專題09 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(10類題型全歸納）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型歸納與變式演練（北京專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24972" 題型01 兩條直線的平行與垂直關(guān)系 PAGEREF _Tc24972 \h 1
\l "_Tc21519" 題型02點到直線距離公式應(yīng)用 PAGEREF _Tc21519 \h 3
\l "_Tc4814" 題型03圓的方程 PAGEREF _Tc4814 \h 6
\l "_Tc21931" 題型04圓上點到定點（定直線）距離最值問題 PAGEREF _Tc21931 \h 9
\l "_Tc2553" 題型05直線與圓的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc2553 \h 12
\l "_Tc18383" 題型06圓的切線 PAGEREF _Tc18383 \h 15
\l "_Tc18877" 題型07 圓的弦長 PAGEREF _Tc18877 \h 18
\l "_Tc28300" 題型08相交圓的公共弦長 PAGEREF _Tc28300 \h 21
\l "_Tc10630" 題型09兩圓的公共弦方程 PAGEREF _Tc10630 \h 23
\l "_Tc16599" 題型10 圓的公切線問題 PAGEREF _Tc16599 \h 26
題型01 兩條直線的平行與垂直關(guān)系
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知直線與直線，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【知識點】已知直線垂直求參數(shù)、既不充分也不必要條件
【分析】由，計算得或，即可判斷.
【詳解】因為，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
【典例1-2】（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直線：和直線：，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷命題的充分不必要條件、已知直線平行求參數(shù)
【分析】根據(jù)直線平行求得或，再結(jié)合包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】若，則，解得或，
若，則直線：、直線：，可知；
若，則直線：、直線：，可知；
綜上所述：或.
因為是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-1】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知直線：，：，若“”是“”的充要條件，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【知識點】已知直線垂直求參數(shù)
【分析】由兩直線垂直的充要條件結(jié)合且即可求解.
【詳解】由題意可知若，則，
又因為即，故，即.
故選：B.
【變式1-2】（23-24高二上·寧夏銀川·期中）“”是“直線：與直線：垂直”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【知識點】充要條件的證明、已知直線垂直求參數(shù)
【分析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】因為直線：與直線：垂直，
所以，解得，
所以“”是“直線：與直線：垂直”的充要條件.
故選：C
題型02點到直線距離公式應(yīng)用
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，則當(dāng) 變化時，的最大值與最小值之差為（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【知識點】直線過定點問題、求點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值
【分析】由直線方程得到其過定點，而可看成單位圓上的一點，故可將求點到直線之距轉(zhuǎn)化為求圓心到直線之距，要使距離最大，需使直線，此時最大距離即圓心到點的距離再加上半徑即得.
【詳解】由直線整理得，可知直線經(jīng)過定點，
而由知，點可看成圓上的動點，
于是求點到直線的距離最值可通過求圓心到直線的距離得到.

如圖知當(dāng)直線與圓相交時，到直線的距離最小值為，
要使點到直線距離最大，需使圓心到直線距離最大，
又因直線過定點，故當(dāng)且僅當(dāng)時距離最大，（若直線與不垂直，則過點作直線的垂線段長必定比短）
此時，故點到直線距離的最大值為，即的最大值與最小值之差為.
故選：D.
【典例1-2】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）已知點，點滿足，則點到直線的距離的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】求點到直線的距離、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）
【分析】由條件可得點是圓上的一點，因此點到直線的距離的最大值為,只需用點到直線的距離求出的最大值即可.
【詳解】設(shè)點，
因為,
所以,
所以點是在以為圓心，半徑為1的圓上，
因為點到直線的距離,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以點到直線的距離的最大值為.
故選：C.
【變式1-1】（23-24高二上·福建三明·期末）已知，，若直線上存在點P使得，則實數(shù)k的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】求點到直線的距離、由圓心（或半徑）求圓的方程、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】根據(jù)題意分析可得直線與圓有公共點（公共點不能是、），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析運算即可.
