二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。Ⅰ卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，Ⅱ卷則是考查了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。
三：試題精講
一、單選題
1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024新高考Ⅰ卷·7）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．6D．8
二、多選題
3．（2024新高考Ⅱ卷·9）對于函數(shù)和，下列說法正確的有（ ）
A．與有相同的零點B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期D．與的圖像有相同的對稱軸
三、填空題
4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
高考真題練
一、單選題
1．（2022新高考Ⅰ卷·6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知為銳角，，則（ ）．
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

知識點總結(jié)
一、三角函數(shù)基本概念
1、弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
2、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數(shù)坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，
三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
記憶口訣 INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET ：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：．
（2）商數(shù)關(guān)系：；
三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
四、兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
五、二倍角公式
①；
②；
③；
六、降次（冪）公式
知識點四：半角公式
七、輔助角公式
（其中）．
八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
九、與的圖像與性質(zhì)
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設(shè)．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設(shè)．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點的位置．
（5）單調(diào)性．
假設(shè)．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．
【三角函數(shù)常用結(jié)論】
1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
3、兩角和與差正切公式變形
；
．
4、降冪公式與升冪公式
；
．
5、其他常用變式
．
6、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論
（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山東濟南·三模）若，則（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2024·重慶·三模）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·三模）若，則（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·河北保定·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·山東青島·三模）為了得到 的圖象，只要把 的圖象上所有的點（ ）
A．向右平行移動 個單位長度B．向左平行移動 個單位長度
C．向右平行移動 個單位長度D．向左平行移動 個單位長度
8．（2024·天津濱海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點
（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．2
10．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·江西九江·三模）若，則（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是的一個單調(diào)增區(qū)間
B．是的一個對稱中心
C．在上值域為
D．將的圖象向右平移個單位，再向下平移一個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為
14．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則周期的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
16．（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減
B．將圖象上的所有點向左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱
C．在上有兩個零點
D．
17．（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點中心對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．B．是偶函數(shù)
C．是函數(shù)的一個極值點D．在單調(diào)遞增
18．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為2
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．不等式的解集為
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
19．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．方程的解為，
20．（2024·河南·三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（ ）
A．的圖象可由的圖象平移得到
B．在上單調(diào)遞增
C．圖象的一個對稱中心為
D．圖象的一條對稱軸為直線
21．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．若，則
D．將的圖象往右平移1個單位長度后可以得到函數(shù)的圖象
22．（2024·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)；B．是周期為的周期函數(shù)；
C．在上單調(diào)遞增；D．的最小值為.
23．（2024·安徽蕪湖·三模）已知，下面結(jié)論正確的是（ ）
A．時，在上單調(diào)遞增
B．若，且的最小值為，則
C．若在上恰有7個零點，則的取值范圍是
D．存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱
三、填空題
24．（2024·全國·二模）已知，則 .
25．（2024·安徽合肥·三模）已知，則 .
26．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知，，則 ．
27．（2024·黑龍江·三模）已知，則 .
28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，則 ．
29．（2024·北京·三模）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則 ；若圓面恰好覆蓋圖象的最高點或最低點共3個，則的取值范圍是 .
30．（2024·河北衡水·三模）已知是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個對稱中心，則的取值范圍為 ．
31．（2024·安徽合肥·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點和兩個最大值點，則的取值范圍是 ．
32．（2024·江西九江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，則的取值范圍是 .
33．（2024·湖北荊州·三模）設(shè)，，，若滿足條件的與存在且唯一，則 ，
參考答案與詳細解析
一：考情分析
二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。Ⅰ卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，Ⅱ卷則是考查了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。
三：試題精講
一、單選題
1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.
【詳解】因為，所以，
而，所以，
故即，
從而，故，
故選：A.
2．（2024新高考Ⅰ卷·7）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解
【詳解】因為函數(shù)的的最小正周期為，
函數(shù)的最小正周期為，
所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，
在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.
故選：C
二、多選題
3．（2024新高考Ⅱ卷·9）對于函數(shù)和，下列說法正確的有（ ）
A．與有相同的零點B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期D．與的圖像有相同的對稱軸
【答案】BC
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.
【詳解】A選項，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，
顯然零點不同，A選項錯誤；
B選項，顯然，B選項正確；
C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；
D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.
故選：BC
三、填空題
4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【答案】
【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【詳解】法一：由題意得，
因為，，
則，，
又因為，
則，，則，
則，聯(lián)立 ，解得.
法二： 因為為第一象限角，為第三象限角，則,
，，
則

故答案為：.
高考真題練
一、單選題
1．（2022新高考Ⅰ卷·6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設(shè)β=0則sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換

所以
即
故選：C.
