?專題8-1立體幾何中外接球內(nèi)切球問題
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專題8-1立體幾何中外接球內(nèi)切球問題 1
1
題型一：外接球公式法 1
題型二：外接球補(bǔ)型法 4
題型三：外接球單面定球心法 10
題型四：外接球雙面定球心法 18
題型五：內(nèi)切球問題 25
34
一、單選題 34
二、多選題 41
三、填空題 45


題型一：外接球公式法
【典例分析】

例題1．（2023·陜西西安·高三期末（理））長方體的三個相鄰面的面積分別是8，8，16，則該長方體外接球的體積為（????）
A．24π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，則，，，解得，，所以長方體外接球的半徑為，所以外接球的體積為.
故選：C.
例題2．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┮粋€棱長為2的正方體，其外接球的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)檎襟w的棱長為，所以其體對角線為，
所以外接球的直徑即為，即外接球的半徑，
所以外接球的體積；
故選：D
例題3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））若體積為12的長方體的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，且此長方體的高為2，則球的表面積的最小值為___________.
【答案】
【詳解】設(shè)長方體長和寬分別為，球的半徑為，所以
所以，故
所以表面積，當(dāng)時，等號成立.
即球的表面積的最小值為
故答案為：
【提分秘籍】

①長方體外接球：在長方體中，設(shè)一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長分別為：，，，則長方體外接球半徑
②正方體外接球：在正方體中，設(shè)邊長為，則正方體外接球半徑
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）長方體的過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別是2，4，4，則該長方體外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】長方體外接球直徑，所以該長方體外接球的表面積
故選：C.
2．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（文））已知長方體的外接球的表面積為，若，，則直線與直線所成角的余弦值為__________．
【答案】##
【詳解】設(shè)長方體的外接球半徑為，則，可得，
則，，
連接、，如下圖所示：

因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則，
故直線與直線所成角為或其補(bǔ)角，
由勾股定理可得，，
，
由余弦定理可得，
因此，直線與直線所成角的余弦值為.
故答案為：.
3．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知長方體的三條棱長分別為1，，，則該長方體外接球的表面積為___．（結(jié)果用含的式子表示）
【答案】
【詳解】由題意得，長方體的體對角線即為外接球直徑，設(shè)外接球半徑為，則，則外接球的表面積為.
故答案為：.

題型二：外接球補(bǔ)型法
【典例分析】
例題1．（2022·廣東·佛山一中高三階段練習(xí)）在四面體中，已知點(diǎn)，分別為棱，中點(diǎn)，且，，若，，則該四面體外接球半徑為__________．
【答案】
【詳解】解：根據(jù)長方體的面對角線特點(diǎn)，由對棱，且對棱中點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，，
則可構(gòu)造長方體使得四面體的頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合，由長方體的外接球即為四面體的外接球
如下圖所示：

設(shè)長方體的長、寬、高分別為
則，
所以外接球的半徑，即四面體的外接球半徑為.
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，

設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，
因此三棱錐外接球的直徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：A
例題3．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知三棱錐中，為等邊三角形，，，，，則三棱錐的外接球的半徑為___________；若?分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點(diǎn)，則線段的長度的最大值為___________.
【答案】???? 3????
【詳解】由已知可證明，，兩兩垂直且長度均為，

所以可將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示三棱錐的外接球就是正方體的外接球，

設(shè)外接球的半徑為，則.
設(shè)三棱錐外接球球心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，易知：，，三點(diǎn)均在上，且平面，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由等體積法：
，得，
將幾何體沿截面切開，得到如下截面圖：

兩圓分別為外接球與內(nèi)切球的大圓，注意到，，
∴，∴，兩點(diǎn)間距離的最大值為.
故答案為：3；
【提分秘籍】
①墻角型：由一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，可補(bǔ)形為長方體或正方體，再利用公式法求解外接球問題；
②對棱相等型：如果一個多面體的對棱都相等，可以補(bǔ)形為長方體，或正方體，再利用公式法求解外接球問題；

【變式演練】
1．（2022·天津市第二耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將，分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意知：三棱錐的外接球即為長方體的外接球，如圖所示：

又因?yàn)椋?br /> 所以長方體的體對角線長為，
所以外接球的半徑為：，
所以外接球的表面積為，
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，平面，為直角三角形，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由于三棱錐中，平面ABC，，，
故將該三棱錐置于一個長方體中，如下圖所示：

