新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型歸納演練專題8-1 立體幾何中外接球內(nèi)切球問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc30948" PAGEREF _Tc30948 \h 1
\l "_Tc22599" 題型一：外接球公式法 PAGEREF _Tc22599 \h 1
\l "_Tc2701" 題型二：外接球補(bǔ)型法 PAGEREF _Tc2701 \h 4
\l "_Tc14302" 題型三：外接球單面定球心法 PAGEREF _Tc14302 \h 10
\l "_Tc815" 題型四：外接球雙面定球心法 PAGEREF _Tc815 \h 18
\l "_Tc2144" 題型五：內(nèi)切球問(wèn)題 PAGEREF _Tc2144 \h 25
\l "_Tc24717" PAGEREF _Tc24717 \h 34
\l "_Tc2360" 一、單選題 PAGEREF _Tc2360 \h 34
\l "_Tc593" 二、多選題 PAGEREF _Tc593 \h 41
\l "_Tc27048" 三、填空題 PAGEREF _Tc27048 \h 45
題型一：外接球公式法
【典例分析】
例題1．（2023·陜西西安·高三期末（理））長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是8，8，16，則該長(zhǎng)方體外接球的體積為（）
A．24πB．32πC．36πD．48π
【答案】C
【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以長(zhǎng)方體外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，所以外接球的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
例題2．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┮粋€(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，其外接球的體積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，所以其體對(duì)角線為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的直徑即為 SKIPIF 1 < 0 ，即外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的體積 SKIPIF 1 < 0 ；
故選：D
例題3．（2022·貴州·頂效開(kāi)發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））若體積為12的長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，且此長(zhǎng)方體的高為2，則球 SKIPIF 1 < 0 的表面積的最小值為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)和寬分別為 SKIPIF 1 < 0 ，球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
所以表面積 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
即球 SKIPIF 1 < 0 的表面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
①長(zhǎng)方體外接球：在長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長(zhǎng)分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則長(zhǎng)方體外接球半徑 SKIPIF 1 < 0
②正方體外接球：在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè)邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則正方體外接球半徑 SKIPIF 1 < 0
【變式演練】
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是2，4，4，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】長(zhǎng)方體外接球直徑 SKIPIF 1 < 0 ，所以該長(zhǎng)方體外接球的表面積 SKIPIF 1 < 0
故選：C.
2．（2022·貴州·頂效開(kāi)發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（文））已知長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為_(kāi)_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 的外接球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 或其補(bǔ)角，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)__．（結(jié)果用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由題意得，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，設(shè)外接球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型二：外接球補(bǔ)型法
【典例分析】
例題1．（2022·廣東·佛山一中高三階段練習(xí)）在四面體 SKIPIF 1 < 0 中，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該四面體外接球半徑為_(kāi)_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：根據(jù)長(zhǎng)方體的面對(duì)角線特點(diǎn)，由對(duì)棱 SKIPIF 1 < 0 ，且對(duì)棱中點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則可構(gòu)造長(zhǎng)方體使得四面體 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合，由長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球
如下圖所示：
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，即四面體 SKIPIF 1 < 0 的外接球半徑為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5， SKIPIF 1 < 0 ，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的直徑，如圖，
設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的直徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A
例題3．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐的外接球的半徑為_(kāi)__________；若 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)__________.
【答案】 3 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由已知可證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直且長(zhǎng)度均為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
設(shè)外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)三棱錐外接球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球與平面 SKIPIF 1 < 0 的切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，易知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)均在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由等體積法：
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
將幾何體沿截面 SKIPIF 1 < 0 切開(kāi)，得到如下截面圖：
兩圓分別為外接球與內(nèi)切球的大圓，注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)間距離的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：3； SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
①墻角型：由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體或正方體，再利用公式法求解外接球問(wèn)題；
②對(duì)棱相等型：如果一個(gè)多面體的對(duì)棱都相等，可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，或正方體，再利用公式法求解外接球問(wèn)題；
【變式演練】
1．（2022·天津市第二耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)重合于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】解：由題意知：三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球即為長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 的外接球，如圖所示：
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的半徑為： SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】由于三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故將該三棱錐置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如下圖所示：
則體對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 即為外接球的直徑，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D
3．（2022·四川省樂(lè)山沫若中學(xué)高二期中（理））已知三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐的外接球的體積為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
由題可知,該三棱錐在長(zhǎng)方體中，且三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，
所以三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
由圖可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以體對(duì)角線長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的體積等于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為: SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·湖北·高二期中）四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝5， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為_(kāi)____．
【答案】50π
【詳解】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體A﹣BCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以 SKIPIF 1 < 0 為三邊的三角形作為底面，且分別以a，b，c為長(zhǎng)、側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體，
并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，
設(shè)球半徑為R，則有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，
∴4R2＝50，
∴球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
題型三：外接球單面定球心法
【典例分析】
例題1．（2022·福建·高三階段練習(xí)）在正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中心，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該正三棱錐的外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為x，且易知 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)球心為M，則MP=MA=R， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以表面積 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A.
