二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的?？傮w來說函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且?？汲Ｐ隆：瘮?shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對運(yùn)算也是常考查的知識(shí)點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。
（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。
三：試題精講
一、單選題
1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
二、多選題
1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心
高考真題練
一、單選題
1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A．B．0C．D．1
二、多選題
1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：
（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍； = 2 \* GB3 ②在同一對應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；
（7）對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域．
二、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?br>（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
三、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)函數(shù)的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：
如果對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．
如果對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意兩個(gè)自變量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．
（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).
四、函數(shù)的奇偶性
函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)
判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)．
五、函數(shù)的對稱性
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．
(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．
六、函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)：
對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.
七、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)
八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算
1、指數(shù)
(1)根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．
(2)根式的性質(zhì)：
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.
(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類
①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指數(shù)函數(shù)
九、對數(shù)及對數(shù)運(yùn)算
1、對數(shù)式的運(yùn)算
(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
(2)常見對數(shù)：
①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；
②常用對數(shù)：以為底，記為；
③自然對數(shù)：以為底，記為；
(3) 對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③對數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對數(shù)函數(shù)．
對數(shù)函數(shù)的圖象
十、函數(shù)與方程
1、函數(shù)的零點(diǎn)
對于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
3、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
4、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
5、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】
1、單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；
④得出結(jié)論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結(jié)論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2、奇偶性技巧
(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.
(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足.
(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.
(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.
對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)或函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)或函數(shù)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3、周期性技巧
4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
5、對稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對稱．
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（ ）
A．1B．0C．D．2
2．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024·湖南長沙·三模）地震震級(jí)通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級(jí)，表示該地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．6.3級(jí)B．6.4級(jí)C．7.4級(jí)D．7.6級(jí)
4．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對稱B．關(guān)于點(diǎn)對稱
C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．關(guān)于點(diǎn)對稱
5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域?yàn)?br>C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．有一個(gè)極值點(diǎn)
B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，有以下四種說法：
①
②
③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列
④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列
則其中正確的說法有（ ）種.
A．1B．2C．3D．4
10．（2024·河北保定·三模）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若1，則（ ）
A．1B．C．0D．
12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（ ）
A．B． C．D．
13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則是的極值點(diǎn)
B．，使得
C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
15．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（ ）(參考數(shù)據(jù):)
A．
B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失
C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?br>D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則
16．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．在上具有單調(diào)性
17．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象也關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于中心對稱
C．D．
18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·湖北·二模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的值域?yàn)?br>B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形
C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則
20．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（ ）
A．B．關(guān)于中心對稱
C．是周期函數(shù)D．的解析式可能為
21．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數(shù)的函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．4是函數(shù)的一個(gè)周期
D．
23．（2024·河北邢臺(tái)·一模）已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)
B．
C．若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為
D．
參考答案與詳細(xì)解析
一：考情分析
二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的。總體來說函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且?？汲Ｐ隆：瘮?shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。
（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。
三：試題精講
一、單選題
1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，
又因?yàn)椋?br>則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無證據(jù)表明ACD一定正確.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.
3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.
【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br>令解得；令解得；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
可知若，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br>令解得；令解得；
則當(dāng)時(shí)，，故，所以；
時(shí)，，故，所以；
故， 則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.
二、多選題
1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.
【詳解】對A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，
易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；
對B，當(dāng)時(shí)，，所以，
而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；
對C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，正確；
對D，當(dāng)時(shí)，，
所以，正確；
故選：ACD.
2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心
【答案】AD
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
【詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心
高考真題練
一、單選題
1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所?br>一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點(diǎn)評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.
3．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)?為偶函數(shù)，則 ，解得，
當(dāng)時(shí)，，，解得或，
則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.
，
故此時(shí)為偶函數(shù).
故選：B.
二、多選題
1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究
對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；
對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項(xiàng)A：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項(xiàng)B：可得，
因?yàn)?，則，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即?br>可得，即，故C正確；
對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.
方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】方法一：
因?yàn)椋?br>對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.
方法二：
因?yàn)椋?br>對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，當(dāng)時(shí)，對兩邊同時(shí)除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.