則體對角線即為外接球的直徑，
所以，
故三棱錐的外接球表面積為．
故選：D
3．（2022·四川省樂山沫若中學(xué)高二期中（理））已知三棱錐中， 面， 則三棱錐的外接球的體積為___________.
【答案】
【詳解】
由題可知,該三棱錐在長方體中，且三棱錐的四個頂點(diǎn)為長方體的四個頂點(diǎn)，
所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
由圖可知長方體的長寬高分別為，
所以體對角線長，
所以外接球的體積等于.
故答案為:.
4．（2022·湖北·高二期中）四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為_____．
【答案】50π
【詳解】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體A﹣BCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以為三邊的三角形作為底面，且分別以a，b，c為長、側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為a，b，c的長方體，
并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，
設(shè)球半徑為R，則有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，
∴4R2＝50，
∴球的表面積為．
故答案為：．

題型三：外接球單面定球心法
【典例分析】

例題1．（2022·福建·高三階段練習(xí)）在正三棱錐中，為的中心，已知，，則該正三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)側(cè)棱長為x，且易知

則，
因?yàn)椋瑒t,所以，解得，
所以，
設(shè)球心為M，則MP=MA=R，，
因?yàn)?，所，解得，所以表面積，
故選：A.
例題2．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））在三棱錐中，，平面，則三棱錐的外接球的體積為______．
【答案】##．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)底面的中心為, 連接,取的中點(diǎn)，連接.
由正弦定理得.
因?yàn)?br /> 因?yàn)锳C⊥平面PAB，平面PAB，所以,
所以四邊形是矩形，所以.
所以球的半徑為.
所以外接球O的體積為.
故答案為：

例題3．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）在四面體中，，，，設(shè)，則該幾何體的外接球的體積為_________
【答案】
【詳解】如圖,該四面體的外接球的球心O必經(jīng)過△ABC外接圓的圓心且垂直于平面ABC的直線上,且到A,P的距離相等.

在△ABC中,由余弦定理得：.
由正弦定理得：,解得：
而，所以.
即該幾何體的外接球的半徑.
所以外接球的體積為.
故答案為：.
【提分秘籍】
①第一步：選定一個底面（如圖底面三角形），求出三角形外接圓圓心
如圖：若為直角三角形，則外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)上；
若為正三角形，則外接圓圓心在重心位置；
若為普通三角形，則利用正弦定理,確定出的位置
②第二步：過點(diǎn)作出平面的垂線，如圖為，則球心在直線上；
③計(jì)算：在中，利用勾股定理求出外接球半徑


【變式演練】
1．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））設(shè)三棱錐滿足，且，當(dāng)三棱錐體積最大時，則三棱錐外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】中，，則在以為弦，所對圓周角為的圓上的一段優(yōu)弧上，如圖，易知當(dāng)即為等邊三角形時，到的距離最大為，
當(dāng)不變時，假設(shè)于，當(dāng)平面平面，從而平面時，點(diǎn)到平面的距離最大為，也即三棱錐的高最大，從而體積最大，
此時是中點(diǎn)，連接，，，
設(shè)是外心，則，，，
過作平面的垂線，則三棱錐的外接球球心在此垂線上，設(shè)是三棱錐的外接球球心，如圖，連接，
，易得，設(shè)外接球半徑為，即，
在直角梯形和直角三角形中，，
，解得，
球表面積為．
故選：B．

2．（2022·貴州·貴陽六中一模（理））已知三棱錐中，，，，則它的外接球的表面積為______.
【答案】##
【詳解】解：三棱錐中，，，，
所以，為等邊三角形，且，
所以
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，的外心為，連接，如圖，
由球的性質(zhì)可知平面，
所以，
因?yàn)?，在中，由正弦定理得?br /> 所以，即，
所以，三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：

3．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知空間四邊形的各邊長及對角線的長度均為6，平面平面，點(diǎn)M在上，且，那么外接球的半徑為______；過點(diǎn)M作四邊形外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為______.
【答案】???? ???? ##
【詳解】空1：
由題意知和為等邊三角形，取中點(diǎn)E，連，，則，
平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
同理可證：平面，
設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，
分別取、的中心、，連接，
則平面，平面，
∴，，則為平行四邊形，
由題意可得：，
又∵平面，平面，
∴，
故，
空2：
連，
∵，，，則H，O，M三點(diǎn)共線，
∴，
設(shè)過M作四邊形外接球的截面圓的半徑為r，O到該截面的距離為d，則，即，
∵，則有：
當(dāng)時，此時截面過球心，取到最大值，截面的面積最大為；
當(dāng)時，取到最小值，截面的面積最小為；
故截面面積最大值和最小值之比為.
故答案為：；.