例題2．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球 SKIPIF 1 < 0 的體積為_(kāi)_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)底面 SKIPIF 1 < 0 的中心為 SKIPIF 1 < 0 , 連接 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
因?yàn)锳C⊥平面PAB， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 .
所以外接球O的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
例題3．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則該幾何體的外接球的體積為_(kāi)________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】如圖,該四面體的外接球的球心O必經(jīng)過(guò)△ABC外接圓的圓心 SKIPIF 1 < 0 且垂直于平面ABC的直線上,且到A,P的距離相等.
在△ABC中,由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即該幾何體的外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 .
所以外接球的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
①第一步：選定一個(gè)底面（如圖底面三角形 SKIPIF 1 < 0 ），求出三角形 SKIPIF 1 < 0 外接圓圓心 SKIPIF 1 < 0
如圖：若 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，則外接圓圓心 SKIPIF 1 < 0 在斜邊的中點(diǎn)上；
若 SKIPIF 1 < 0 為正三角形，則外接圓圓心 SKIPIF 1 < 0 在重心位置；
若 SKIPIF 1 < 0 為普通三角形，則利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,確定出 SKIPIF 1 < 0 的位置
②第二步：過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作出平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，如圖為 SKIPIF 1 < 0 ，則球心 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上；
③計(jì)算：在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求出外接球半徑 SKIPIF 1 < 0
【變式演練】
1．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為弦，所對(duì)圓周角為 SKIPIF 1 < 0 的圓上的一段優(yōu)弧上，如圖，易知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形時(shí)， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離最大為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 不變時(shí)，假設(shè) SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離最大為 SKIPIF 1 < 0 ，也即三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高最大，從而體積最大，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 外心，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò) SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心在此垂線上，設(shè) SKIPIF 1 < 0 是三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)外接球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 和直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
球表面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
2．（2022·貴州·貴陽(yáng)六中一模（理））已知三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則它的外接球的表面積為_(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外心為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
由球的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?，?SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 的各邊長(zhǎng)及對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度均為6，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)M在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 外接球的半徑為_(kāi)_____；過(guò)點(diǎn)M作四邊形 SKIPIF 1 < 0 外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為_(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】空1：
由題意知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)E，連 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為O，半徑為R，
分別取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
空2：
連 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則H，O，M三點(diǎn)共線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)過(guò)M作四邊形 SKIPIF 1 < 0 外接球的截面圓的半徑為r，O到該截面的距離為d，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，則有：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，此時(shí)截面過(guò)球心， SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，截面的面積最大為 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ，截面的面積最小為 SKIPIF 1 < 0 ；
故截面面積最大值和最小值之比為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·山西運(yùn)城·高三期中）已知正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其內(nèi)切球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該正四棱錐的高為_(kāi)__________，外接球的表面積為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】已知正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)球體的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)正四面體的高為 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示，
因?yàn)榍?SKIPIF 1 < 0 與四棱錐相內(nèi)切，所以由等體積法得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四棱錐外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
題型四：外接球雙面定球心法
【典例分析】
例題1．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ．如圖所示，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置，連接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡的周長(zhǎng)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡所在平面為 SKIPIF 1 < 0 ，則平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 的中心分別為 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面，由題可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解Rt SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 截外接球所得截面圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴截面圓的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C
例題2．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（理））在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，則該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 分別是正三角形 SKIPIF 1 < 0 和正三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 是該三棱錐外接球的球心，連接 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，球半徑 SKIPIF 1 < 0
∴外接球體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
①第一步：選定一個(gè)底面（如圖底面三角形 SKIPIF 1 < 0 ），求出三角形 SKIPIF 1 < 0 外接圓圓心 SKIPIF 1 < 0
如圖：若 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，則外接圓圓心 SKIPIF 1 < 0 在斜邊的中點(diǎn)上；
若 SKIPIF 1 < 0 為正三角形，則外接圓圓心 SKIPIF 1 < 0 在重心位置；
若 SKIPIF 1 < 0 為普通三角形，則利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,確定出 SKIPIF 1 < 0 的位置
②第二步：過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作出平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線；
③第三步：重復(fù)上述兩步，再做一條垂線；
④第四步：兩條垂線的交點(diǎn)為球心 SKIPIF 1 < 0
【變式演練】
1．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .如圖所示，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置，連接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡的周長(zhǎng)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0 ，
三棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積為 SKIPIF 1 < 0 ；
作 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡所在平面為 SKIPIF 1 < 0 ，