【詳解】因為直線上存在點使得，
所以點在以，為直徑的圓上，但點不能是、，
由，為直徑的圓，可得圓心為,半徑為，即圓,
要使得，只需直線與圓有公共點，但公共點不能是,，
因為圓心到直線的距離為，
所以，解得，
當(dāng)直線與圓有公共點為,時，則直線為軸，即.
綜上所述：實數(shù)k的取值范圍為.
故選:B.
【變式1-2】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）設(shè)直線，圓，若在直線上存在一點，使得過的圓C的切線（為切點）滿足，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】求點到直線的距離、軌跡問題——圓、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】連接，結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點在以點為圓心，為半徑的圓上，再由題意可知該圓與直線有公共點，利用點到直線的距離公式列不等式，即可求得答案.
【詳解】連接，則.圓的圓心為2,0，半徑為；
又，所以四邊形為正方形，所以，
于是點在以點為圓心，為半徑的圓上.
則該圓與直線有公共點，
所以圓心到直線的距離，解得.
故選：C
【變式1-3】（23-24高二上·北京平谷·期末）圓心為，且與直線相切的圓的半徑為（）
A．B．2C．8D．
【答案】A
【知識點】求點到直線的距離
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意知，圓心為，且與直線相切，
則圓的半徑為.
故選：A.
題型03圓的方程
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高二上·北京順義·期中）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程、求點關(guān)于直線的對稱點
【分析】求圓心關(guān)于直線的對稱點，利用對稱前后半徑相等可得結(jié)果.
【詳解】
圓的圓心為，半徑.
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，故，圓方程為.
故選：B.
【典例1-2】（2024·北京海淀·二模）已知雙曲線，則的離心率為；以的一個焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為 .（寫出一個即可）
【答案】 / 或（）
【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】根據(jù)離心率的定義求解離心率，再計算焦點到漸近線的距離，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.
【詳解】的離心率為，又漸近線為，即，
故焦點與到的距離均為，
則以的一個焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為或，
故答案為：；或（）
【變式1-1】（2024·北京西城·二模）已知圓經(jīng)過點和，且與直線相切，則圓的方程為．
【答案】
【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程、點與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】設(shè)圓的方程為，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】設(shè)圓的方程為，
則由題意可得，解得，
所以圓的方程為
故答案為：
【變式1-2】（23-24高二上·北京·期末）已知點和點，直角以BC為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程 .
【答案】
【知識點】求平面軌跡方程、軌跡問題——圓
【分析】根據(jù)圓的定義可以求解，或直接設(shè)，由求解.
【詳解】方法一：設(shè)點，
，，，，
由題意可知：，
，，
整理得：，
三點不共線，
，，應(yīng)去除.
直角頂點的軌跡方程為：.
方法二：設(shè)BC中點為，則，即A在以D為圓心，
為半徑的圓上(不能和B、C重合)，
故A的軌跡方程為.
【變式1-3】（23-24高二上·北京東城·期中）設(shè)為橢圓上一動點，，分別為左、右焦點，延長至點，使得，則動點的軌跡方程為．
【答案】
【知識點】軌跡問題——圓、橢圓定義及辨析、求橢圓的焦點、焦距
【分析】由橢圓定義可得，，從而，進(jìn)而的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，由此能求出動點的軌跡方程．
【詳解】為橢圓上一動點，，分別為左、右焦點，
延長至點，使得，
，，
，
的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
動點的軌跡方程為．
故答案為：
題型04圓上點到定點（定直線）距離最值問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京房山·一模）在中，，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】向量加法法則的幾何應(yīng)用、定點到圓上點的最值（范圍）
【分析】由已知求出點的軌跡為圓，再由平面向量的平行四邊形法則得出，的最大值即圓心到定點的距離加上半徑，代入化簡求值即可．
【詳解】由題意，可得，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
取的中點，則，
所以，
故選：D
【典例1-2】（23-24高二上·北京西城·期末）已知直線，為圓上一動點，則點到直線的距離的最大值為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【知識點】圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）、求點到直線的距離
【分析】由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，即可得圓心到直線的距離的最大值，加上半徑即為點到直線的距離的最大值.
【詳解】由，即，
即圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
故圓心到直線的距離的最大值為，
則點到直線的距離的最大值為.
故選：D.