4．（2022·山西運(yùn)城·高三期中）已知正四棱錐的底面是邊長為2的正方形，其內(nèi)切球的體積為，則該正四棱錐的高為___________，外接球的表面積為___________.
【答案】???? ????
【詳解】已知正四棱錐內(nèi)切球的體積為，設(shè)球體的半徑為，，解得，設(shè)正四面體的高為，如圖所示，

因?yàn)榍蚺c四棱錐相內(nèi)切，所以由等體積法得：，
在中，，，即，化簡得：，
解得，，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，外接球的球心為，在中，，解得，所以正四棱錐外接球的表面積為.
故答案為：①；②
題型四：外接球雙面定球心法
【典例分析】
例題1．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）已知菱形的各邊長為．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時．是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動，且始終保持，則點(diǎn)的軌跡的周長為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】取中點(diǎn)，則，
∴平面，，又，∴，作，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點(diǎn)且，設(shè)三棱錐外接球的球心為的中心分別為，易知平面平面，且四點(diǎn)共面，由題可得，，解Rt，得，又，則三棱錐外接球半徑，易知到平面的距離，

故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
∴截面圓的周長為，即點(diǎn)軌跡的周長為．
故選：C
例題2．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（理））在三棱錐中，平面平面，與都是邊長為6的正三角形，則該三棱錐的外接球的體積為________.
【答案】
【詳解】
取的中點(diǎn)為分別是正三角形和正三角形的重心，
是該三棱錐外接球的球心，連接,
則分別在上，平面，平面，，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平?br /> 所以平面，所以，同理可得，所以四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋?，，平面?br /> 所以平面，又平面，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
∵，
∴，
∴四邊形為正方形，∴，
在直角三角形中，球半徑
∴外接球體積為，
故答案為：
【提分秘籍】
①第一步：選定一個底面（如圖底面三角形），求出三角形外接圓圓心
如圖：若為直角三角形，則外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)上；
若為正三角形，則外接圓圓心在重心位置；
若為普通三角形，則利用正弦定理,確定出的位置
②第二步：過點(diǎn)作出平面的垂線；
③第三步：重復(fù)上述兩步，再做一條垂線；
④第四步：兩條垂線的交點(diǎn)為球心


【變式演練】
1．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動，且始終保持，則點(diǎn)的軌跡的周長為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】取中點(diǎn)，連接，
則，平面
∴平面，，又，
∴，
則三棱錐的高，
三棱錐體積為；
作，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，
則平面經(jīng)過點(diǎn)且，

設(shè)三棱錐外接球的球心為的中心分別為，
易知平面平面，且四點(diǎn)共面，
由題可得，，
解Rt ，得，又，
則三棱錐外接球半徑，
易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
∴截面圓的周長為，即點(diǎn)軌跡的周長為.
故答案為：.
2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四邊形是邊長為3的菱形且一個內(nèi)角為，把等邊沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則三棱錐體積最大時，其外接球半徑為______．
【答案】
【詳解】如圖，取中點(diǎn)G，連接

當(dāng)三棱錐體積最大時，平面平面，
此時平面，從而．
又四邊形是邊長為3且一個內(nèi)角為的菱形，為等邊三角形
所以與是邊長為3等邊三角形，
所以，
設(shè)分別為與的外接圓圓心，圓的半徑為 ，過點(diǎn)作平面的垂線，過點(diǎn)作平面的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O就是三棱錐的外接球球心，設(shè)球的半徑為，且此時分別為等邊與等邊的中心，
所以
由此得到四邊形為正方形，所以
所以，
所以外接球半徑，
所以三棱錐的體積最大時，其外接球半徑.
故答案為：.
3．（2022·福建·高二期中）已知菱形的各邊長為，如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，若則三棱錐的體積為___________，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動，且始終保持，則點(diǎn)的軌跡的周長為___________.

