專題07 立體幾何外接球與內(nèi)切球截面問(wèn)題(6類(lèi)題型全歸納）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（北京專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11847" 題型01 內(nèi)切球等體積法 PAGEREF _Tc11847 \h 1
\l "_Tc4781" 題型02 內(nèi)切球獨(dú)立截面法 PAGEREF _Tc4781 \h 6
\l "_Tc7646" 題型03 補(bǔ)形法 PAGEREF _Tc7646 \h 8
\l "_Tc32720" 題型04 單面定球心法（定+算） PAGEREF _Tc32720 \h 12
\l "_Tc2393" 題型05 雙面定球心法（兩次單面定球心） PAGEREF _Tc2393 \h 17
\l "_Tc28881" 題型06平行線（相交線）法做截面 PAGEREF _Tc28881 \h 21
題型01 內(nèi)切球等體積法
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）若某圓臺(tái)有內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的余弦值為，則此圓臺(tái)與其內(nèi)切球的體積之比為（）
A．B．2C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】將圓臺(tái)還原成圓錐，作出圓錐的軸截面，再結(jié)合給定角求出圓錐底面圓半徑、高與內(nèi)切球半徑的關(guān)系即可計(jì)算得解.
【詳解】將圓臺(tái)母線延長(zhǎng)交于點(diǎn)S，得圓錐，作圓錐的軸截面，等腰梯形為圓臺(tái)的軸截面，
截內(nèi)切球得大圓，并且是梯形的內(nèi)切圓，令切圓于，如圖，
設(shè)底面圓直徑，依題意，，，，
設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，，，
，于是，且為的中點(diǎn)，而內(nèi)切球體積，
圓臺(tái)的體積,
所以圓臺(tái)與其內(nèi)切球的體積比為.
故選：A
【典例1-2】（23-24高一下·福建龍巖·期末）已知球O內(nèi)切于圓臺(tái)EF，其軸截面如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，，且，則圓臺(tái)EF的體積為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、切線長(zhǎng)
【分析】根據(jù)題意，作出圖形，得到上下底面的半徑，進(jìn)而分析運(yùn)用勾股定理求出高即可．
【詳解】根據(jù)圓和等腰梯形的對(duì)稱性知道，分別為上下底的中點(diǎn).
連接，則，過(guò)于.四邊形為矩形．
由于,則，則.
由切線的性質(zhì)知道.
則.
，．
代入計(jì)算可得，.
故選：D.

【變式1-1】（2024·河南開(kāi)封·二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】作出圓錐的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為，從而可得上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，從而可得解．
【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，
設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為，，半徑分別為，，
即，，
根據(jù)題意可知為正三角形，易知，圓錐的底面半徑，
，又，
，，
上部分圓錐的底面半徑為，高為，
又圓錐的底面半徑為，高為，
上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，
上、下兩部分幾何體的體積之比是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.
【變式1-2】（23-24高一下·湖北黃岡·期末）若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切)的半徑為，當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】先設(shè)出未知量，即圓錐半徑為，圓錐高為，分析組合體軸截面圖，找出與的一組關(guān)系式，再根據(jù)題意中圓錐與球體的體積關(guān)系找出另一組與的關(guān)系式即可求出答案.
【詳解】如下圖組合體的軸截面，設(shè)圓錐半徑為，圓錐高為，則，，，由得,代入得①，
由“該圓錐體積是球體積兩倍”可知，即②，聯(lián)立兩式得.
故選:B
【變式1-3】（24-25高三上·河北保定·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上?下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上?下底面半徑，則球與圓臺(tái)側(cè)面的切痕所在平面分圓臺(tái)上下兩部分體積比為 .