【變式1-1】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）設(shè)點，動直線l：，作于點M，則點M到坐標(biāo)原點O距離的最小值為（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【知識點】圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）、軌跡問題——圓
【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得點M的軌跡是以為圓心，半徑的圓，即可得.
【詳解】由以及可得直線的方程為，
聯(lián)立，消去整理可得；
所以可知點M的軌跡是以為圓心，半徑的圓；
因此.
故選：C
【變式1-2】（2023·北京昌平·二模）已知點在直線上，點，則的最小值為（）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【知識點】圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）
【分析】根據(jù)的軌跡為圓，利用圓的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離得解.
【詳解】設(shè)，
由可知，
所以，即在圓心為，半徑為2的圓上的動點，
圓心到直線的距離，
所以，
故選：B
【變式1-3】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知，若點P滿足，則點P到直線的距離的最大值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知識點】直線過定點問題、軌跡問題——圓、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）
【分析】先確定的軌跡為以線段為直線的圓以及直線過的定點，再根據(jù)圓的性質(zhì)特點求最值．
【詳解】因為，所以點的軌跡為以線段為直線的圓，
因為，所以圓心為，半徑為1，
又直線，其過定點，
故點到直線的距離的最大值為．
故選：C．
題型05直線與圓的位置關(guān)系
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京海淀·三模）已知直線和圓，則“”是“存在唯一k使得直線l與相切”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】判斷命題的充分不必要條件、直線過定點問題、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、過圓上一點的圓的切線方程
【分析】先由，點到直線距離公式列出方程，求出此時，充分性成立；求出所過定點，再由存在唯一k使得直線l與相切”，得到或定點在圓上，得到方程，求出相應(yīng)的答案，必要性不成立.
【詳解】時，到的距離為，
故，解得，
滿足存在唯一k使得直線l與相切”，充分性成立，
經(jīng)過定點M1,1，
若，，若，此時直線，
直線與相切，另一條切線斜率不存在，
故滿足存在唯一k使得直線l與相切”，
當(dāng)M1,1在上，滿足存在唯一k使得直線l與相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直線l與相切”的充分不必要條件.
故選：A
【典例1-2】（2024·北京朝陽·二模）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的一個取值為 .
【答案】1（答案不唯一）
【知識點】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】畫出圖，由圖可知有兩個交點的時候的臨界狀態(tài)為相切與過點，求出此時直線的斜率，則實數(shù)的取值范圍即可求解.
【詳解】
直線過定點，
曲線，即，表示半圓，
如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，
所以（舍去）或，
由于直線與曲線有兩個不同的交點，
當(dāng)直線過時，斜率最小為，
所以由圖可知，實數(shù)的取值范圍為：，
故實數(shù)的一個取值為1，
故答案為：1（答案不唯一）.
【變式1-1】（2024·北京大興·三模）已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【知識點】判斷命題的必要不充分條件、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，當(dāng)，直線與圓有公共點時，恒成立，從而得到，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.
【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)，直線與圓有公共點時，恒成立，即恒成立，
則且，解得，即或（舍去）
所以“，直線與圓有公共點”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
【變式1-2】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）若圓與直線只有一個公共點，則的值為（）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【知識點】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、已知切線求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件可知直線是已知圓的切線，由點到直線距離公式求解即得.
【詳解】因圓與直線只有一個公共點，
則直線與圓切線，圓心到該直線距離為半徑1，
即，而，則有，
所以的值為2.
故選：C
【變式1-3】（24-25高二上·北京·期中）直線與圓的位置關(guān)系是．
【答案】相離
【知識點】判斷直線與圓的位置關(guān)系
【分析】確定圓心和半徑，應(yīng)用點線距離公式求圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可得答案.
【詳解】由的圓心為，半徑為1，
圓心到的距離，
所以直線與圓相離.
故答案為：相離
題型06圓的切線
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京通州·三模）過直線上的一點作圓的兩條切線，，切點分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【知識點】求點到直線的距離、過圓外一點的圓的切線方程、切線長
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點的連線垂直于直線，利用這一關(guān)系即可得到切線的長.