【答案】???? ???? ##
【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，平面，
∴平面，，
又，，
∴，則三棱錐的高，
三棱錐體積為；
作于，設(shè)點(diǎn)軌跡所在平面為，
則平面經(jīng)過點(diǎn)且，

設(shè)三棱錐外接球的球心為的中心分別為，
易知平面平面，且四點(diǎn)共面，
由題可得，，
，又，
則三棱錐外接球半徑，
易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
∴截面圓的周長為，即點(diǎn)軌跡的周長為.
故答案為：；.
題型五：內(nèi)切球問題
【典例分析】
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長為6，
且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；
設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，
則有，也即，解得：，
正三棱錐的體積，
也即，解得：，
所以，
故選：B.
例題2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故選：A.

例題3．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為12，球內(nèi)切于正四面體是球上關(guān)于球心對稱的兩個點(diǎn)，則的最大值為___________.
【答案】
【詳解】
設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，如圖1.
因?yàn)檎拿骟w的棱長為12，所以.
設(shè)球的半徑為.
因?yàn)?，所以，則.

，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，如圖2.圓的半徑為是關(guān)于點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，且.
.
，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時，等號成立.
，當(dāng)且僅當(dāng)時，
等號成立.
因?yàn)橐陨先〉葪l件可以同時成立，所以.
【提分秘籍】
①等體積法：將空間幾何體拆分為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)的多個幾何體，再利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，主要用于多面體內(nèi)切球問題；
例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍?，求球半?方法如下：

即：，可求出.
②獨(dú)立截面法：主要用于旋轉(zhuǎn)體中，通過獨(dú)立截面（過球心的截面），在截面中求出內(nèi)切球的半徑.
【變式演練】
1．（2022·浙江臺州·模擬預(yù)測）在四棱錐中，平面平面，為邊長為1的等邊三角形，底面為矩形.若四棱錐存在一個內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由于平面平面，為邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，
所以四棱錐的內(nèi)切球在等邊三角形的“正投影”是等邊三角形的內(nèi)切圓，
設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為，
則，解得，
所以內(nèi)切球的半徑為，其表面積為.
故選：D
2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖， 已知圓錐頂點(diǎn)為 ， 其軸截面 是邊長為 6 的為正三角形， 為底面的圓心， 為圓 的一條直徑， 球 內(nèi)切于圓錐 （與圓錐底面和側(cè)面均相切）， 點(diǎn) 是球 與圓錐側(cè)面的交線上一動點(diǎn)，則（????）

A．圓錐的表面積是 B．球的體積是
C．四棱錐體積的最大值為 D．的最大值為
【答案】BCD
【詳解】依題意，動點(diǎn)Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，連接，如圖，

正內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心都在線段上，連，
，則球O的半徑，顯然，，
，，
對于A，圓錐的表面積是，A錯誤；
對于B，球O的體積是，B正確；
對于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為，
則當(dāng)四邊形AEBF的面積最大時，四棱錐的體積最大，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，
則四棱錐體積的最大值為，C正確；
對于D，因，則有，即，因此，
由均值不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，D正確.
故選：BCD
3．（2023·江西江西·高三階段練習(xí)（理））如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為，則模型中九個球的體積和為__________.

【答案】
【詳解】如圖所示正四面體，設(shè)棱長為，高為，為正四面體內(nèi)切球的球心，延長交底面于，是等邊三角形的中心，過作交于，連接，

則為正四面體內(nèi)切球的半徑，
因?yàn)椋?，?br /> 所以，
所以，解得，
所以正四面體內(nèi)切球的體積，
由圖可知最大球內(nèi)切于高的正四面體中，最大球半徑，
故最大球體積為；
中等球內(nèi)切于高的正四面體中，中等球半徑，
故中等球的體積為；
最小求內(nèi)切于高的正四面體中，最小球半徑，
故最小求的體積為；
所以九個球的體積和，
故答案為：.
4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.

【答案】
【詳解】作正方體的對角面，得如圖所示的截面圖:其中AB,CD為正方體的棱，AD,BC為正方體的面對角線，AC為體對角線，

球心和在上，過分別作的垂線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).
設(shè)小球半徑為r，大球半徑為R,則由題意知，
得，
∴，
∴，即兩球半徑之和為.