4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知為銳角，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
二、多選題
5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
三、填空題
6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

【答案】
【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．
【詳解】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因為，所以，即，．
所以，
所以或，
又因為，所以，．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
知識點總結(jié)
一、三角函數(shù)基本概念
1、弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
2、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數(shù)坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，
三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
記憶口訣 INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET ：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：．
（2）商數(shù)關(guān)系：；
三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
四、兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
五、二倍角公式
①；
②；
③；
六、降次（冪）公式
知識點四：半角公式
七、輔助角公式
（其中）．
八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
九、與的圖像與性質(zhì)
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設(shè)．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設(shè)．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點的位置．
（5）單調(diào)性．
假設(shè)．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．
【三角函數(shù)常用結(jié)論】
1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
3、兩角和與差正切公式變形
；
．
4、降冪公式與升冪公式
；
．
5、其他常用變式
．
6、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論
（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】展開并同時平方，結(jié)合二倍角的正弦公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】展開得，
兩邊同時平方有，
即，解得，
故選：B.
2．（2024·山東濟南·三模）若，則（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計算可得.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
故選：B
3．（2024·重慶·三模）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二倍角公式化簡和同角三角函數(shù)關(guān)系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.
【詳解】因為，所以，，
因為，
所以，
所以，
解得或舍，
則
故選：C
4．（2024·浙江·三模）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式展開，即可得到，再兩邊同除，最后結(jié)合兩角和的正切公式計算可得.
【詳解】因為，
所以，
即，
即，
兩邊同除可得，
所以.
故選：C
5．（2024·河北保定·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用切化弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系，解出，再結(jié)合二倍角公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，
解得或（舍去），
所以．
故選：B.
6．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.
【詳解】由，可得，
可得
則，
因為，所以與異號，可得為第二或第四象限，
當為第二象限角時，可得；
當為第四象限角時，可得.
故選：C.
7．（2024·山東青島·三模）為了得到 的圖象，只要把 的圖象上所有的點（ ）
A．向右平行移動 個單位長度B．向左平行移動 個單位長度
C．向右平行移動 個單位長度D．向左平行移動 個單位長度
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【詳解】，
由誘導(dǎo)公式可知：
又
則，即只需把圖象向右平移個單位.
故選：A
8．（2024·天津濱海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點
（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于（1），由，
所以不是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以（1）錯誤；
對于（2）中，由，
所以不是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以（2）錯誤；
對于（3）中，令，可得，
當時，可得；當時，可得；當時，可得；
當時，可得，所以在內(nèi)，函數(shù)有4個零點，所以（3）正確；
對于（4）中，由，可得，此時函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以（4）錯誤.
故選：A.
9．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】借助對已知化簡，可求出的值，再由可解.
【詳解】因為，即，
所以，
整理得，變形得，
所以.
故選：C
10．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由圖像以及題意求出的解析式，從而得，，進而依據(jù)它們的角的關(guān)系結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.
【詳解】由圖可知，由可知，
故，又由圖，
故由圖，①，
由圖，②，
又，結(jié)合①②可得，故，
所以.
故.
故選：D.
11．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.
【詳解】由得，即，
所以，
故選：D
12．（2024·江西九江·三模）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則原等式可化為，化簡后求出即可.
【詳解】令，則，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故選：C.
13．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是的一個單調(diào)增區(qū)間
B．是的一個對稱中心
C．在上值域為
D．將的圖象向右平移個單位，再向下平移一個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為
【答案】C
【分析】化簡函數(shù)由函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.
【詳解】由函數(shù)
，
對于A中，當，可得，此時函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以A錯誤；
對于B中，由，所以函數(shù)的一個對稱中心為，所以B不正確；
對于C中，由，可得，所以，
所以，即，所以C正確；
對于D中，將的圖象向右平移個單位，得到，
再向下平移一個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為，所以D錯誤.
故選：C.
14．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
又函數(shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，
所以，解得，
故選：D.
15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則周期的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點求出零點的表達式，結(jié)合已知條件，求出的最大值，從而可求周期的最小值．
【詳解】，
令得，所以，，
因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，
所以，只需且，解得，
令得，得，
因為，所以的取值范圍，
所以周期的最小值是，
故選：．
二、多選題
16．（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減
B．將圖象上的所有點向左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱
C．在上有兩個零點
D．
【答案】BCD
【分析】由可知的圖象關(guān)于對稱，可判斷AB；整體代入法求出函數(shù)零點即可判斷C；求出，結(jié)合周期可判斷D.
【詳解】對于A，因為，
所以的圖象關(guān)于對稱，所以在上不單調(diào)，A錯誤；
對于B，由上知，的圖象關(guān)于對稱，
所以的圖象向左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱，B正確；
對于C，由得函數(shù)的零點為，
令，解得，
所以，即在上有兩個零點，C正確；
對于D，因為，
，，
所以
因為的最小值周期，
所以，D正確.
