一個(gè)圖形具有的特殊形狀
如果將一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)對(duì)折，直線(xiàn)兩側(cè)的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是它的一條對(duì)稱(chēng)軸
如圖：將一張長(zhǎng)方形形的紙對(duì)折，然后用筆尖扎出“14”這個(gè)數(shù)字，將紙打開(kāi)后鋪平：
（1）兩個(gè)“14”有什么關(guān)系？（2）設(shè)折痕所在直線(xiàn)為l，連接點(diǎn)E和E′的線(xiàn)段和l有什么關(guān)系？ 點(diǎn)F和F′呢？
（3）線(xiàn)段AB與A′B′，CD與C′D′有什么關(guān)系？（4）∠1與∠2有什么關(guān)系？∠3與∠4呢？
AB∥A′B′，CD∥C′D′.
∠1=∠2，∠3=∠4.
在圖中，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P'，線(xiàn)段PP'交直線(xiàn)l于點(diǎn)D.線(xiàn)段PP'與對(duì)稱(chēng)軸l之間有什么關(guān)系？ 線(xiàn)段PP'被對(duì)稱(chēng)軸l垂直平分.
因?yàn)椤鰽BC和△A'B'C'關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以將△ABC連同直線(xiàn)l沿對(duì)稱(chēng)軸l折疊，就得到△A'B'C'連同直線(xiàn)l.在這個(gè)軸對(duì)稱(chēng)下，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P'，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D自身.
于是線(xiàn)段PD與線(xiàn)段P'D重合，∠1與∠2重合，從而PD=P'D， ∠ 1= ∠ 2=90°.因此l⊥PP'，且l平分PP'，即直線(xiàn)l垂直平分線(xiàn)段PP'.
由此得到軸對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分.因此，若兩個(gè)圖形關(guān)于一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則其中一個(gè)圖形上的任意一個(gè)點(diǎn)P與另一個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的連線(xiàn)PP'被這條直線(xiàn)垂直平分.反過(guò)來(lái)，若兩個(gè)圖形的任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)都被同一條直線(xiàn)垂直平分，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).
特別地，若點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則線(xiàn)段PP'被這條直線(xiàn)垂直平分.反過(guò)來(lái)，若線(xiàn)段PP'被一條直線(xiàn)垂直平分，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).
在圖中，將△ABC沿直線(xiàn)l折疊，在這個(gè)軸對(duì)稱(chēng)下，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C'.通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)：AB=A'B'，BC=B'C'，∠ABC=∠A'B'C'.
從這個(gè)例子以及大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可以得出：軸對(duì)稱(chēng)保持任意兩點(diǎn)間距離不變，保持角的大小不變.
右圖是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形：（1）找出它的對(duì)稱(chēng)軸.（2）連接點(diǎn)A與點(diǎn)A1的線(xiàn)段與對(duì)稱(chēng)軸有什么關(guān)系？連接點(diǎn)B與點(diǎn)B1的線(xiàn)段呢？
（3）線(xiàn)段AD與線(xiàn)段A1D1有什么關(guān)系？線(xiàn)段BC與B1C1呢？（4）∠1與∠2有什么關(guān)系?∠3與∠4呢？
AD=A1D1，BC=B1C1.
例1 如圖，已知直線(xiàn)l及直線(xiàn)外一點(diǎn)P，畫(huà)一點(diǎn)P'，使它與點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng).解 可以按以下步驟來(lái)畫(huà)：（1）過(guò)點(diǎn)P作 PQ ⊥ l ，交l于點(diǎn)O；（2）在射線(xiàn) OQ 上截取OP'=OP，則點(diǎn)P'即為點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
問(wèn)題1：如何畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形？
如圖，已知線(xiàn)段AB和直線(xiàn)l，畫(huà)出線(xiàn)段AB關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)圖形.
問(wèn)題2：如何畫(huà)一條線(xiàn)段的軸對(duì)稱(chēng)圖形？
（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)O.
（2）在垂線(xiàn)上截OA'=OA，點(diǎn)A'就是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).（3）用同樣的方法作出點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'.
（4）連接A'B'. 則線(xiàn)段A'B'即為所求作的圖形.
例2 如圖，已知△ABC和直線(xiàn)l，畫(huà)出△ABC關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)圖形.
問(wèn)題3：如果有一個(gè)圖形和一條直線(xiàn)，如何畫(huà)出與這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形呢？
分析 要畫(huà)△ABC關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)圖形，只要作出三角形的頂點(diǎn)A，B，C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A ' ，B ' ，C ' ，連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可.
解（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)O，在垂線(xiàn)上截取OA'=OA，點(diǎn)A'就是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；（2）類(lèi)似地，分別畫(huà)出點(diǎn)B，C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，C'；（3）連接A'B'，B'C'，C'A'，所得到的△A'B'C'即為△ABC關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)圖形.
畫(huà)好△A'B'C'后，若將紙沿直線(xiàn)l折疊，兩個(gè)三角形會(huì)重合嗎？
幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成.對(duì)于某些圖形，只要作出圖形中一些特殊點(diǎn)（如線(xiàn)段端點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形.
先過(guò)直線(xiàn)l外一點(diǎn)分別畫(huà)直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段與斜線(xiàn)段，再利用軸對(duì)稱(chēng)變換說(shuō)明垂線(xiàn)段最短，并將結(jié)果與同學(xué)交流.
1 已知直線(xiàn)AB和直線(xiàn)l相交于點(diǎn)O， 畫(huà)出直線(xiàn)AB關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)圖形.
2 如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線(xiàn)MN成軸對(duì)稱(chēng). 指出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)， 并分別找出三對(duì)相等的邊和相等的角.
解：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：A與A' ，B與B' ，C與C'.相等的邊：AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.相等的角： ∠ A= ∠ A'， ∠ B= ∠ B'， ∠ C= ∠ C'.
1.如圖，把下列圖形補(bǔ)成關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)圖形.
2.如圖，畫(huà)△ABC關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)圖形.
3. 如圖給出了一個(gè)圖案的一半，虛線(xiàn) l 是這個(gè)圖案的對(duì)稱(chēng)軸.整個(gè)圖案是個(gè)什么形狀？請(qǐng)準(zhǔn)確地畫(huà)出它的另一半.
4.下面兩個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形分別只畫(huà)出了一半，請(qǐng)畫(huà)出它們的另一半(直線(xiàn)L為對(duì)稱(chēng)軸).
5.如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形ABC，請(qǐng)你找出格紙中所有與三角形ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，在下面所給的格紙中一一畫(huà)出（所給的格紙未必全用）．
這樣的三角形共有_____個(gè).
對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分
（1）找特征點(diǎn)；（2）作垂線(xiàn)；（3）截取等長(zhǎng)；（4）依次連線(xiàn).

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5.1 軸對(duì)稱(chēng)

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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