【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】作出該幾何體的軸截面，利用平面幾何知識(shí)，分別計(jì)算出切痕所在平面圓的半徑和上下兩個(gè)圓臺(tái)的高和，即可代入圓臺(tái)體積公式計(jì)算即得.
【詳解】

如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，
設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上?下底分別切于點(diǎn)，
圓臺(tái)上?下底面的半徑為.則.
，于是，在直角梯形中，易得
，則，
設(shè)與交于點(diǎn)，則，
，
.
故圓臺(tái)體積為，
圓臺(tái)體積為，
故切痕所在平面分圓臺(tái)上下兩部分體積比為.
故答案為：.
題型02 內(nèi)切球獨(dú)立截面法
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（2024·江蘇宿遷·三模）若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、面面垂直證線面垂直
【分析】過(guò)點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計(jì)算作答.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，
因是正三角形，則，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，則平面，平面，則，，
，平面，則平面，又平面，
所以，而，則，顯然，
由球的對(duì)稱性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，
此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，
設(shè)，又，，則球的半徑，
又四棱錐的表面積為，
由，解得，
，，
所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑和.
【變式1-1】（23-24高一下·浙江寧波·期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、線面垂直證明線線垂直
【分析】設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則，求得，，從而求得，根據(jù)球的表面積公式即可求解.
【詳解】

因?yàn)樗拿骟w四個(gè)面都為直角三角形，平面，
所以，，
設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，
則
所以，
因?yàn)樗拿骟w的表面積為，
又因?yàn)樗拿骟w的體積，
所以，
所以內(nèi)切球表面積.
故選：C.
題型03 補(bǔ)形法
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】設(shè)，，由題設(shè)．將放在棱長(zhǎng)為x，y，z的長(zhǎng)方體中，可得的關(guān)系式，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，利用基本不等式結(jié)合球的表面積公式求解.
【詳解】設(shè)，，由題設(shè).
三棱錐中，，，，
將放在棱長(zhǎng)為x，y，z的長(zhǎng)方體中，如圖，
則有，
三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，
所以，
由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以外接球表面積.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的難點(diǎn)是根據(jù)題意得到三棱錐的特征，從而放置到相應(yīng)的長(zhǎng)方體中，由此得解.
【典例1-2】據(jù)《九章算術(shù)》中記載，“陽(yáng)馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個(gè)“陽(yáng)馬”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，則這個(gè)“陽(yáng)馬”的外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】把四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球也是四棱錐的外接球直徑，由長(zhǎng)方體性質(zhì)求得球半徑后可得表面積．
【詳解】把四棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球也是四棱錐的外接球直徑，
設(shè)球半徑為，則，
球表面積為．
故選：C．
【變式1-1】三棱錐中，平面ABC，且，且，三棱錐的外接球表面積為（）
A．16πB．20πC．D．24π
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】將三棱錐放入一個(gè)長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則得到長(zhǎng)方體外接球的直徑，利用球的表面積公式求解即可．
【詳解】解：因?yàn)槿忮FP﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨將三棱錐放入一個(gè)長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，
因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為其外接球的直徑，因?yàn)镻A＝AB＝2，，
則長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4，2，2，所以三棱錐P﹣ABC外接球的半徑，
故三棱錐P﹣ABC外接球的表面積S＝4πR2＝24π．
故選：D．
【變式1-2】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，球?yàn)槿忮F的外接球，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】把正四面體放置在正方體中，轉(zhuǎn)化為正方體外接球問(wèn)題，求出半徑，代入球的表面積公式求解即可.
【詳解】三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，
故可把三棱錐放置在正方體中，
如圖

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，解得，
三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
故球的半徑，所以球的表面積.
故選：D
【變式1-3】在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，如圖甲所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線把和折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，如圖乙所示，則三棱錐外接球的體積是；過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是 .