【詳解】如圖所示，圓心為，連接，

因為直線，關(guān)于對稱，所以垂直于直線，
故，而，
所以.
故選：C
【典例1-2】（2023·北京·模擬預(yù)測）經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為．
【答案】
【知識點】過圓上一點的圓的切線方程
【分析】根據(jù)直線與圓相切，由圓心到直線的距離相等，分直線的斜率不存在和存在討論求解.
【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，
因為直線與圓相切，
所以圓心到直線的距離相等，即，
化簡得，
解得，，
綜上：直線方程為：，
故答案為：
【變式1-1】（2023·北京東城·二模）已知點在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】過圓上一點的圓的切線方程
【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由斜率與傾斜角的關(guān)系求解.
【詳解】圓心為，所以,所以過的切線的斜率為，
設(shè)傾斜角為，則，
由于，故，
故選：D
【變式1-2】（2023·北京門頭溝·一模）若點是圓上的任一點，直線與軸、軸分別相交于、兩點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】已知切線求參數(shù)
【分析】作出圖形，分析可知當(dāng)直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.
【詳解】如下圖所示：
直線的斜率為，傾斜角為，故，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
易知直線交軸于點，所以，，
由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，
由圓的幾何性質(zhì)可知，且，則，
故.
故選：A.
【變式1-3】（2022·北京朝陽·二模）過點作圓的切線，則切線方程為（）
A．B．C．D．或
【答案】C
【知識點】過圓上一點的圓的切線方程
【分析】討論直線斜率，由相切關(guān)系及點線距離公式求斜率，進(jìn)而寫出切線方程.
【詳解】由圓心為，半徑為，
斜率存在時，設(shè)切線為，則，可得，
所以，即，
斜率不存在時，顯然不與圓相切；
綜上，切線方程為.
故選：C
題型07 圓的弦長
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京朝陽·一模）已知直線和圓相交于A，B兩點.若，則（）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【知識點】已知圓的弦長求方程或參數(shù)
【分析】借助點到直線的距離公式與垂徑定理計算即可得.
【詳解】圓的圓心為：，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
由垂徑定理可得.
故選：D.
【典例1-2】（2024·北京海淀·一模）已知，線段是過點的弦，則的最小值為 .
【答案】
【知識點】圓的弦長與中點弦
【分析】借助直徑與弦垂直時，有最小，計算即可得.
【詳解】由，故點在圓的內(nèi)部，
且該圓圓心為，半徑為，
設(shè)圓心到直線的距離為，
由垂徑定理可得，即，
故當(dāng)取最大值時，有最小值，
又，
故.
故答案為：.
【變式1-1】（2023·北京房山·一模）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【知識點】圓的弦長與中點弦、判斷點與圓的位置關(guān)系
【分析】先求出圓心和半徑，以及直線的定點，利用圓的幾何特征可得到當(dāng)時，最小
【詳解】由圓的方程，可知圓心，半徑，
直線過定點，
因為，則定點在圓內(nèi)，
則點和圓心連線的長度為，
當(dāng)圓心到直線距離最大時，弦長最小，此時，
由圓的弦長公式可得，
故選：C
【變式1-2】（2024·北京·三模）已知雙曲線．則的離心率是；若的一條漸近線與圓交于，兩點，則．
【答案】
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、已知方程求雙曲線的漸近線、圓的弦長與中點弦
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，求得雙曲線的離心率和漸近線方程，再利用圓的弦長公式，即可求解.
【詳解】由雙曲線，可得，則，
所以雙曲線的離心率為；
又由雙曲線的其中一條漸近線方程為，即，
因為圓的圓心為，半徑，
所以圓心到漸近線的距離為，
由圓的弦長公式，可得.
故答案為：；.
【變式1-3】（2024·北京西城·三模）若直線與交于，兩點，則面積的最大值為，寫出滿足“面積最大”的的一個值 .
【答案】 2 1（均可）
【知識點】基本不等式求積的最大值、圓的弦長與中點弦、圓內(nèi)接三角形的面積
【分析】求出圓心到直線的距離，則，再由基本不等式求出面積最大值，以及此時的值.