故選：.
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：
（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍； = 2 \* GB3 ②在同一對應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；
（7）對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域．
二、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?br>（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
三、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)函數(shù)的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：
如果對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．
如果對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意兩個(gè)自變量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．
（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).
四、函數(shù)的奇偶性
函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)
判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)．
五、函數(shù)的對稱性
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．
(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．
六、函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)：
對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.
七、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)
八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算
1、指數(shù)
(1)根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．
(2)根式的性質(zhì)：
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.
(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類
①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指數(shù)函數(shù)
九、對數(shù)及對數(shù)運(yùn)算
1、對數(shù)式的運(yùn)算
(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
(2)常見對數(shù)：
①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；
②常用對數(shù)：以為底，記為；
③自然對數(shù)：以為底，記為；
(3) 對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③對數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對數(shù)函數(shù)．
對數(shù)函數(shù)的圖象
十、函數(shù)與方程
1、函數(shù)的零點(diǎn)
對于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
3、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
4、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
5、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】
1、單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；
④得出結(jié)論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結(jié)論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2、奇偶性技巧
(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.
(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足.
(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.
(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.
對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)或函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)或函數(shù)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3、周期性技巧
4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
5、對稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對稱．
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（ ）
A．1B．0C．D．2
【答案】A
【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.
【詳解】由，
得，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，
所以，解得.
故選：.
2．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，則的圖象為：
可知在上單調(diào)遞增；
若，則的圖象為：
可知在上單調(diào)遞減；
綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.
故選：C．
3．（2024·湖南長沙·三模）地震震級(jí)通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級(jí)，表示該地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．6.3級(jí)B．6.4級(jí)C．7.4級(jí)D．7.6級(jí)
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.
【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為，
可得.
故選：B.
4．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對稱B．關(guān)于點(diǎn)對稱
C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】C
【分析】由函數(shù)的平移變化即可求得出答案.
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，
將函數(shù)向左平移一個(gè)單位可得函數(shù)，
則函數(shù)關(guān)于對稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.
故選：C.
5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.
【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
6．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由題設(shè)條件證明，再驗(yàn)證時(shí)條件滿足即可.
【詳解】若在上單調(diào)遞增，
則必然在處有定義，所以，即；
若，則當(dāng)時(shí)，所以在上有定義，
再由知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.
故選：C.
7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域?yàn)?br>C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
【答案】C
【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.
【詳解】，
函數(shù)，，則，
又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)?，所以，則，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；
，，
所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：C.
8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．有一個(gè)極值點(diǎn)
B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
【答案】C
【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，有以下四種說法：
①
②
③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列
④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列
則其中正確的說法有（ ）種.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由題意設(shè)，根據(jù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析，根據(jù)可判斷①，根據(jù)函數(shù)的極大值可判斷②，根據(jù)三次函數(shù)的對稱性可判斷③，舉例可判斷④.
【詳解】由，得，
設(shè)，則，
則的極小值為，極大值為．
對①，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，①正確．
對②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，
所以，所以未必成立，②錯(cuò)誤．
對③，設(shè)，令有，則有，故圖象存在對稱中心，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，③正確．
對④，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，④正確．
故選：C.
10．（2024·河北保定·三模）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮?shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】①若，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又函數(shù)的值域D滿足，則解得；
②若，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又函數(shù)的值域D滿足，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，，
若，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）符合題意，
綜上所述：.
故選：D.
11．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若1，則（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱且關(guān)于直線軸對稱，進(jìn)而得的周期為4，即可求解.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則.
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于直線軸對稱.
由，得，
所以，則，
則的周期為4，
，則.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論
（1）關(guān)于軸對稱，
（2）關(guān)于中心對稱，
（3）的一個(gè)周期為，
（4）的一個(gè)周期為.
可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.
12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對稱性、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.
【詳解】對于A，因?yàn)?，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，
由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以，所以得，
則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：
令，由，所以，
且，
令，由，由得，
所以，
根據(jù)對稱性，在單調(diào)遞減，而，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，
所以，故A不正確；
對于B，由于，，在單調(diào)遞減，
所以，所以，故B不正確；
對于C，又，，
根據(jù)圖象在上單調(diào)遞增，
所以，故C不正確；
對于C，，且，因?yàn)椋?br>所以，故，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對稱關(guān)系.
