目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17969" 題型01 加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理綜合 PAGEREF _Tc17969 \h 1
\l "_Tc17231" 題型02 排隊(duì)問題 PAGEREF _Tc17231 \h 2
\l "_Tc3602" 題型03涂色問題 PAGEREF _Tc3602 \h 3
\l "_Tc26404" 題型04分組分配問題 PAGEREF _Tc26404 \h 4
\l "_Tc28876" 題型05 二項(xiàng)展開式第項(xiàng) PAGEREF _Tc28876 \h 5
\l "_Tc4714" 題型06求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) PAGEREF _Tc4714 \h 5
\l "_Tc14908" 題型07二項(xiàng)式系數(shù)和 PAGEREF _Tc14908 \h 6
\l "_Tc889" 題型08 求指定項(xiàng)的系數(shù) PAGEREF _Tc889 \h 7
\l "_Tc29083" 題型09 由系數(shù)確定參數(shù) PAGEREF _Tc29083 \h 7
\l "_Tc26073" 題型10 系數(shù)和 PAGEREF _Tc26073 \h 8
\l "_Tc14497" 題型11系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng) PAGEREF _Tc14497 \h 8
\l "_Tc12144" 題型12兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式的系數(shù)問題 PAGEREF _Tc12144 \h 9
\l "_Tc17539" 題型13三項(xiàng)展開式的系數(shù)問題 PAGEREF _Tc17539 \h 9
題型01 加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理綜合
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京東城·二模）某社區(qū)計(jì)劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計(jì)香囊：在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【典例1-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個(gè)單位（每個(gè)小正方形的一條邊長為一個(gè)單位），要走到B點(diǎn)，不同的走法共有 種．
【變式1-1】（2023·北京·模擬預(yù)測）“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，某單位龍舟隊(duì)欲參加端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）．
A．26種B．31種C．36種D．37種
【變式1-2】（2023·北京·模擬預(yù)測）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動，兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（ ）種．
A．20B．40C．60D．80
【變式1-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）袋子里有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機(jī)抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是 .
題型02 排隊(duì)問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京西城·二模）一組學(xué)生站成一排.若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·浙江臺州·一模）臺州某校為陽光體育設(shè)計(jì)了一種課間活動，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機(jī)地站到44的方格場地中（每人站一格，每格至多一人），則兩個(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·北京·模擬預(yù)測）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．32種D．40種
【變式1-2】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）種.
A．B．C．D．
【變式1-3】（2024·廣東·模擬預(yù)測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．6種B．12種C．24種D．48種
題型03涂色問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三上·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個(gè)側(cè)面有各不相同的圖案）時(shí)，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個(gè)面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（ ）
A．216B．360C．720D．1080
【典例1-2】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，給六個(gè)點(diǎn)涂色，現(xiàn)有五種不同的顏色可供選用，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（ ）種．
A．1440B．1920C．2160D．3360
【變式1-1】（23-24高二下·安徽池州·期中）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）

A．120B．26
C．340D．420
【變式1-2】（23-24高二下·江蘇宿遷·期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的五個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色．則不同的涂色方法共有 種．
【變式1-3】（23-24高二下·廣西河池·階段練習(xí)）現(xiàn)有5種不同的農(nóng)作物可供下圖中的4塊地種植，每一塊地種一種農(nóng)作物，且相鄰的兩塊地種的農(nóng)作物不能相同，若最多使用3種農(nóng)作物，則不同的種植方法數(shù)為 .
題型04分組分配問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高二下·北京豐臺）2023年5月18日至19日，首屆中國—中亞峰會在陜西西安成功舉行.峰會期間，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)承擔(dān)A，B，C，D共4項(xiàng)翻譯工作，每名同學(xué)需承擔(dān)1項(xiàng)翻譯工作，每項(xiàng)翻譯工作至少需要1名同學(xué)，則不同的安排方法有（ ）
A．480種B．240種C．120種D．4種
【典例1-2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個(gè)會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個(gè)會議廳至少1人．每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會議廳的不同安排方法共有 種．（用數(shù)字作答）
【變式1-1】（23-24高二下·北京）某學(xué)校需要從3名男生和2名女生中選出4人，到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參加活動，其中甲社區(qū)需要選派2人，且至少有1名是女生；乙社區(qū)和丙社區(qū)各需要選派1人．則不同的選派方法的種數(shù)是（ ）
A．18B．21C．36D．42
【變式1-2】（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員1人組成3人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有 種不同的選法.（用數(shù)字作答）
【變式1-3】（23-24高二上·北京）把6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每個(gè)人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法共有 種．（用數(shù)字作答）
題型05 二項(xiàng)展開式第項(xiàng)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）在的展開式中，第四項(xiàng)為（ ）
A．160B．C．D．
【典例1-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）在的展開式中，按的升冪排列的第三項(xiàng)為 .
【變式1-1】（2023·西藏拉薩·一模）二項(xiàng)式的展開式中的第3項(xiàng)為（ ）
A．160B．C．D．
【變式1-2】（2024·陜西寶雞·一模）展開式中的第四項(xiàng)為（ ）
A．B．C．240D．
【變式1-3】（2023·北京·模擬預(yù)測）在的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)為 ．
題型06求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高三上·貴州·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）
A．8B．C．28D．
【典例1-2】（2023高二下·北京房山·期中）的展開式中，的系數(shù)是 ；第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是 ．
【變式1-1】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則（ ）
A．展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為B．展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C．展開式的常數(shù)項(xiàng)為D．展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大
【變式1-2】（2024·北京·三模）在展開式中，常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【變式1-3】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）
A．56B．-56C．70D．-70
題型07二項(xiàng)式系數(shù)和
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．240C．60D．
【典例1-2】（2023·北京朝陽·二模）已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則 ，展開式中的系數(shù)為 .
