（思維導(dǎo)圖+2考點+3命題點11種題型（含2種解題技巧））
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184888628" 01考情透視·目標導(dǎo)航
\l "_Tc184888629" 02知識導(dǎo)圖·思維引航
\l "_Tc184888630" 03考點突破·考法探究
\l "_Tc184888631" 考點一 分式方程及其解法
\l "_Tc184888632" 考點二 分式方程的實際應(yīng)用
\l "_Tc184888633" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc184888634" 命題點一 解分式方程
\l "_Tc184888635" ?題型01 解分式方程
\l "_Tc184888636" ?題型02以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程
\l "_Tc184888637" ?題型03 與解分式方程有關(guān)的新定義問題
\l "_Tc184888638" 命題點二 分式方程含參問題
\l "_Tc184888639" ?題型01 由分式方程的解求參數(shù)
\l "_Tc184888640" ?題型02 由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)
\l "_Tc184888641" ?題型03 由分式方程解的取值范圍求參數(shù)
\l "_Tc184888642" 命題點三 分式方程與實際應(yīng)用
\l "_Tc184888643" ?題型01 列分式方程
\l "_Tc184888644" ?題型02 利用分式方程解決實際問題
\l "_Tc184888645" ?題型03 分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運用
\l "_Tc184888646" ?題型04 以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應(yīng)用
\l "_Tc184888647" ?題型05以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實際應(yīng)用
01考情透視·目標導(dǎo)航
002知識導(dǎo)圖·思維引航

0 \l "_Tc184196524" 03考點突破·考法探究
考點一 分式方程及其解法
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.
解分式方程的一般步驟：
1）找最簡公分母，當(dāng)分母是多項式時，先分解因式；
2）去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；
【易錯點】方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根．
3）解這個整式方程，求出整式方程的解；
4）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
【注意事項】
1）去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項.
2）分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.
5）分式方程有增根與無解并非是同一個概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.
1．（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程3x+1=32x的解為 ．
【答案】x=1
【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．
【詳解】解：原方程去分母得：6x=3x+1，即6x=3x+3
解得：x=1，
檢驗：當(dāng)x=1時，2xx+1≠0，
故原方程的解為x=1，
故答案為：x=1．
2．（2024·陜西·中考真題）解方程：2x2-1+xx-1=1．
【答案】x=-3
【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．
【詳解】解：2x2-1+xx-1=1，
去分母得：2+xx+1=x2-1，
去括號得：2+x2+x=x2-1，
移項，合并同類項得：x=-3，
檢驗：把x=-3代入x+1x-1得：-3+1-3-1=8≠0，
∴x=-3是原方程的解．
3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程1x-2-3=22-x的解是（ ）
A．x=-73B．x=-1C．x=53D．x=3
【答案】D
【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，檢驗）求解，即可解題．
【詳解】解：1x-2-3=22-x，
1x-2-3=-2x-2，
1-3x-2=-2，
1-3x+6=-2，
-3x=-9，
x=3，
經(jīng)檢驗x=3是該方程的解，
故選：D．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于x的分式方程1x-mx+1=0的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m3，
故答案為：a>3．
命題點二 分式方程含參問題
?題型01 由分式方程的解求參數(shù)
1．（2023·山東淄博·中考真題）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3的解，那么實數(shù)m的值為（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】B
【分析】將x=1代入方程，即可求解．
【詳解】解：將x=1代入方程，得m2-1-11-2=3
解得：m=2
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=1代入原方程中得到關(guān)于m的方程．
2．（2024·江蘇鹽城·三模）已知關(guān)于x的方程ax+1=1的解是x=2，求關(guān)于y的不等式(a-5)y3
【分析】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，把x=2代入已知的分式方程，可以求得a的值；然后解關(guān)于y的不等式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：把x=2代入ax+1=1，
∴a2+1=1
解得a=3，
∴(3-5)y3．
∴不等式的解集y>3．
?題型02 由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)
解題思路：
1）分式方程有解，說明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程無解，說明：①原方程去分母后的整式方程無解；②分式方程有增根.
3）分式方程解為正/負，說明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；
③特殊解大于0或小于0
4）分式方程有增根，說明：①原分式方程中的字母為0；②增根為原方程去分母后的整式方程的根.
1．（2021·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程m+x2-x-3＝0有解，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2
【答案】B
【分析】解分式方程得：m+x=6-3x即4x=6-m，由題意可知x≠2，即可得到6-m≠8.
【詳解】解：m+x2-x-3=0
方程兩邊同時乘以2-x得：m+x-6+3x=0，
∴4x=m-6，
∵分式方程有解，
∴2-x≠0，
∴x≠2，
∴6-m≠8，
∴m≠-2，
故選B.
【點睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關(guān)鍵.