【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】對(duì)于第一空，三棱錐外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，從而即可求解；對(duì)于第二空，由最大截面為過(guò)球心O的大圓，最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓即可求解.
【詳解】對(duì)于第一空，由題意，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體，如圖所示，

三棱錐P?AEF外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，
所以外接球的直徑，所以，
所以三棱錐P?AEF外接球的體積為；
對(duì)于第二空，過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P?AEF的外接球所得截面為圓，
其中最大截面為過(guò)球心O的大圓，此時(shí)截面圓的面積為，
最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓，
此時(shí)截面圓半徑（其中長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體前后面對(duì)角線長(zhǎng)度），
則截面圓的面積為，
所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為.
故答案為：；.
題型04 單面定球心法（定+算）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】已知球O是正三棱錐的外接球，若正三棱錐的高為，底邊，則球心O到平面ABC的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】設(shè)正三棱錐的底面中心為M，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，顯然球心O在直線PM上，由可得外接球半徑，從而得解.
【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為M，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，
顯然球心O在直線PM上，設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)椋?br>所以球心O到底面ABC的距離為，，
由，得，，
所以球心O到平面ABC的距離為．
故選：A
【典例1-2】在四面體ABCD中，，則四面體ABCD的外接球表面積為 .
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】取中點(diǎn)，連接，設(shè)出球心，求出的外接圓半徑，根據(jù)可建立關(guān)系求出.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?br>所以，
易求得，滿足，
所以，因?yàn)?，所以平面?br>設(shè)球心為，球半徑為，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，
可得，則，即，
在上取一點(diǎn)，令，則，
，，
因?yàn)樵谥校?br>所以，解得，
所以表面積為.
故答案為：.
【變式1-1】已知球O為棱長(zhǎng)為1的正四面體的外接球，若點(diǎn)P是正四面體ABCD的表面上的一點(diǎn)，Q為球O表面上的一點(diǎn)，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】球的結(jié)構(gòu)特征辨析、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】求出正四面體外接球半徑，再分析出最大值即可外接球直徑.
【詳解】首先求出正四面體外接球的半徑：
由正四面體的對(duì)稱性與球的對(duì)稱性可知球心在正四面體的高上：
設(shè)外接球半徑為，如圖(為外接球球心，為的重心），
，
，，
中，，
即R2=63?R2+332，得，
因?yàn)辄c(diǎn)P是正四面體的表面上的一點(diǎn)，Q為球O表面上的一點(diǎn)，
則的最大值相當(dāng)于外接球的直徑，則最大值為.
故選：D.
【變式1-2】已知一個(gè)正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，且外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)，依題知其內(nèi)切球和外接球是同心球，先求出外接球半徑，再根據(jù)球心在底面的投影恰為底面正三角形的中心，由之求得底面三角形邊長(zhǎng)，從而可求體積.
【詳解】

如圖，設(shè)正三棱柱的外接球的半徑為，
則，解得，
因三棱柱有內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則正三棱柱的高為，
連接的中心，則線段的中點(diǎn)即為球心，
依題意，內(nèi)切圓半徑為，得，
則，解得,
故三棱柱的體積為
故選：B．
【變式1-3】已知正邊長(zhǎng)為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】由題意畫(huà)出圖形，取中點(diǎn)，連接，，分別取與的外心作平面與平面DBC的垂線，相交于，則O為四面體的球心，再利用勾股定理求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．
【詳解】如圖，

取BC中點(diǎn)G，連接AG,DG，則，，
分別取與的外心E,F分別過(guò)E,F作平面ABC 與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，
由，
所以正方形OEGF的邊長(zhǎng)為，則，
四面體的外接球的半徑，
球O的表面積為．
故答案為：．
題型05 雙面定球心法（兩次單面定球心）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】已知菱形的各邊長(zhǎng)為2，.如圖所示，將沿折起，使得到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)，是線段中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，則三棱錐外接球半徑為，則點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為 .
【答案】 /
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直
【分析】根據(jù)線線垂直可得平面，由直角三角形可得三棱錐的高，結(jié)合勾股定理進(jìn)而可得三棱錐外接球的半徑，可得點(diǎn)的軌跡為截面圓的周長(zhǎng)．
【詳解】取中點(diǎn)，則，，，平面,
平面，，又，
，
作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，
則平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，，的中心分別為，，
易知平面，平面，且，，，四點(diǎn)共面，
由題可得，，
在△，得，又，
則三棱錐外接球半徑，
易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
截面圓的周長(zhǎng)為，即點(diǎn)軌跡的周長(zhǎng)為．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
【典例1-2】如圖，在四面體中，與均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角的大小為，則此四面體的外接球表面積為．