故選：BCD
17．（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點中心對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．B．是偶函數(shù)
C．是函數(shù)的一個極值點D．在單調(diào)遞增
【答案】ABC
【分析】由最小正周期大于，關(guān)于點中心對稱，可知，對于，直接代入函數(shù)解析式求解即可；對于，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；對于，通過求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為，求得的值，并判斷左右兩端函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于，通過求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.
【詳解】因為的最小正周期大于，
所以，即，
又關(guān)于點中心對稱，
所以，
所以，因為，所以當時，，
所以，
對于，，故正確；
對于，，
由且是全體實數(shù)，所以是偶函數(shù)，故正確；
對于，，令得，，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極大值點，故正確；
對于， 由，，
得，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
當時，，
當時，，
顯然函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確.
故選：.
18．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為2
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．不等式的解集為
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解，對于B，由，可求出對稱軸方程判斷，對于C，由求解即可，對于D，先由求出的遞增區(qū)間，再由為函數(shù)增區(qū)間的子集可求出的取值范圍.
【詳解】對于A，的最大值為，故A錯誤；
對于B，令，得，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于C，不等式可化為，則，解得，
因此原不等式的解集為，故C正確；
對于D，由，，解得.
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得，故D正確.
故選：BCD
19．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．方程的解為，
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期及、、，進而求出解析式，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】對于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
對于B，由，所以，
因為，則，則，
因為，則，所以，故B正確；
對于C，，由，得，
而，即時，沒有意義，故C錯誤；
對于D，，則，
方程，得，
即，即，
所以或，因為，，
所以或，解得或，故D正確.
故選：ABD.
20．（2024·河南·三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（ ）
A．的圖象可由的圖象平移得到
B．在上單調(diào)遞增
C．圖象的一個對稱中心為
D．圖象的一條對稱軸為直線
【答案】BD
【分析】先由輔助角公式和周期公式計算得到，由圖象平移的性質(zhì)可得A錯誤；由整體代入結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；代入可得C錯誤；整體代入結(jié)合余弦函數(shù)對稱軸的性質(zhì)可得D正確；
【詳解】，
因為最小正周期為，所以，
所以，
A：由以上解析式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯誤；
B：當時，，
由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；
C：，故C錯誤；
D：當時，，此時為最小值，
所以圖象的一條對稱軸為直線，故D正確；
故選：BD.
21．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．若，則
D．將的圖象往右平移1個單位長度后可以得到函數(shù)的圖象
【答案】AD
【分析】對于A，利用周期公式直接計算判斷，對于B，將代入函數(shù)驗證，對于C，由求出，再將代入函數(shù)計算，對于D，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷.
【詳解】對于A，的最小正周期為正確.
對于B，因為，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，錯誤.
對于C，由，得，
所以，C錯誤.
對于D，將的圖象往右平移1個單位長度后可以得到函數(shù)的圖象，D正確.
故選：AD
22．（2024·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)；B．是周期為的周期函數(shù)；
C．在上單調(diào)遞增；D．的最小值為.
【答案】AD
【分析】利用偶函數(shù)的定義可判定A，利用周期的定義可判定B，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判定C，根據(jù)周期性及單調(diào)性可判定D.
【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，故A正確；
易知，故B錯誤；
當時，，
因為，所以在上單調(diào)遞減，
又單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故C錯誤；
易知，所以是周期為的周期函數(shù)，
當時，，
顯然時，時，
則的最小值為，故D正確.
故選：AD
23．（2024·安徽蕪湖·三模）已知，下面結(jié)論正確的是（ ）
A．時，在上單調(diào)遞增
B．若，且的最小值為，則
C．若在上恰有7個零點，則的取值范圍是
D．存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱
【答案】CD
【分析】利用把相位看成一個整體，通過正弦函數(shù)的性質(zhì)，可以做出各選項的判斷.
【詳解】對于A，，
當時，，
而在不單調(diào)，故A是錯誤的；
對于B，，由的最小值為，
則函數(shù)周期為，所以，解得，故B是錯誤的；
對于C，在上恰有7個零點，結(jié)合正弦曲線可知，
，解得：，故C是正確的；
對于D，由的圖象向右平移個單位長度后得到：
，由它關(guān)于軸對稱，可知：，
解得：，當時，，故D是正確的；
故選：CD.
三、填空題
24．（2024·全國·二模）已知，則 .
【答案】/0.28
【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式計算即可.
【詳解】，
得，
解得或（舍）
所以.
故答案為：.
25．（2024·安徽合肥·三模）已知，則 .