【詳解】直線，則，令，解得，
所以直線恒過點，
的圓心為，半徑，
顯然點在上，
圓心到直線的距離，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
即，解得或.
故答案為：；（均可）
題型08相交圓的公共弦長
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2023·重慶·三模）過直線上任一點P作直線PA，PB與圓相切，A，B為切點，則的最小值為．
【答案】
【知識點】由圓的一般方程確定圓心和半徑、兩圓的公共弦長、求點到直線的距離
【分析】求出圓的圓心，半徑.然后根據(jù)已知可推得，四點共圓，進(jìn)而得出是兩圓的公共弦，根據(jù)四邊形的面積，即可推得.然后求出的最小值，即可得出答案.
【詳解】
由已知可得，圓心，半徑.
因為為切線，所以，
所以，四點共圓，過圓心，
所以，是圓與圓的公共弦，所以，
且.
設(shè)四邊形面積為，則.
又，
所以，.
顯然，當(dāng)增大時，也增大，
所以，當(dāng)最小時，有最小值.
當(dāng)時，最小，，此時.
故答案為：.
【典例1-2】（2024·天津河北·二模）圓和圓的公共弦的長為．
【答案】
【知識點】兩圓的公共弦長、相交圓的公共弦方程
【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再兩圓方程作差即可得出公共弦方程，再利用點到直線的距離公式及垂徑定理、勾股定理計算可得；
【詳解】解：由圓①，即，所以圓心，半徑；
又圓②，
①②得，即公共弦方程為，
圓心到直線的距離,
所以公共弦長為；
故答案為：
【變式1-1】（2023·湖南邵陽·一模）已知圓與圓相交于兩點，則公共弦所在的直線方程為， .
【答案】； 2
【知識點】兩圓的公共弦長、相交圓的公共弦方程
【分析】先求出公共弦方程，再利用幾何法求弦長.
【詳解】由圓與圓，可得公共弦所在的直線方程為：，即.
因為圓的圓心，半徑為，
所以圓心到直線的距離為1，所以.
故答案為：；2.
【變式1-2】（23-24高二上·河南·期中）圓與圓的交點為A，B，則弦AB的長為．
【答案】
【知識點】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化、相交圓的公共弦方程、兩圓的公共弦長
【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)的圓心在公共弦上，從而得到弦AB的長為圓的直徑，求出公共弦長.
【詳解】圓與圓聯(lián)立可得：
公共弦的方程為，
變形為，
故的圓心為，半徑為，
而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，
故弦AB的長為．
故答案為：.
【變式1-3】（2024·山東威?！と＃﹫A與圓的公共弦長為．
【答案】
【知識點】兩圓的公共弦長
【分析】先求兩圓公共弦方程，再利用弦心距，弦長，半徑之間的關(guān)系求解
【詳解】設(shè)圓：與圓：交于，兩點
把兩圓方程相減，化簡得
即：
圓心到直線的距離，又
而，所以
故答案為：
題型09兩圓的公共弦方程
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知是圓上的動點，點滿足，記點的軌跡為，若圓與軌跡的公共弦方程為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】軌跡問題——圓、相交圓的公共弦方程
【分析】利用相關(guān)點法求得圓的軌跡方程，進(jìn)而得到兩圓的公共弦的方程，利用待定系數(shù)法得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.
【詳解】因為點在圓上的動點，點滿足，
設(shè)，，則，
所以，即，
代入圓的方程，可得，即，
可得兩圓的公共弦的方程為，即，
又因為兩圓的公共弦的方程為，可得，解得.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用向量的線性運算與相關(guān)點法，求得圓的軌跡方程，從而得解.
【典例1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為 .
【答案】
【知識點】相交圓的公共弦方程
【分析】根據(jù)題意可得：兩圓方程之差即為直線PQ的方程，運算求解即可.
【詳解】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，
將與作差得，
整理得，
即直線PQ的方程為.
故答案為：.