【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、由二面角大小求線段長(zhǎng)度或距離
【分析】由已知結(jié)合二面角及三棱錐的性質(zhì)先定出球心的位置，然后結(jié)合球的性質(zhì)求出球的半徑，進(jìn)而求得答案.
【詳解】過(guò)球心分別作平面、平面的垂線，垂足分別為，，則，分別為與的外心，
取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榕c均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形

所以為二面角的平面角，即，
在中，，，
所以，在中，，
故外接球的半徑，所以外接球的表面積為
故答案為：
【變式1-1】如圖，在四面體中，和均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，則四面體外接球的表面積為；點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在四面體的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF⊥AC，則點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、立體幾何中的軌跡問(wèn)題
【分析】設(shè)四面體外接球的球心為的中心分別為，則可得平面平面，且四點(diǎn)共面，可得，進(jìn)而求出，然后由勾股定理求出四面體外接球的半徑；取中點(diǎn)，作，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，求出四面體外接球半徑和到平面的距離，從而可求出平面截外接球所得截面圓的半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，則，平面，
又和均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，
∴平面，，
所以，
∴，
設(shè)四面體外接球的球心為的中心分別為，
易知平面平面，且四點(diǎn)共面，
由題可得，，
在中，得，又，
則四面體外接球半徑，
所以四面體外接球的表面積為；
作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，
則平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，
易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
所以截面圓的周長(zhǎng)為，即點(diǎn)軌跡的周長(zhǎng)為.
故答案為：；.
題型06平行線（相交線）法做截面
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．用過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形為矩形，即可求解.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接,
則,故四邊形為平行四邊形，即為過(guò)點(diǎn)且平行于平面的截面，
,,且平面,平面,則,
故四邊形為矩形，
故四邊形的面積為，
故選：B
【典例1-2】（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AB中點(diǎn)，G是棱BC中點(diǎn)，作出過(guò)E，F(xiàn)，G的平面截得正方體的截面形狀．

【答案】作圖見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、面面平行證明線線平行
【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面的性質(zhì)，即可求得截面的性質(zhì).
【詳解】過(guò)E，F(xiàn)，G的平面截得正方體的截面為六邊形EKFGHQ，如圖所示，
作法：根據(jù)給定的條件，得到FG就是一條交線，
又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，第三個(gè)平面和它們相交，截面和面A1B1C1D1的交線一定和FG平行，
又由E是A1D1的中點(diǎn)，故取C1D1的中點(diǎn)Q，則EQ也是一條交線，
再延長(zhǎng)QE和B1A1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1的交線上，
連接MF，交A1A于點(diǎn)K，則EK，KP又是兩條交線，
同理可以得到QH，HG兩條交線，
因此，六邊形EKFGHQ就是所求截面．

【變式1-1】（23-24高一下·北京通州·期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是．
①直線與直線相交；
②當(dāng)時(shí)，為四邊形；
③當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為；
④當(dāng)時(shí)，截面與，分別交于，則．
【答案】②③④
【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、異面直線的判定
【分析】①，由平面，可知直線與直線不可能相交，即可判斷；
②，由可得截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線段上，即可判斷；
③，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得截面為等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面積，即可判斷；
④，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至，使，連接交于，連接交于連接，取的中點(diǎn)，上一點(diǎn)，使，連接，可求得，再利用勾股定理求出，即可判斷.
【詳解】①，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面，由正方體可知平面，所以直線與直線不可能相交，故①錯(cuò)誤；
②，當(dāng)時(shí)，截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線段上，如圖所示：
所以截面為四邊形；
又面，故//面，故②正確；
③，連接，如下所示：