則平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 的中心分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面，
由題可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解Rt SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 截外接球所得截面圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴截面圓的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為3的菱形且一個(gè)內(nèi)角為 SKIPIF 1 < 0 ，把等邊 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積最大時(shí)，其外接球半徑為_(kāi)_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】如圖，取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)G，連接 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積最大時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ．
又四邊形 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為3且一個(gè)內(nèi)角為 SKIPIF 1 < 0 的菱形， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形
所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為3等邊三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的外接圓圓心，圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O就是三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，且此時(shí) SKIPIF 1 < 0 分別為等邊 SKIPIF 1 < 0 與等邊 SKIPIF 1 < 0 的中心，
所以 SKIPIF 1 < 0
由此得到四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積最大時(shí)，其外接球半徑 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·福建·高二期中）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置，連接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為_(kāi)__________， SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0 ，
三棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積為 SKIPIF 1 < 0 ；
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡所在平面為 SKIPIF 1 < 0 ，
則平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 的中心分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面，
由題可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 截外接球所得截面圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴截面圓的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
題型五：內(nèi)切球問(wèn)題
【典例分析】
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，側(cè)面與底面所成角的正切值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】因?yàn)槿忮F SKIPIF 1 < 0 為正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為6，
且側(cè)面與底面所成角的正切值為 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得正三棱錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面的高 SKIPIF 1 < 0 ；
設(shè)正三棱錐底面中心為 SKIPIF 1 < 0 ，其外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
正三棱錐的體積 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
例題2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該圓錐的表面積的最小值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，底面圓周上一點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，底面圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球球心為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球切母線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，底面半徑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故該圓錐的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào).
故選：A.
例題3．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為12，球 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切于正四面體 SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 上關(guān)于球心 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的射影為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的射影為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的射影為 SKIPIF 1 < 0 ，如圖1.
因?yàn)檎拿骟w SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為12，所以 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，如圖2.圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切時(shí)，等號(hào)成立.
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
等號(hào)成立.
因?yàn)橐陨先〉葪l件可以同時(shí)成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
①等體積法：將空間幾何體拆分為以內(nèi)切球球心 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的多個(gè)幾何體，再利用等體積法求出內(nèi)切球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，主要用于多面體內(nèi)切球問(wèn)題；
例如：在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)切球?yàn)榍?SKIPIF 1 < 0 ，求球半徑 SKIPIF 1 < 0 .方法如下：
SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 .
②獨(dú)立截面法：主要用于旋轉(zhuǎn)體中，通過(guò)獨(dú)立截面（過(guò)球心的截面），在截面中求出內(nèi)切球的半徑.
【變式演練】
1．（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面 SKIPIF 1 < 0 為矩形.若四棱錐 SKIPIF 1 < 0 存在一個(gè)內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】由于平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
所以四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切球在等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 的“正投影”是等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓，
設(shè)等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以內(nèi)切球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，其表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
2．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，其軸截面 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為 6 的為正三角形， SKIPIF 1 < 0 為底面的圓心， SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 的一條直徑，球 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是球 SKIPIF 1 < 0 與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則（）
A．圓錐的表面積是 SKIPIF 1 < 0 B．球 SKIPIF 1 < 0 的體積是 SKIPIF 1 < 0
C．四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【詳解】依題意，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
正 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心 SKIPIF 1 < 0 都在線段 SKIPIF 1 < 0 上，連 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則球O的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，顯然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于A，圓錐的表面積是 SKIPIF 1 < 0 ，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，球O的體積是 SKIPIF 1 < 0 ，B正確；
對(duì)于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心 SKIPIF 1 < 0 到平面的距離相等，均為 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng)四邊形AEBF的面積最大時(shí)，四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積最大，
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取“=”，
則四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，C正確；
對(duì)于D，因 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
由均值不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取“=”，D正確.