【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓：，點，若直線分別切圓于兩點，則直線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】求點到直線的距離、由圓心（或半徑）求圓的方程、切點弦及其方程、相交圓的公共弦方程
【分析】方法一：利用直線，得出，在中，利用幾何關(guān)系求出及，進(jìn)而可求出點到直線MN的距離，再利用點到直線的距離公式即可求出結(jié)果；方法二：利用直線為圓和以AC為直徑的圓的公共弦，求出以AC為直徑的圓，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得直線垂直平分線段，又圓：，所以圓心，，
又由，得直線AC的斜率，所以直線MN的斜率，
可設(shè)直線的方程為，又，
在中，，，
得到，則點到直線MN的距離，
即，解得或，
當(dāng)時，直線MN與圓C相離，不符合題意，所以直線MN的方程為．

一題多解因為分別是圓C的切線，所以，
所以點在以AC為直徑的圓上．因為，
所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為
故以為直徑的圓的方程為，又因為圓C：，
所以直線MN的方程為，化簡得，
故選：B．
【變式1-2】（23-24高二上·北京西城·期中）已知兩圓：和：相交，則圓與圓的公共弦所在直線的方程為．
【答案】
【知識點】相交圓的公共弦方程
【分析】將兩圓的方程相減即可得解.
【詳解】將兩圓的方程相減得，
即圓與圓的公共弦所在直線的方程為.
故答案為：.
題型10 圓的公切線問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知圓圓則兩圓的公切線條數(shù)為（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【知識點】圓的公切線條數(shù)
【分析】確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線條數(shù)．
【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則已知兩圓圓心分別為，半徑分別為，
圓心距為，
因此兩圓外切，它們有三條公切線，
故選：B．
【典例1-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直線l同時與圓和圓相切，請寫出兩條直線l的方程和．
【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）
【知識點】圓的公切線方程
【分析】根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，設(shè)圓心為，半徑為，
由，設(shè)圓心為，半徑為1，
設(shè)直線l不存在斜率，此時方程設(shè)為：，
因為直線l同時與圓和圓相切，
所以有，此時直線l的方程為，
當(dāng)直線l存在斜率，此時方程設(shè)為：，
因為直線l同時與圓和圓相切，
所以或，
所以此時切線方程為，或，即
，或，
故答案為：；
【變式1-1】（23-24高二上·北京懷柔·期中）若圓與圓恰有3條公切線，則的值為．
【答案】7
【知識點】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍、圓的公切線條數(shù)
【分析】根據(jù)兩圓外切，即可根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系求解.
【詳解】由于圓與圓恰有3條公切線，故兩圓外切，
的圓心，半徑為，的圓心，半徑為，
故，故，解得，
故答案為：7
【變式1-2】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圓，則圓的半徑為；與圓和圓都相切的直線的方程為 .（只需寫出一條直線的方程）
【答案】（答案不唯一，或亦可）
【知識點】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、圓的公切線方程
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得圓心；設(shè)出兩圓的公切線方程，注意討論斜率是否存在，由切線的性質(zhì)列式計算即可得公切線方程.
【詳解】由，即，
故圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為，
設(shè)直線與圓和圓都相切，
若直線斜率不存在，設(shè)直線為，
需有，解得，故符合要求；
若直線斜率存在，設(shè)直線為，即，
需有，兩式相除得，
故或，
化簡得或，
由可得，
故有或，
化簡得或，
即或，
則或，
故該直線為或，
即或，
綜上所述，與圓和圓都相切的直線的方程有：
、、.
故答案為：；（答案不唯一，或亦可）
【變式1-3】（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知與，若存在實數(shù)的值使得兩圓僅有一條公切線，則的最小值為 .
【答案】
【知識點】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍、圓的公切線條數(shù)
【分析】先確定兩圓的圓心和半徑，然后根據(jù)條件分析出兩圓的位置關(guān)系，再由圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系求解出結(jié)果.
【詳解】因為，
∴，半徑為，
因為，
∴，半徑為，
若兩圓僅有一條公切線，即兩圓相內(nèi)切，
∴，
由于，故，
解得，即的最小值為，
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·北京·三模）已知直線，圓，下列說法錯誤的是（）
A．對任意實數(shù)，直線與圓有兩個不同的公共點；
B．當(dāng)且僅當(dāng)時，直線被圓所截弦長為；
C．對任意實數(shù)，圓不關(guān)于直線對稱；
D．存在實數(shù)，使得直線與圓相切．
【答案】D
【知識點】直線過定點問題、判斷點與圓的位置關(guān)系、判斷直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長與中點弦
【分析】求出直線所過的定點，并判斷該定點與圓的位置關(guān)系，再逐項分析判斷即可得解.