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
則，故面即為平面截正方體所得截面；
在和中，
又，故該截面為等腰梯形，
又，，
故截面面積，故③正確；
④，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至，使，
連接交于，連接交于連接，
取的中點(diǎn)，上一點(diǎn)，使，連接，
如圖所示：
因?yàn)榍?，且?br>所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，
由，，所以，
則為中點(diǎn)，則，所以，
又，
可得，
所以，
則在中，故④正確；
故答案為：②③④.
【變式1-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①平面；
②點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為；
③存在點(diǎn)，使得直線平面；
④平面截正方體所得的截面面積為.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】①②④
【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、判斷線面平行
【分析】根據(jù)都是棱的中點(diǎn)，可以做出過(guò)的截面，再根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)和的長(zhǎng)度，可確定點(diǎn)的軌跡，從而可判斷各個(gè)結(jié)論的正確性.
【詳解】如圖：
因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以，
又，所以，又平面，平面，
所以平面，故①成立；
連接，交EG于點(diǎn)，易證平面，，，
所以，故點(diǎn)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，以為半徑的圓，
所以點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為：，故②成立；
由②可知，不可能與平面垂直，故③不成立；
做出截面，可知截面是正六邊形，且邊長(zhǎng)為，其面積為：，故④成立.
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，可以確定過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的截面.
一、單選題
1．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且.則下列說(shuō)法正確的是（）
A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交
B．存在點(diǎn)，使得直線平面
C．直線與平面所成角的大小為
D．平面被正方體所截得的截面面積為
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、證明線面垂直、求線面角、點(diǎn)到平面距離的向量求法
【分析】連接，，取的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)到線段的最短距離大于，即可判斷；建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)到平面的距離為，即可判斷；由平面，連接交于點(diǎn)，與全等，所以，即可判斷；平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長(zhǎng)為，可求截面面積.
【詳解】
連接，，所以，，取的中點(diǎn)，連接，
所以，點(diǎn)到線段的最短距離大于，所以不存在點(diǎn)，使得直線與直線相交，故不正確；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以，即，
令x=1，則，，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為，而，所以不存在點(diǎn)，使得直線平面，故不正確；
因?yàn)?，所以平面，連接交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，，
所以為直線與平面所成角，
因?yàn)?，在中，?br>所以，因?yàn)榕c全等，所以，故正確；
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接，，，，，，
平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長(zhǎng)為，
所以截面面積為，故不正確.
故選：.
2．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，點(diǎn)、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（）
A．六邊形B．五邊形
C．四邊形D．三角形
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀
【分析】由題意，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，作出截面圖形可得結(jié)論.
【詳解】如圖，
因?yàn)辄c(diǎn)、滿足，
點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接交于，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，
則五邊形為所求截面圖形.
故選：B．
3．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N、P分別為棱AB、、的中點(diǎn)，則平面MNP截正方體所得截面的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正棱柱及其有關(guān)計(jì)算、判斷正方體的截面形狀
【分析】通過(guò)平行畫(huà)出截面為正六邊形，然后結(jié)合正三角形面積計(jì)算其面積即可.
【詳解】如圖所示，分別取，，的中點(diǎn)，，，
連接，，，，，則，.
因?yàn)?，所以，同理得?
由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得，，，，，六點(diǎn)共面，
所以平面截正方體所得的截面是六邊形.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知截面是邊長(zhǎng)為的正六邊形，
所求面積.
故選：B
4．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）若正四棱錐的高為6，且所有頂點(diǎn)都在半徑為4的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正棱錐及其有關(guān)計(jì)算、棱錐表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】設(shè)在底面的投影為，確定球心位置，求，由此可求側(cè)棱和側(cè)面三角形的高，再求側(cè)面積.
【詳解】如下圖，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，
由題設(shè)，球體半徑，則，
所以，，，
中邊上的高為，故正四棱錐的側(cè)面積為.
故選：C
5．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，則該球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】組合體的切接問(wèn)題、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、正棱錐及其有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)體積可求正四棱錐的高，再結(jié)合外接球球心的性質(zhì)可求其半徑，故可求外接球的表面積.
【詳解】
如圖，設(shè)在底面的射影為，則平面，
且為的交點(diǎn).
因?yàn)檎睦忮F底面邊長(zhǎng)為4，故底面正方形的面積可為，且，
故，故.
由正四棱錐的對(duì)稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，
則，故，故，
故正四棱錐的外接球的表面積為，
故選：B.
6．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】設(shè)的外接圓的圓心為，根據(jù)中，，解得，過(guò)點(diǎn)作圓的截面，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，由此能求出所得截面圓面積的最大值．
【詳解】如圖，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，，
則，，
在中，，解得，
當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為．
所得截面圓面積的最大值為．
故選：D．