13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)條件得到的對稱中心，再根據(jù)對稱得到的對稱中心.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
即，
故的對稱中心為，即，
由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，
且關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
故的對稱中心為.
故選：D
二、多選題
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則是的極值點(diǎn)
B．，使得
C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
【答案】BD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.
【詳解】A：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，使得，故B正確；
C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以若為的極小值點(diǎn)時(shí)，在上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；
D：，
而，
則，
所以點(diǎn)為的對稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，故D正確.
故選：BD．
15．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（ ）(參考數(shù)據(jù):)
A．
B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失
C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?br>D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則
【答案】CD
【分析】利用給定式子進(jìn)行化簡判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.
【詳解】由題意得，故有，
左右同時(shí)取對數(shù)得，故得，故A錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，
而當(dāng)時(shí)，，
得到經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?，故C正確，
由題意得，化簡得，
，
將代入其中，可得，故D正確.
故選：CD
16．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．在上具有單調(diào)性
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，令即可判斷A，令，，即可判斷B，令結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷C，令即可判斷D
【詳解】對A：令，則有，即，故A正確；
對B：，，則有，即，
由，，故，即，故B錯(cuò)誤；
對C：令，則有，即，
即，又函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；
對D：令，則有，即，
即有，則當(dāng)時(shí)，有，即，
故在上不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
17．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象也關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于中心對稱
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對稱性可得，，由此分析可得由此分析選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱，
所以， ，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于直線對稱，
此時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，,
∴，∴，
又∵是一個(gè)定值，而隨的不同而不同，
∴此等式不成立，即不成立,
∴，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，B正確；
∴，，即，C正確.
與關(guān)于對稱，
∴，即，即，
∴，D正確，
又，則，即，
，而，
若A選項(xiàng)成立，則時(shí)，，所以
但此時(shí)，，
所以由可得，但這與已知矛盾，
所以的圖象不可能關(guān)于直線對稱，A錯(cuò)誤.
故選：BCD.
18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對稱性、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.
【詳解】對于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，
由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以，所以得，
則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：
由對稱性可得，
所以，故A不正確；
由于，，所以，故B正確；
又，，所以，故C正確；
，且，
因?yàn)?，所以，故?br>所以，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對稱關(guān)系.考查學(xué)生的基本分析能力與計(jì)算能力，屬于中等難度的題型.
19．（2024·湖北·二模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的值域?yàn)?br>B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形
C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則
【答案】BCD
【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計(jì)算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對稱性判斷C；利用中心對稱的性質(zhì)計(jì)算判斷D.
【詳解】對于A，顯然的定義域?yàn)镽，，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；
對于B，令，，
即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，B正確；
對于C，由選項(xiàng)B知，，即，
兩邊求導(dǎo)得，即，
因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；
對于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，
因此，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，
①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
20．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（ ）
A．B．關(guān)于中心對稱
C．是周期函數(shù)D．的解析式可能為
【答案】ACD
【分析】對于A：根據(jù)題意賦值即可；對于C：根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)以及周期性的定義分析判斷；對于B：舉反例說明即可；對于D：將代入題意關(guān)系式檢驗(yàn)即可.
【詳解】由，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對于選項(xiàng)A：令，，可得，
且，可得，故A正確；
對于選項(xiàng)C：令，則，
則，即，可知為偶函數(shù)，
令，則，
可知，，
可得，則，
所以，可知周期為6，故C正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)橛捎跒榕己瘮?shù)且周期為6，
則，不滿足，
所以不關(guān)于中心對稱，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>且，
即符合題意，所以的解析式可能為，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
21．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數(shù)的函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)已知條件，利用賦值法依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對于A，令，則，即，
又函數(shù)不為常數(shù)，，即，故A正確；
對于B，令，則，
令，則，得，
令，則，得，故B正確；
對于C，令，則，所以，即，故C錯(cuò)誤；
對于D，令，則，所以，
則，又，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)，解題關(guān)鍵是先證明，結(jié)合，利用基本不等式證明.