2．（2024·四川綿陽·二模）若關(guān)于x的分式方程m3-x=1有解，且關(guān)于y的方程y2-2y+m=0有實數(shù)根，則m的范圍是 ．
【答案】m≤1且m≠0
【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實數(shù)根的判斷，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式有意義的情況得到x≠3，化簡分式后代入即可得到m的取值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：m3-x=1，化簡得：x=3-m，
∵3-x≠0，即x≠3，
∴3-m≠3，解得：m≠0，
∵y2-2y+m=0有實數(shù)根，
∴Δ=b2-4ac=-22-4×1×m≥0，
解得：m≤1，
∴綜上m≤1且m≠0，
故答案為：m≤1且m≠0．
3．（2024·四川達州·中考真題）若關(guān)于x的方程3x-2-kx-1x-2=1無解，則k的值為 ．
【答案】-1或2
【分析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到x=6k+1，再根據(jù)分式方程無解得到k+1=0或6k+1=2，解關(guān)于k的方程即可得到答案．
【詳解】解：3x-2-kx-1x-2=1
去分母得：3-kx+1=x-2，
解得：x=6k+1，
∵關(guān)于x的方程3x-2-kx-1x-2=1無解，
∴當(dāng)k+1=0或6k+1=2時，分式方程無解，
解得：k=-1或k=2（經(jīng)檢驗是原方程的解），
即k=-1或k=2，3x-2-kx-1x-2=1無解．
故答案為：-1或2．
4．（2023·湖南永州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m為常數(shù)）有增根，則增根是 ．
【答案】x=4
【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計算即可．
【詳解】∵關(guān)于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m為常數(shù)）有增根，
∴x-4=0，
解得x=4，
故答案為：x=4．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程x+mx-2+12-x=3有增根，則m= ．
【答案】-1
【分析】等式兩邊同時乘以公因式x-2，化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出x的值，即可求出m．
【詳解】x+mx-2+12-x=3，
解：方程兩邊同時乘以x-2，得x+m+-1=3x-2，
∴m=2x-5，
∵原方程有增根，
∴x-2=0，
∴x=2，
∴m=2x-5=-1，
故答案為：-1．
【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的增根．
6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一個實數(shù)解，求k的值及方程的解．
【答案】k=0,x=73 或k=94，x=23；k=-14或x=4或k=2，x=14或k=74，x=87
【分析】去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程為一元一次方程，即k=0，為一元二次方程，即k≠0，分別求解．而當(dāng)方程為一元二次方程時，又分為Δ=0 (方程有等根，滿足方程恰好有一個實數(shù)解)，若Δ>0，則方程有兩不等實根，且其中一個為增根，而增根只可能為1或0．
【詳解】解：兩邊同乘x2-x,得2kx2+3-4kx+4k-7=0，
若k=0，3x-7=0，x=73，
若k≠0，由題意，知Δ=3-4k2-8k4k-7=0，
解得k1=94，k2=-14，
當(dāng)k1=94時，x1=x2=23，當(dāng)k2=-14時，x1=x2=4，
若方程有兩不等實根，則其中一個為增根，
當(dāng)x1=1時，k=2，x2=14，
當(dāng)x1=0時，k=74，x2=87．
【點睛】本題考查了分式方程的解，解一元二次方程．關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程的特點及題目的條件分類討論．
7．（2024西昌市一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“？”看不清楚：?x-2+3=12-x．
(1)她把這個數(shù)“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；
(2)小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？
【答案】(1)x=0
(2)-1
【分析】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根增根確定后可按如下步驟進行： ①化分式方程為整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
（1）“？”當(dāng)成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母時產(chǎn)生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答．
【詳解】（1）解：依題意，5x-2+3=12-x
方程兩邊同時乘以x-2得
5+3x-2=-1
解得 x=0
經(jīng)檢驗，x=0是原分式方程的解；
（2）解：設(shè)？為m，
方程兩邊同時乘以x-2得
m+3x-2=-1
∵x=2是原分式方程的增根，
∴把x=2代入上面的等式得
m+3×2-2=-1
m=-1
∴，原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1．
QUOTE ?題型03 由分式方程解的取值范圍求參數(shù)
1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程xx-1=3-mx1-x的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為 ．
【答案】-1
【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．
【詳解】解：xx-1=3-mx1-x，
化簡得：xx-1=3+mxx-1，
去分母得：x=3x-1+mx，
移項合并得：2+mx=3，
解得：x=32+m，
由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2+m=1或2+m=3，
解得：m=-1或m=1（舍去，會使得分式無意義）．
故答案為：-1．
2．（2023·四川眉山·中考真題）關(guān)于x的方程x+mx-2-1=x-12-x的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是 ．
【答案】m≤-1且m≠-3
【分析】解分式方程，可用m表示x，再根據(jù)題意得到關(guān)于m的一元一次不等式即可解答．
【詳解】解：解x+mx-2-1=x-12-x，可得x=-m-1，
∵x的方程x+mx-2-1=x-12-x的解為非負數(shù)，
∴-m-1≥0，
解得m≤-1，
∵x-2≠0，
∴-m-1-2≠0，
即m≠-3，
∴m的取值范圍是m≤-1且m≠-3，
故答案為：m≤-1且m≠-3．
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程xx-3=2-m3-x有一個正數(shù)解，則m的取值范圍 ．
【答案】m0，且6-m≠3，計算求解，然后作答即可．
【詳解】解：xx-3=2-m3-x，
x=2x-6+m，
解得，x=6-m，
∵關(guān)于x的方程xx-3=2-m3-x有一個正數(shù)解，
∴6-m>0，且6-m≠3，
解得，m

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