故選：BCD
3．（2023·江西江西·高三階段練習(xí)（理））如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則模型中九個(gè)球的體積和為_(kāi)_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】如圖所示正四面體 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正四面體 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切球的球心，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交底面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 的中心，過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 為正四面體 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切球的半徑，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四面體 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切球的體積 SKIPIF 1 < 0 ，
由圖可知最大球內(nèi)切于高 SKIPIF 1 < 0 的正四面體中，最大球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
故最大球體積為 SKIPIF 1 < 0 ；
中等球內(nèi)切于高 SKIPIF 1 < 0 的正四面體中，中等球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
故中等球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ；
最小求內(nèi)切于高 SKIPIF 1 < 0 的正四面體中，最小球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
故最小求的體積為 SKIPIF 1 < 0 ；
所以九個(gè)球的體積和 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】作正方體的對(duì)角面，得如圖所示的截面圖:其中AB,CD為正方體的棱，AD,BC為正方體的面對(duì)角線，AC為體對(duì)角線，
球心 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，過(guò) SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).
設(shè)小球半徑為r，大球半徑為R,則由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即兩球半徑之和為 SKIPIF 1 < 0 .
一、單選題
1．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高三期中）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面積是（）
A．100πB．50πC．144πD．72π
【答案】A
【詳解】如圖，將三棱錐放于一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)：
則三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，∴PB為三棱錐P－ABC外接球的直徑，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴外接球的表面積為： SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體. 若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它外接球的體積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，正八面體的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是外接球的球心，且半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
3．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑，上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，即：圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積比為定值，則該定值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則圓柱的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知球 SKIPIF 1 < 0 是棱長(zhǎng)為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切球，則平面 SKIPIF 1 < 0 截球 SKIPIF 1 < 0 的截面面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】平面 SKIPIF 1 < 0 截球 SKIPIF 1 < 0 的截面為 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓，
SKIPIF 1 < 0 正方體棱長(zhǎng)為1， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切圓半徑 SKIPIF 1 < 0 .
截面面積為： SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一圓臺(tái)高為7，下底面半徑長(zhǎng)4，此圓臺(tái)外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則此圓臺(tái)的體積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
如圖為圓臺(tái)及其外接球的軸截面， SKIPIF 1 < 0 為外接球球心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等腰梯形的下底和上底的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為 SKIPIF 1 < 0 ，所以外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓臺(tái)下底面半徑為4，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即圓臺(tái)上底面半徑為3，所以圓臺(tái)的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個(gè)占 SKIPIF 1 < 0 正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得 SKIPIF 1 < 0 與小球相切．若 SKIPIF 1 < 0 ，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】在 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， ∴長(zhǎng)軸長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則離心率 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
7．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）在正四棱臺(tái) SKIPIF 1 < 0 中，上?下底面邊長(zhǎng)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】如圖：連接 SKIPIF 1 < 0 ，記其交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 為正方形 SKIPIF 1 < 0 的外接圓的圓心，連接 SKIPIF 1 < 0 記其交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)該正四棱臺(tái)的外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 ，由球的截面性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球心 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)榈酌?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都為正方形可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四棱柱的外接球的半徑為5，其外接球的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
8．（2022·天津和平·二模）已知圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為 SKIPIF 1 < 0 ，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長(zhǎng)a為（）
.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】由題意可知，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為 SKIPIF 1 < 0 ，球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓錐的底面半徑為R，軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為Q，圓錐的軸截面如圖所示，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以△SAB為等邊三角形，故點(diǎn)P是△SA B的中心，
連接BP，則BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故正四面體的外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 .
又正四面體可以從正方體中截得，如圖所示，
從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，截得它的正方體的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故選：A
二、多選題
9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知圓錐 SKIPIF 1 < 0 的底面半徑 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)切球的球心為 SKIPIF 1 < 0 ，外接球的球心為 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．外接球 SKIPIF 1 < 0 的表面積為 SKIPIF 1 < 0
B．設(shè)內(nèi)切球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，外接球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 截圓錐OP的截面面積的最大值為2
D．設(shè)母線 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，從 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)沿圓錐表面到 SKIPIF 1 < 0 的最近路線長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形.
則圓錐的軸截面 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，其外接圓的半徑為圓錐外接球的半徑，如圖1
圖1
設(shè)內(nèi)切球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，外接球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理可得，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
所以，外接球 SKIPIF 1 < 0 的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，A正確.