7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐各頂點(diǎn)都在球心為的球面上，且平面，底面為矩形，，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則平面截球所得截面的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、線面垂直證明線線垂直
【分析】根據(jù)線面垂直關(guān)系可得四棱錐外接球與以為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球相同，確定外接球半徑，根據(jù)線面關(guān)系求解三棱錐的體積，利用等體積法確定球心到平面的距離為，從而得截面面積.
【詳解】因?yàn)槠矫?，底面為矩形?br>如下圖所示，
易知四棱錐外接球與以為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球相同；
由題意可知球心為中點(diǎn)，
故球O的直徑，解得
由分別是的中點(diǎn)可得，因?yàn)槠矫妫傻闷矫妫?br>所以球心到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，
因?yàn)椋謩e是的中點(diǎn)，所以，且，
又，
所以，故，又平面，所以平面，
且，所以，
而，由等體積法得，
所以，故截面面積為．
故選：B.
8．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面積是，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半徑為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題、直線與球、平面與球的位置關(guān)系、圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算
【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑，并由題意聯(lián)立方程組求出；再由勾股定理解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.
【詳解】
設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，由題意知：，
兩式相除解得，；
所以圓錐的頂角為，軸截面為等邊三角形，圓錐的高，
設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為，，解得.
故選：D.
9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，若，，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算
【分析】設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正、余弦定理求得，再設(shè)外接球的半徑為，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求得，利用求得表面積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，在中，，且，
由余弦定理得，
設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正弦定理得，即
再設(shè)直三棱柱外接球的球心為，外接球的半徑為，
在直角中，可得，
所以球的表面積為.
故選：B.