【變式1-1】（2024·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則 ，此時(shí)的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【變式1-2】（2023·北京密云·三模）已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則二項(xiàng)式系數(shù)之和為 .
【變式1-3】（2023·北京海淀·模擬預(yù)測）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 ．
題型08 求指定項(xiàng)的系數(shù)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．240C．60D．
【典例1-2】（2024·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則 ，此時(shí)的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【變式1-1】（2024·北京通州·二模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．60B．120C．180D．240
【變式1-2】（2024·北京·模擬預(yù)測）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．20C．D．40
【變式1-3】（2024·北京門頭溝·一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 (用數(shù)字作答)
題型09 由系數(shù)確定參數(shù)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京海淀·二模）若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為32，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例1-2】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為12，則的值為 ．
【變式1-1】（2022·北京房山·一模）若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－20，則a=（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
【變式1-2】（2023·北京東城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù) .
【變式1-3】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）若的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為10，則 .
題型10 系數(shù)和
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京西城·二模）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·北京大興·三模）若，則 .
【變式1-1】（2023·北京·模擬預(yù)測）設(shè)，則（ ）
A． B． C．1D．2
【變式1-2】（2023·北京海淀·一模）若，則（ ）
A．B．1C．15D．16
【變式1-3】（2023·北京房山·二模）若，則 ．
題型11系數(shù)最大（小）的項(xiàng)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（ ）項(xiàng)
A．2B．3C．4D．5
【典例1-2】（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)相同.則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 .
【變式1-1】（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（ ）項(xiàng)
A．2B．3C．4D．2或3
【變式1-2】（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 .
【變式1-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，系數(shù)的最大值為，則的值
題型12兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式的系數(shù)問題
【典例1-1】（2023·北京·模擬預(yù)測）展開式中的系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·北京·模擬預(yù)測）已知，則 ．
【變式1-1】（23-24高二下·北京通州·期中）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．10D．40
【變式1-2】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)是 .
題型13三項(xiàng)展開式的系數(shù)問題
【典例1-1】（2024·山西太原·三模）的展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．-20B．20C．-30D．30
【典例1-2】（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .
【變式1-1】（2024·湖南長沙·三模）在的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．168B．C．1512D．
【變式1-2】（2024·山東·二模）展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
一、單選題
1．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）一個(gè)三位數(shù)的百位?十位?個(gè)位上的數(shù)字依次記為，當(dāng)中有兩個(gè)數(shù)字的和等于剩下的一個(gè)數(shù)字時(shí)，則稱這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”（如121，213等）．現(xiàn)從這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．24B．27C．30D．33
2．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知若，則（ ）
A．5B．8C．9D．14
3．（2024·云南·一模）在自然界廣泛存在且較為常見的元素包含氫（H）、氧（O）、鈉（N）、鎂（Mg）、鋁（Al）、硅（Si）、磷（P）、硫（S）、氯（C1）、鉀（K）這10種，現(xiàn)從這10種元素中隨機(jī)選取3種，若選取的3種元素中至少包含1種金屬元素，則不同選取方法種數(shù)是（ ）
A．60B．85C．100D．120
4．（24-25高三上·貴州·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）
A．8B．C．28D．
5．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．4C．D．32
6．（24-25高三上·河北邯鄲·開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運(yùn)會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個(gè)人參加當(dāng)天A，B，C三個(gè)比賽場地的現(xiàn)場報(bào)道，且每個(gè)場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（ ）
A．32B．24C．18D．12
7．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．147B．C．63D．
8．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．60B．C．120D．
9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．112B．56C．D．
二、填空題
10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)是 .
11．（2023·四川達(dá)州·一模）的展開式中的系數(shù)為，則的值為 ．
12．（2024·上海崇明·一模）的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為 ．
13．（2024·甘肅白銀·一模）在平面圖形中，與某點(diǎn)連接的線段的數(shù)量，稱為該點(diǎn)的度數(shù).在平面內(nèi)有共7個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)均不共線），若將這7個(gè)點(diǎn)用21條線段兩兩相連，則的度數(shù)為 ；若將這7個(gè)點(diǎn)用17條線段兩兩相連，且這7個(gè)點(diǎn)的度數(shù)均大于2，則不同的圖形的數(shù)量為 .
14．（2024·浙江金華·一模）從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任選三個(gè)數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)為相鄰整數(shù)的選法有 種
15．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為： （結(jié)果用復(fù)數(shù)表示）.
16．（2023·河南周口·模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個(gè)會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個(gè)會議廳至少1人．每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會議廳的不同安排方法共有 種．（用數(shù)字作答）
1、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)；
2、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。
1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法
對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。
2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法
對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個(gè)元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進(jìn)行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列問題的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當(dāng)以元素為主或以位置為主
涂色問題涉及到顏色種類數(shù)；
相鄰區(qū)域不能同色；
（3）常采用分類討論法，從選定兩個(gè)不相鄰區(qū)域開始，討論這兩塊區(qū)域同色和不同色。
先分組，后分配；
分組包含①平均分②部分平均分③不平均分
（3）分組后再分配
對于，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：
對于，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：
（1）展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：
；
（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：
對于，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：
對于，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：
對于，系數(shù)和就是令（如果還有，那再令）
設(shè)項(xiàng)系數(shù)最大則：
設(shè)項(xiàng)系數(shù)最小則：

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