【詳解】直線，由，解得，即直線恒過定點，
圓的半徑，，即點在圓內(nèi)，
對任意實數(shù)，直線與圓有兩個不同的公共點，A正確，D錯誤；
直線不過圓的圓心，因此對任意實數(shù)，圓不關(guān)于直線對稱，C正確；
直線的斜率，當(dāng)時，直線的斜率為，因此直線
此時直線被圓所截弦是過點的最短弦，最短弦長為，
因此當(dāng)且僅當(dāng)時，直線被圓所截弦長為，B正確.
故選：D
2．（2024·北京·三模）已知，若點P滿足，則點P到直線的距離的最大值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知識點】直線過定點問題、軌跡問題——圓、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）
【分析】先確定的軌跡以及直線過的定點，再根據(jù)圓的性質(zhì)特點求最值.
【詳解】由可得點的軌跡為以線段為直線的圓，圓心為，半徑為，
又直線，其過定點，
故距離的最大值為.
故答案為：C
3．（2024·北京房山·一模）直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】已知圓的弦長求方程或參數(shù)、已知點到直線距離求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線距離即可計算作答.
【詳解】因直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，
令劣弧的兩個端點為，則為等邊三角形，
故圓心到直線的距離等于，
即，解得.
故選：B.
4．（2024·北京東城·二模）直線與圓交于，兩點，若圓上存在點，使得為等腰三角形，則點的坐標(biāo)可以為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓交點的坐標(biāo)、由圓的一般方程確定圓心和半徑
【分析】設(shè)的中點為，連接、、，即可求出，分析可知為等邊三角形，即可得到點在的中垂線與圓的交點（上方），從而求出點坐標(biāo).
【詳解】圓，即，圓心為，半徑，
設(shè)的中點為，連接、、，則，且，
則，所以，則，即，
若在圓上的點使得為等腰三角形，
若（也類似），連接，則，
此時，則，所以為等邊三角形，
若也可得到為等邊三角形，所以點在的中垂線與圓的交點（上方），
由，解得或，所以可以是.
故選：D

5．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知直線，圓，若直線上存在兩點，圓上存在點，使得，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】判斷圓與圓的位置關(guān)系、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍
【分析】由題意將原問題等價轉(zhuǎn)換為圓心在直線上且半徑為的動圓與圓有交點，分直線與圓的位置關(guān)系討論，利用圓心到直線的距離即可得解.
【詳解】若直線上存在兩點，圓上存在點，使得，且，
則條件等價于圓心（設(shè)為D）在直線上且半徑為的動圓與圓有交點，
圓的圓心為
到直線的距離，
當(dāng)圓與直線相離時，即時，
則圓上的動點到直線的最小距離為，
此時只需滿足即可，所以；
當(dāng)時，圓與直線有交點，此時圓和直線上一定分別存在點，使得，符合題意.
綜上，.
故選：C.
6．（2024·北京延慶·一模）在等邊中，，為所在平面內(nèi)的動點，且，為邊上的動點，則線段長度的最大值是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）
【分析】根據(jù)題意可知點在以點為圓心，半徑為的圓上，結(jié)合圖象分析即可.
【詳解】根據(jù)題意可知，點在以點為圓心，半徑為的圓上，
如圖：
為邊上的動點，線段取最大值時，
,
而當(dāng)與點重合時，最大，且最大值為2,
此時線段長度的最大值為，
故選：D.
7．（2023·北京西城·模擬預(yù)測）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【知識點】直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值、切線長
【分析】連接，，當(dāng)最小時，最小，計算點到直線的距離得到答案.
【詳解】如圖所示：連接，則，
當(dāng)最小時，最小，，
故的最小值為.
故選：C.