因?yàn)椋?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B項(xiàng)正確.
顯然，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 截圓錐OP的截面均為腰長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 等腰三角形，如圖2，在底面圓上任取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即最大面積為 SKIPIF 1 < 0 ，C項(xiàng)錯(cuò)誤.
圖2
將圓錐側(cè)面沿 SKIPIF 1 < 0 剪開(kāi)，得到的扇形的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，弧長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，
則扇形的圓心角 SKIPIF 1 < 0 ，如圖3所示.
圖3
連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，即為最近路線，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高三期中）已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N，若線段MN的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A．正四面體的外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 B．正四面體的內(nèi)切球的體積為 SKIPIF 1 < 0
C．正四面體的棱長(zhǎng)為12D．線段MN的最大值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【詳解】依題作出圖形，如下：
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，
則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合，則它的外接球和內(nèi)切球的球心重合，
作 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，垂足為G，則G為 SKIPIF 1 < 0 的重心，且 SKIPIF 1 < 0 ，
則正四面體的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，
由圖可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
依題可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
正四面體的外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
正四面體的內(nèi)切球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
線段MN的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三、填空題
11．（2022·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，將 SKIPIF 1 < 0 沿邊 SKIPIF 1 < 0 折起，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的體積為_(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)M，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由題意知 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，M為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
過(guò)D作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為N，因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以N點(diǎn)一定落在直線 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即M為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且M為 SKIPIF 1 < 0 外接圓圓心，
設(shè)三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心為O，則點(diǎn)O一定在過(guò)點(diǎn)M垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直線上，
設(shè)外接球半徑為R，則 SKIPIF 1 < 0 ,①,
作 SKIPIF 1 < 0 為垂足，則 SKIPIF 1 < 0 為矩形，故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,②,
②聯(lián)立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，二面角 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小都為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為_(kāi)_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】如圖，作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 大小均為 SKIPIF 1 < 0 知，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 距離相等，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓圓心，設(shè)半徑為 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)樵?SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的平行線 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱錐 SKIPIF 1 < 0 外接球球心 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上且位于平面 SKIPIF 1 < 0 下方，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中，過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 全等， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正三棱錐S－ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，△ABC的邊長(zhǎng)為2，則該正三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，正三棱錐中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
側(cè)面是正三角形，則正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 為正四面體．
將正四面體補(bǔ)成正方體（正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)S，A，B，C均為正方體的頂點(diǎn)），
則正四面體的外接球即為正方體的外接球，可得補(bǔ)成的正方體棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則其外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，所以該正三棱錐外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測(cè)（文））連接正方體的每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體（如圖所示），該正八面體內(nèi)切球與原正方體內(nèi)切球的表面積之比為_(kāi)_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，則正方體內(nèi)切球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
正八面體邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，它的內(nèi)切球球心為正方體中心 SKIPIF 1 < 0 ，記正八面體內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
將正八面體分為8個(gè)以 SKIPIF 1 < 0 為頂點(diǎn)的三棱錐，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該正八面體內(nèi)切球與原正方體內(nèi)切球的表面積之比為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在高為2的直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)橹比庵?SKIPIF 1 < 0 的高為2，設(shè)內(nèi)切球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)锳B⊥AC，所以設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 △ABC周長(zhǎng)的最小值即為面積的最小值，而 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) “ SKIPIF 1 < 0 ”時(shí)取等.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，底面△ABC周長(zhǎng)最小，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，所以此時(shí) SKIPIF 1 < 0
△ABC周長(zhǎng)的最小值： SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
16．（2022·廣西柳州·三模（文））已知對(duì)棱相等的四面體被稱為“等腰四面體”，它的四個(gè)面是全等的銳角三角形.設(shè)等腰四面體的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則該四面體的體積計(jì)算公式為， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．在等腰四面體A－BCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該四面體的內(nèi)切球表面積為_(kāi)________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】在 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
四面體的體積 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵△ABC為銳角三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為r，
∵四面體的四個(gè)面全等，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴內(nèi)切球表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數(shù)學(xué)史上著名的圓柱容球定理：圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比．可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值為_(kāi)_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，母線長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，圓錐內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
作出圓錐的軸截面如下圖所示：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則圓錐表面積 SKIPIF 1 < 0 ，圓錐內(nèi)切球表面積 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所求比值為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .

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