1.(2024·九省聯考)記等差數列{an}的前n項和為Sn,a3+a7=6,a12=17,則S16=( )
A.120B.140C.160D.180
2.已知等比數列{an}的各項均為正數,且a3=9,則lg3a1+lg3a2+lg3a3+lg3a4+lg3a5=( )
A.52B.53C.10D.15
3.(2024·遼寧沈陽統(tǒng)考一模)已知有100個半徑互不相等的同心圓,其中最小圓的半徑為1,在每相鄰的兩個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,則這100個圓中最大圓的半徑是( )
A.8B.9C.10D.100
4.我國明代著名樂律學家明宗室王子朱載堉在《律學新說》中提出十二平均律,即是現代在鋼琴的鍵盤上,一個八度音程從一個c鍵到下一個c1鍵的8個白鍵與5個黑鍵(如圖),從左至右依次為:c,#c,d,#d,e,f,#f,g,#g,a,#a,b,c1的音頻恰成一個公比為122的等比數列的原理,也即高音c1的頻率正好是中音c的2倍.已知標準音a的頻率為440 Hz,則頻率為2202 Hz的音名是( )
A.dB.f
C.eD.#d
5.已知數列{an}的前n項和Sn=n2,設數列1anan+1的前n項和為Tn,則T20的值為( )
A.1939B.3839C.2041D.4041
6.一百零八塔位于寧夏吳忠青銅峽市,它因塔群的塔數而得名,塔群隨山勢鑿石分階而建,由下而上逐層增高,依山勢自上而下各層的塔數分別為1,3,3,5,5,7,…,該數列從第5項開始成等差數列,則該塔群最下面三層的塔數之和為( )
A.39B.45C.48D.51
7.在1到100的整數中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)的整數,則其余整數的和是( )
A.3 928B.4 024C.4 920D.4 924
8.已知函數f(n)=n2,n為奇數,-n2,n為偶數,且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0B.100
C.-100D.10 200
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,則下列結論一定正確的是( )
A.a5=1B.Sn的最小值為S3
C.S1=S6D.Sn存在最大值
10.已知數列{an}是等差數列,其前30項和為390,a1=5,bn=2an,對于數列{an},{bn},下列選項正確的是( )
A.b10=8b5B.{bn}是等比數列
C.a1b30=105D.a3+a5+a7a2+a4+a6=209193
11.對于數列{an},若存在正數M,使得對一切正整數n,都有|an|≤M,則稱數列{an}是有界的.若這樣的正數M不存在,則稱數列{an}是無界的.記數列{an}的前n項和為Sn,下列結論正確的是( )
A.若an=1n,則數列{an}是無界的
B.若an=12nsin n,則數列{Sn}是有界的
C.若an=(-1)n,則數列{Sn}是有界的
D.若an=2+1n2,則數列{Sn}是有界的
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.記Sn為等差數列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d= .
13.已知數列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),若Sn為數列{an}的前n項和,則S2 024= .
14.某校學生在研究民間剪紙藝術時,發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20 dm×12 dm的長方形紙,對折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240 dm2,對折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180 dm2,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為 ;如果對折n次,那么∑k=1nSk= dm2.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)記Sn為數列{an}的前n項和.已知2Snn+n=2an+1.
(1)證明:{an}是等差數列;
(2)若a4,a7,a9成等比數列,求Sn的最小值.
16.(15分)已知數列{an}是正項等比數列,滿足a3是2a1,3a2的等差中項,a4=16.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若bn=(-1)nlg2a2n+1,求數列{bn}的前n項和Tn.
17.(15分)已知數列{an}的首項a1=1,且滿足an+1an=2n+1,記bn=a2n-1+a2n,n∈N*.
(1)證明:{bn}是等比數列;
(2)記cn=bn(bn+1-3)(bn-3),證明:數列{cn}的前n項和Sn1 000的最小的“佳冪數”m;
②證明:該數列的“佳冪數”有無數個.
專題過關檢測三 數列 答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.C 解析 因為a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,
所以S16=(a1+a16)×162=8(a5+a12)=160.
故選C.
2.C 解析 因為等比數列{an}的各項均為正數,且a3=9,所以lg3a1+lg3a2+lg3a3+lg3a4+lg3a5=lg3(a1a2a3a4a5)=lg3(a35)=lg3(95)=lg3(310)=10.
3.C 解析 設這100個圓的半徑從小到大依次為r1,r2,…,r100,則由題知,r12=1,每相鄰的兩個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,有rn+12?rn2=1(n=1,2,…,99),則{rn2}是首項為1,公差為1的等差數列,n=1,2,…,100,所以r1002=100,得r100=10.故選C.
4.D 解析 因為a的音頻是數列的第10項,440=2202×212=2202×211210-4,所以頻率為2202 Hz是該數列的第4項,其音名是#d.
5.C 解析 當n=1時,a1=S1=1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.而a1=1也符合an=2n-1,所以an=2n-1.所以1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1?12n+1),所以Tn=12(1-13+13?15+…+12n-1?12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1,所以T20=202×20+1=2041.
6.D 解析 設該數列為{an},依題意,可知a5,a6,…成等差數列,且公差為2,a5=5.設塔群共有n層,則1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)2×2=108,解得n=12.故最下面三層的塔數之和為a10+a11+a12=3a11=3×(5+2×6)=51.
7.D 解析 由2n∈[1,100],n∈N*,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26=2×(1-26)1-2=126.又1+2+3+…+100=100×1012=5 050,所以在1到100的整數中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)的整數,其余整數的和為5 050-126=4 924.
8.B 解析 由已知得當n為奇數時,an=n2-(n+1)2=-2n-1,當n為偶數時,an=-n2+(n+1)2=2n+1.
所以a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.AC 解析 由已知得a1+3(a1+4×1)=7a1+7×62×1,解得a1=-3.
對于選項A,a5=-3+4×1=1,故A正確.
對于選項B,an=-3+n-1=n-4,因為a1=-3

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