8．（2023·北京大興·三模）若點是圓上的動點，直線與軸、軸分別相交于，兩點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】過圓外一點的圓的切線方程
【分析】作出圖形，分析可知當(dāng)直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值．
【詳解】如下圖所示：

直線的斜率為，傾斜角為，故，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
易知直線交軸于點，所以，
由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，
由圓的幾何性質(zhì)可知，且，則，
故．
故選：A
二、填空題
9．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知過點的直線（不過原點）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為 .
【答案】18
【知識點】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、直線截距式方程及辨析
【分析】確定直線的方程，根據(jù)直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得答案.
【詳解】由題意知過點的直線（不過原點）在軸、軸上的截距相等，
設(shè)該直線方程為，將代入得，即直線方程為，
由于該直線與相切，圓心為，半徑為，
故，
故答案為：18
10．（2022·北京房山·二模）已知圓和直線，則圓心坐標(biāo)為；若點在圓上運動，到直線的距離記為，則的最大值為 .
【答案】 /
【知識點】直線過定點問題、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）
【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)；根據(jù)直線過定點，可知當(dāng)時，圓心到距離最大，則.
【詳解】由圓的方程知：圓心坐標(biāo)為；
由直線方程知：恒過點，則，
當(dāng)時，圓心到距離最大，
又圓的半徑，.
11．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知圓，若點在圓上，并且點到直線的距離為，則滿足條件的點的個數(shù)為 .
【答案】3
【知識點】點與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】設(shè)，根據(jù)點P到直線的距離為，求得，再由在圓上，得到，取得或，進(jìn)而求得滿足條件的點的個數(shù)，得到答案.
【詳解】設(shè)，由點P到直線的距離為，得
兩邊平方整理得到①
因為在圓上，所以，即②
聯(lián)立①②得，
解得或，
當(dāng)時，由①②可得，解得或，即或
當(dāng)時，由①②可得，解得或，即或
綜上，滿足條件的點P的個數(shù)為.
故答案為：3.
12．（2022·北京海淀·二模）已知圓，則圓的半徑為；若直線被圓截得的弦長為1，則．
【答案】 1；
【知識點】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化、圓的弦長與中點弦
【分析】第一空：將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；第二空：先求圓心到直線的距離，再由圓的弦長公式即可解出的值.
【詳解】第一空：將化為標(biāo)準(zhǔn)式得，故半徑為1；
第二空：圓心到直線的距離為，由弦長為1可得，解得.
故答案為：1；.
13．（2024·上海長寧·一模）以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
【答案】
【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程
【分析】直接根據(jù)已知寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.
【詳解】由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）寫出一個與直線都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（或，答出一個即可）
【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
【分析】先確定圓心橫坐標(biāo)及半徑，再分類討論計算即可.
【詳解】根據(jù)圓與直線相切可知圓心在直線上，半徑為2，
再由圓與直線相切可得圓心為或，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
故答案為：或.
直線方程
與
點到直線的距離公式
平面上任意一點到直線：的距離.
1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2、圓的一般式方程
對于方程（為常數(shù)），當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程.
①當(dāng)時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當(dāng)時，方程表示一個點
③當(dāng)時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
1、圓上的點到定點的最大、最小距離
設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內(nèi)，則;
2、圓上點到直線的最大（?。┚嚯x
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
圖象
位置關(guān)系
相交
相切
相離
判定方法
；
。
圓心到直線的距離：。
圓與直線相交。
；
。
圓心到直線的距離：。
圓與直線相切。
；
。
圓心到直線的距離：。
圓與直線相離。
1、過圓上一點作切線：利用圓心與切線的連線與切線垂直求斜率，可作一條切線
2、過圓外一點作切線：利用圓心到直線的距離等于半徑，可作兩條切線
3、切線長問題：
（1）
（2）代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
弦長公式：
1、圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.
公共弦所在直線的方程
設(shè):
:
聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程
（1）兩圓外離：4條公切線
（2）兩圓外切：3條公切線
（3）兩圓相交：2條公切線
（4）兩圓內(nèi)切：1條公切線
（5）兩圓內(nèi)含：0條公切線

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