10．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知圓錐的高為3，若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算、圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、組合體的切接問(wèn)題
【分析】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算出圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)，可求圓錐的表面積.
【詳解】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示，
由已知，可知，所以圓錐的軸截面為正三角形，
因?yàn)?，所以圓錐底面圓半徑，母線，
則圓錐的表面積為．
故選：C．
11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若三棱臺(tái)的高為3，上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，則該球的表面積為（）
A．32B．36C．40D．42
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算
【分析】首先作圖進(jìn)行解答，設(shè)，的外心分別為，，外接球的球心為，然后再設(shè)外接球的半徑，進(jìn)行求解，得出外接球表面積為.
【詳解】設(shè)三棱臺(tái)為，，外心分別為，，外接球的球心為，
，是等邊三角形，，是三角形的中心，也是三角形重心
由題意易知高為，高為，故由重心的定義知，，且由題意易知，
設(shè)外接球的半徑為，，連接，則，
故，即，
解得，，所以外接球的表面積為，
故選:B.
12．（23-24高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則平面截四棱錐外接球所得截面的面積為（）.
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、球的表面積的有關(guān)計(jì)算
【分析】利用直角三角形求出外接圓的半徑，設(shè)中點(diǎn)為，連接，過(guò)作，則即為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)相似即可求出，得到外接球所得截面的面積.
【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，底面中心為中點(diǎn)為，
連接，如圖所示，
由題意得，且正四棱錐的外接球球心，
設(shè)外接球半徑為，則，
在中，，且，
所以，解得，即，
在中，，
過(guò)作，則即為點(diǎn)到平面的距離，且為平面截其外接球所得截面圓的圓心，
所以，
則，
所以，
所以截面的面積.
故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出外接圓半徑以及找到點(diǎn)到平面的距離.
二、填空題
13．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）用一個(gè)平面截球O得到的曲面稱為球冠，截面為球冠的底面，如圖球冠的高大于球的半徑，為底面圓心，是以為底，點(diǎn)S在球冠上的圓錐，若底面的半徑是球的半徑的倍，點(diǎn)A為底面圓周上一點(diǎn)，則SA與底面所成的角為，圓錐的表面積與球O的表面積的比為．
【答案】 /60° /0.5625
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、求線面角
【分析】結(jié)合圓錐的圖形特征應(yīng)用線面角定義得出正切即可求角，再應(yīng)用圓錐及球的表面積公式計(jì)算求解.
【詳解】由題意可知球心在圓錐的高上，設(shè)底面的半徑為，球的半徑為，則，則，
所以，
因?yàn)榕c底面所成的角為，所以，
故．
由上可知圓錐的表面積為，
所以圓錐的表面積與球的表面積的比為．
故答案為：；.
14．（24-25高三上·福建·期中）已知球的半徑為，、、三點(diǎn)均在球面上，，，，則三棱錐的體積是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】設(shè)的外心為點(diǎn)，連接、，則平面，利用余弦定理求出方長(zhǎng)，利用正弦定理求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求出，然后利用三角形的面積公式結(jié)合錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.
【詳解】如下圖所示：
設(shè)的外心為點(diǎn)，連接、，則平面，
在中，，，，
由余弦定理可得
，則，
由正弦定理可得，則，
所以，，
，
所以，.
故答案為：.
15．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為．
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的截面圖形，設(shè)，利用勾股定理，用表示，結(jié)合圓錐體積和球的體積公式即可求解.
【詳解】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，
截面如圖所示：設(shè)球的半徑為，則圓錐底面半徑為，
可得在中，，，
設(shè)，由勾股定理得，
，即，
化簡(jiǎn)得，即，
，則，即，
則圓錐體積為，
球的體積為，
所以圓錐的體積與球O的體積之比為.
故答案為：.
16．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長(zhǎng)為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、由二面角大小求線段長(zhǎng)度或距離、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值、正棱錐及其有關(guān)計(jì)算
【分析】分析可知為外接球的直徑，做輔助線，可知，設(shè)，可得，結(jié)合兩角和公式列式求解即可.
【詳解】由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，
設(shè)平面，可知為等邊的中心，
取的中點(diǎn)，連接，
則，可知二面角的平面角為，
設(shè)，
則，，
因?yàn)?，即?br>又因?yàn)?，且?br>則，解得，
所以的邊長(zhǎng)為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題只說(shuō)明兩個(gè)正三棱錐共底面，沒(méi)有說(shuō)明兩個(gè)正三棱錐全等，不可以利用對(duì)稱性解題.例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍颍笄虬霃?方法如下：
即：，
可求出.

定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面體的外接球。
定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是多面體的內(nèi)切球。
①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）
題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）
題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）
步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②過(guò)外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；
③計(jì)算求半徑:在直線上任取一點(diǎn)如圖：則，利用公式可計(jì)算出球半徑.
如圖：在三棱錐中：
①選定底面，定外接圓圓心
②選定面，定外接圓圓心
③分別過(guò)做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心.
平行線法:經(jīng)過(guò)兩條平行（相交）直線確定唯一平面

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