1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.探索并證明菱形 的性質(zhì)定理.2.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題.
前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),成為什么圖形?
(矩形,由角變化得到)
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,又會(huì)得到什么特殊的四邊形呢?
在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長(zhǎng)度，請(qǐng)仔細(xì)觀察和思考，在這變化過程中，哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了？
平行四邊形不一定是菱形.
將一張矩形的紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)什么樣的圖形？
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?
結(jié)論：這就是另一類特殊的平行四邊形，即菱形.
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
∵四邊形ABCD是平行四邊形, AB=BC, ∴四邊形ABCD是菱形.
注意：定義中的“平行四邊形”不能寫成“四邊形”。
觀察所示的菱形，將你的發(fā)現(xiàn)填入下表.
如圖，我們發(fā)現(xiàn)，菱形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為它的對(duì)角線所在的直線.
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性質(zhì)：
菱形的對(duì)角線互相垂直.
菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等.
已知：如圖,四邊ABCD是菱形求證：AB=BC=CD=AD
證明：∵四邊形ABCD是菱形∴ AB=CD，AD=BC (平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等）∵ AB=BC（菱形的定義）∴ AB=BC=CD=AD
菱形的性質(zhì)2：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
已知:如圖，四邊形ABCD是菱形.證明：AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
（1）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
（2）菱形的四條邊都相等；
（3）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
例1 如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.試求出∠B的大小，并說(shuō)明△ABC是等邊三角形.
解： 在菱形ABCD中，∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，∴ ∠B=60°在菱形ABCD中，∵AB=BC(菱形的四條邊都相等)，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形.
例2: 如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠BAD=120°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.試求這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線AC與BD的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))
∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四條邊都相等).在△ABO和△ADO中，∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD,∴△ABO≌△ADO,∴∠BAO＝∠DAO ＝ ∠BAD＝60°.在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°,∴△ABC為等邊三角形，∴AC＝AB＝2.
在菱形ABCD中，∵AC⊥BD(菱形的對(duì)角線互相垂直)，∴△AOB為直角三角形，∴∴
例3: 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE垂直且平分CD，垂足為點(diǎn)E.求∠BCD的大小.
解 ∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA(菱形的四條邊都相等).又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD，∴AC=AD=DC=CB=BA，即△ADC與△ABC都為等邊三角形，∴∠ACD=∠ACB=60°.∴∠BCD=120°.
菱形的 兩條對(duì)角線互相平分
菱形的兩組對(duì)邊平行且相等
菱形的兩組對(duì)角分別相等
菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
1.菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（ ）.
A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相垂直 C.對(duì)角線互相平分且相等 D.對(duì)角線互相平分
2.AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，試探究四邊形AEDF是什么特殊四邊形，說(shuō)明理由．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，又∵AE∥DF，∴∠1＝∠3，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AF＝DF，∴?AEDF為菱形．
解：平行四邊形AEDF為菱形
3.菱形ABCD兩條對(duì)角線BD、AC長(zhǎng)分別是6cm和8cm，求菱形的周長(zhǎng)和面積.
1.周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)的四倍2.面積=底×高=兩條對(duì)角線乘積的一半
1.兩組對(duì)邊平行且相等；2.四條邊相等
兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)
1.兩條對(duì)角線互相垂直平分；2.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
1.菱形對(duì)角線的平方和等于一邊平方的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
2.已知:如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.
求:(1).對(duì)角線AC的長(zhǎng)度; (2).菱形的面積.
∵四邊形ABCD是菱形,
(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
3．如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連接EC.(1)求證：AE＝EC；(2)當(dāng)∠ABC＝60°，∠CEF＝60°時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？并說(shuō)明理由．

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1. 菱形的性質(zhì)

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