【答案】
【分析】利用兩角和差的正切公式計算，再使用二倍角的正切公式即可.
【詳解】由，
且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案為：.
26．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
所以.
故答案為：.
27．（2024·黑龍江·三模）已知，則 .
【答案】/
【分析】已知，由兩角和的余弦公式求得，再由兩角和的余弦公式求，倍角公式求.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故答案為：.
28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，則 ．
【答案】3
【分析】先結(jié)合二倍角的正切與兩角和的正切公式及角的取值范圍，得到，再利用倍角公式把轉(zhuǎn)化為齊次式求解.
【詳解】由，得，
即，又，所以，
從而．
故答案為：3
29．（2024·北京·三模）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則 ；若圓面恰好覆蓋圖象的最高點或最低點共3個，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性分析可知，即可得結(jié)果；結(jié)合對稱性可知圓面在y軸右側(cè)僅覆蓋1個圖象的最高點或最低點，結(jié)合周期性列式求解.
【詳解】因為是偶函數(shù)，則，
且，所以；
可得，設(shè)的最小正周期為，
因為和均關(guān)于y軸對稱，
可知圓面在y軸右側(cè)僅覆蓋圖象的1個最低點，
對于，令，解得（不妨只考慮y軸右側(cè)，舍負）；
可得，解得，
且，則，解得，
所以的取值范圍是，
故答案為：；.
30．（2024·河北衡水·三模）已知是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個對稱中心，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸求出，求出函數(shù)在原點附近的對稱中心，由題意列不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知是函數(shù)的一條對稱軸，
故，解得，，因為，故，
故，令，解得，
原點附近的6個對稱中心分別為，
若3個對稱中心恰好是，
則，則t不存在，不合題意；
若3個對稱中心恰好是，
則，則；
故當時，符合題意．
故t的取值范圍為，
故答案為：
31．（2024·安徽合肥·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點和兩個最大值點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先將化簡為，再根據(jù)在區(qū)間上只有一個零點和兩個最大值點，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的處理辦法求出的取值范圍.
【詳解】
，
由，，得，
時，，最大時，也最大，
若在區(qū)間上只有一個零點和兩個最大值點，
則只需，解得．
故答案為：.
32．（2024·江西九江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】令，然后由的范圍求出的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的取值范圍
【詳解】令，，，
問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，
，解得.
故答案為：
33．（2024·湖北荊州·三模）設(shè)，，，若滿足條件的與存在且唯一，則 ， .
【答案】 1
【分析】由得到，再結(jié)合，利用，得到，，從而，再由滿足條件的與存在且唯一，得到唯一，從而，求得m即可.
【詳解】解：由，得，即，
因為，，所以，，
又，所以，
從而，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，
因為滿足條件的與存在且唯一，所以唯一，
所以，所以，經(jīng)檢驗符合題意，
所以，
則，
解得，
所以.
故答案為：，1
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是結(jié)合已知得出，求出，由此即可順利得解
命題解讀
考向
考查統(tǒng)計
高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。重點是三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這需要同學(xué)熟練運用公式，進一步提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
2022·新高考Ⅰ卷，6
2023·新高考Ⅰ卷，15
2024·新高考Ⅰ卷，7
2022·新高考Ⅱ卷，9
2023·新高考Ⅱ卷，16
2024·新高考Ⅱ卷，9
三角恒等變換
2023·新高考Ⅰ卷，8
2024·新高考Ⅰ卷，4
2022·新高考Ⅱ卷，6
2023·新高考Ⅱ卷，7
2024·新高考Ⅱ卷，13
三角函數(shù)
定義域
第一象限符號
第二象限符號
第三象限符號
第四象限符號
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口訣
函數(shù)名不變，符號看象限
函數(shù)名改變，符號看象限
函數(shù)
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無
對稱中心
對稱軸方程
無
命題解讀
考向
考查統(tǒng)計
高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。重點是三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這需要同學(xué)熟練運用公式，進一步提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
2022·新高考Ⅰ卷，6
2023·新高考Ⅰ卷，15
2024·新高考Ⅰ卷，7
2022·新高考Ⅱ卷，9
2023·新高考Ⅱ卷，16
2024·新高考Ⅱ卷，9
三角恒等變換
2023·新高考Ⅰ卷，8
2024·新高考Ⅰ卷，4
2022·新高考Ⅱ卷，6
2023·新高考Ⅱ卷，7
2024·新高考Ⅱ卷，13
三角函數(shù)
定義域
第一象限符號
第二象限符號
第三象限符號
第四象限符號
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口訣
函數(shù)名不變，符號看象限
函數(shù)名改變，符號看象限
函數(shù)
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無
對稱中心
對稱軸方程
無

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