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=p，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2?px+1=0 （p為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，
∴x12?px1+1=0，
∴x1?p+1x1=0，
∴x1+1x1=p；
（3）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=p，x1x2=1，
∵x12+x22=2p+1，
∴x1+x22?2x1x2=2p+1，
∴P2?2=2p+1，
∴P2?2p?3=0，
解得p=?1或p=3，
∴一元二次方程x2?px+1=0為x2+x+1=0或x2?3x+1=0，
當(dāng)p=?1時(shí)，Δ=12?4×1×1=?30，符合題意；
∴p=3．
4．（2023·湖北·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2m+1x+m2+m=0．
(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)m的值為1或?2
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）證明：∵Δ=?2m+12?4×m2+m=1>0，
∴無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵x2?2m+1x+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a,b，
∴a+b=2m+1,ab=m2+m．
∵2a+ba+2b=20，
∴2a2+4ab+2b2+ab=20，2(a+b)2+ab=20．
∴2(2m+1)2+m2+m=20．
即m2+m?2=0．
解得m=1或m=?2．
∴m的值為1或?2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
?題型02 不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值
利用根與系數(shù)的關(guān)系還可以求出關(guān)于、的代數(shù)式的值，涉及到的變形如下：
1．（2024·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2?5x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n?22的值為 ．
【答案】7
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出n2?5n+2=0，m+n=?ba=5，從而得到n2=5n?2，再將原式利用完全平方公式展開(kāi)，利用n2=5n?2替換n2項(xiàng)，整理后得到m+n+2，再將m+n=5代入即可．
【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x2?5x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴n2?5n+2=0，m+n=?ba=5，
則n2=5n?2
∴m+n?22
=m+n2?4n+4
=m+5n?2?4n+4
=m+n+2
=5+2
=7
故答案為：7
2．（2024·四川瀘州·中考真題）已知x1，x2是一元二次方程x2?3x?5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1?x22+3x1x2的值是 ．
【答案】14
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形求值．對(duì)于一元二次方程，若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1x2=ca．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=3，x1x2=?5，再根據(jù)完全平方公式的變形x1+x22=x12+2x1x2+x22=9，求出x1?x22=29，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵ x1，x2是一元二次方程x2?3x?5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2=3，x1x2=?5，
∴x1+x22=x12+2x1x2+x22=9，
∴ x1?x22=x12?2x1x2+x22=9?4x1x2=9+20=29，
∴ x1?x22+3x1x2=29+3×?5=14．
故答案為：14．
3．（2023·湖北鄂州·中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2?3a+2=0，b2?3b+2=0，且a≠b，則1a+1b= ．
【答案】32
【分析】先根據(jù)題意可以把a(bǔ)，b看作是一元二次方程x2?3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a＋b=3，ab=2，再 根據(jù)1a+1b=a+bab進(jìn)行求解即可．
【詳解】設(shè)x2?3x+2=0，依題a，b滿足方程，是這個(gè)方程的兩根，
∴a+b=3，ab=2，
∵1a+1b=a+bab=32 =32；
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及分式的求值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x1+x2=?ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n=1,mn=?1．
則m2n+mn2=mnm+n=?1×1=?1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：
(1)應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2=___________，x1x2=___________；
(2)類(lèi)比：已知一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s?1=0，2t2+3t?1=0且s≠t，求1s?1t的值．
【答案】(1)?32，?12
(2)134
(3)1s?1t的值為17或?17．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；
（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出m+n=?32，mn=?12，再根據(jù)m2+n2=m+n2?2mn，最后代入求值即可；
（3）由題意可將s、t可以看作方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)根，即得出s+t=?32，st=?12，從而由t?s2=t+s2?4st，求得t?s=172或t?s=?172，最后分類(lèi)討論分別代入求值即可．
【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)根為x1，x2，
∴x1+x2=?ba=?32，x1?x2=ca=?12．
故答案為：?32，?12；
（2）解：∵一元二次方程2x2+3x?1=0的兩根分別為m、n，
∴m+n=?ba=?32，mn=ca=?12，
∴m2+n2=m+n2?2mn
=?322?2×?12
=94+1
=134；
（3）解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2+3s?1=0，2t2+3t?1=0，
∴s、t可以看作方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)根，
∴s+t=?ba=?32，st=ca=?12，
∵t?s2=t+s2?4st
=?322?4×?12
=174，
∴t?s=172或t?s=?172，
當(dāng)t?s=172時(shí)，
1s?1t=t?sst=172?12=?17，
當(dāng)t?s=?172時(shí)，
1s?1t=t?sst=?172?12=17，
綜上分析可知，1s?1t的值為17或?17．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，分式的混合運(yùn)算．理解題意，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=?ba和x1?x2=ca是解題關(guān)鍵．
命題點(diǎn)四 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
?題型01 變化率問(wèn)題
1．（2024·山東淄博·中考真題）“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人．
(1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；
(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從A公司購(gòu)買(mǎi)某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)100套，每套售價(jià)1600元；若超過(guò)100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元．但最低售價(jià)不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬(wàn)元，求購(gòu)買(mǎi)的這種健身器材的套數(shù)．
【答案】(1)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為25%
(2)購(gòu)買(mǎi)的這種健身器材的套數(shù)為200套
【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)的這種健身器材的套數(shù)為m套，根據(jù)市政府向該公司支付貨款24萬(wàn)元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為x，
由題意得：32(1+x)2=50，
解得：x1=0.25=25%,x2=?2.25（不符合題意，舍去），
答：該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為25%；
（2）解：∵1600×100=160000

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2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第03講 分式（講義，2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)8種題型（含4種解題技巧）)

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2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第01講 實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（講義，6考點(diǎn)+2命題點(diǎn)11種題型（含6種解題技巧）)

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