22．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．4是函數(shù)的一個(gè)周期
D．
【答案】BCD
【分析】通過函數(shù)的奇偶性可判斷B；通過聯(lián)立函數(shù)與的方程組以及對函數(shù)進(jìn)行賦值可推出函數(shù)的周期從而判斷C；
計(jì)算出從而排除A；先通過賦值求出，再通過周期性計(jì)算出D。
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，
所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
即，代入，得，
所以.由，得，
所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)?，所以，由?br>得，所以，得，
所以，所以4是函數(shù)的周期.故選項(xiàng)C正確；
由，得，所以，所以，
由，得，，所以，，
因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由，得即，
所以，故選項(xiàng)D正確.
故選:BCD
【點(diǎn)睛】本題是一道綜合性較強(qiáng)的關(guān)于抽象函數(shù)奇偶性，對稱性，周期性的綜合題，且包含兩個(gè)函數(shù)。
解決抽象函數(shù)奇偶性，對稱性，周期的問題的關(guān)鍵是通過賦值，找到這幾個(gè)性質(zhì)之間的聯(lián)系，函數(shù)的賦值包括兩大類：即賦具體值和抽象的表達(dá)式，對于賦具體值一般根據(jù)題目的要求即可找到題目所需要求的值；而賦抽象的表達(dá)式，則需要遵循賦值后的表達(dá)式與其它子式子之間能夠聯(lián)立的原則。另外對于一個(gè)題目里有兩個(gè)抽象函數(shù)的綜合問題，則需通過建立方程組，然后賦值（表達(dá)式）消去其中一個(gè)函數(shù)，從而得到另一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。
23．（2024·河北邢臺(tái)·一模）已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)
B．
C．若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為
D．
【答案】AD
【分析】利用函數(shù)對稱性的定義判斷A，利用周期性的定義判斷B，利用給定區(qū)間的函數(shù)解析式求解未知解析式判斷C，利用周期性對函數(shù)求和判斷D即可.
【詳解】由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.
由可得又,
所以可知的圖象關(guān)于對稱，
所以，
所以是周期為4的周期函數(shù)，
則故B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí),
又因?yàn)?br>所以
即在區(qū)間上的解析式為故C錯(cuò)誤.
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以.故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解
命題解讀
考向
考查統(tǒng)計(jì)
1.高考對函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性，需要關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查。
2.高考對函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性）、圖像等。
冪、指、對函數(shù)的圖像與性質(zhì)
2023·新高考Ⅰ卷，4
2023·新高考Ⅰ卷，10
2023·新高考Ⅱ卷，4
抽象函數(shù)的性質(zhì)
2022·新高考Ⅰ卷，12
2023·新高考Ⅰ卷，11
2024·新高考Ⅰ卷，8
2022·新高考Ⅱ卷，8
函數(shù)與不等式結(jié)合
2024·新高考Ⅱ卷，8
分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
2024·新高考Ⅰ卷，6
2024·新高考Ⅰ卷，10
2024·新高考Ⅱ卷，11
聲源
與聲源的距離
聲壓級(jí)
燃油汽車
10
混合動(dòng)力汽車
10
電動(dòng)汽車
10
40
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對稱
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
圖象
性質(zhì)
①定義域，值域
②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)
③，即時(shí)，等于底數(shù)
④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
在定義域上是單調(diào)增函數(shù)
⑤時(shí)，；時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，
⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
命題解讀
考向
考查統(tǒng)計(jì)
1.高考對函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性，需要關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查。
2.高考對函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性）、圖像等。
冪、指、對函數(shù)的圖像與性質(zhì)
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抽象函數(shù)的性質(zhì)
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分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
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聲源
與聲源的距離
聲壓級(jí)
燃油汽車
10
混合動(dòng)力汽車
10
電動(dòng)汽車
10
40
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對稱
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
圖象
性質(zhì)
①定義域，值域
②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)
③，即時(shí)，等于底數(shù)
④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
在定義域上是單調(diào)增函數(shù)
⑤時(shí)，；時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，
⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

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