一、單選題
1．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高三期中）在三棱錐，若平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積是（????）
A．100π B．50π C．144π D．72π
【答案】A
【詳解】如圖，將三棱錐放于一個長方體內(nèi)：

則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，∴PB為三棱錐P－ABC外接球的直徑，
∵，
∴外接球的表面積為：．
故選：A.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體. 若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，
根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，
所以是外接球的球心，且半徑，
所以外接球的體積為.
故選：A

3．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑，上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，即：圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積比為定值，則該定值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，所以 .
故選：B
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知球是棱長為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】平面截球的截面為的內(nèi)切圓，

正方體棱長為1，.
內(nèi)切圓半徑.
截面面積為：.
故選：C.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一圓臺高為7，下底面半徑長4，此圓臺外接球的表面積為，則此圓臺的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
如圖為圓臺及其外接球的軸截面，為外接球球心，，為等腰梯形的下底和上底的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，所以外接球的半徑為，圓臺下底面半徑為4，所以，，則，，即圓臺上底面半徑為3，所以圓臺的體積為.
故選：C.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）1822年，比利時數(shù)學(xué)家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個內(nèi)切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】在中，設(shè)，

，，，
，
， ∴長軸長，，
則離心率.
故選：A
7．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）在正四棱臺中，上?下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，則該正四棱臺的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖：連接，記其交點(diǎn)為，
則為正方形的外接圓的圓心，連接記其交點(diǎn)為，
由正四棱臺的性質(zhì)可得平面，
設(shè)該正四棱臺的外接球的球心為，由球的截面性質(zhì)可得平面，
所以球心在直線上，設(shè)，
則，，，
所以，由已知，，，
因?yàn)榈酌?，都為正方形可得，?br /> 過點(diǎn)作，垂足為，則，
又，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以正四棱柱的外接球的半徑為5，其外接球的表面積，
故選：C.

8．（2022·天津和平·二模）已知圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長為a的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長a為（????）
.
A． B． C．3 D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為，球的半徑為，圓錐的底面半徑為R，軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為Q，圓錐的軸截面如圖所示，

由已知可得， 所以△SAB為等邊三角形，故點(diǎn)P是△SA B的中心，
連接BP，則BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，
解得，故正四面體的外接球的半徑.
又正四面體可以從正方體中截得，如圖所示，

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長為時，截得它的正方體的棱長為，而正四面體的四個頂點(diǎn)都在正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，
所以，解得,
故選：A
二、多選題
9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（????）

A．外接球的表面積為
B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
C．過點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為2
D．設(shè)母線中點(diǎn)為，從點(diǎn)沿圓錐表面到的最近路線長為
【答案】ABD
【詳解】設(shè)母線長為，側(cè)面積為，所以.
所以，為等邊三角形.
則圓錐的軸截面的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，其外接圓的半徑為圓錐外接球的半徑，如圖1

圖1
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，
則，
又，
所以，.
由正弦定理可得，在中，，即，則.
所以，外接球的表面積為，A正確.
因?yàn)?，，，所以，B項(xiàng)正確.
顯然，過點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面均為腰長為等腰三角形，如圖2，在底面圓上任取一點(diǎn)，易知.
所以，，即最大面積為，C項(xiàng)錯誤.

圖2
將圓錐側(cè)面沿剪開，得到的扇形的半徑，弧長，
則扇形的圓心角，如圖3所示.

圖3
連結(jié)，即為最近路線，在中，有，，
所以，，D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高三期中）已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動點(diǎn)M、N，若線段MN的最小值為，則（????）
A．正四面體的外接球的表面積為 B．正四面體的內(nèi)切球的體積為
C．正四面體的棱長為12 D．線段MN的最大值為
【答案】BC
【詳解】依題作出圖形，如下：

設(shè)正四面體的棱長為a，
則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合，則它的外接球和內(nèi)切球的球心重合，
作平面BCD，垂足為G，則G為的重心，且，
則正四面體的高為，
設(shè)正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，
由圖可知，，解得，
，
依題可得，即，解得，故C正確；
正四面體的外接球的表面積為，故A錯誤；
正四面體的內(nèi)切球的體積為，故B正確；
線段MN的最大值為，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
11．（2022·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）在四邊形中， ， 為等邊三角形，將沿邊 折起，使得，則三棱錐外接球的體積為______.
【答案】##
【詳解】取中點(diǎn)M，連接，

因?yàn)?，所?,
為等邊三角形，則，而，
故，,
由題意知為等邊三角形，，M為中點(diǎn)，
故,,而平面,
故平面,又平面 ,故平面平面,
過D作平面的垂線，垂足為N，因?yàn)槠矫嫫矫?
所以N點(diǎn)一定落在直線上，則,
,又，故，
即M為的中點(diǎn)，且M為外接圓圓心，
設(shè)三棱錐外接球的球心為O，則點(diǎn)O一定在過點(diǎn)M垂直于平面的直線上，
設(shè)外接球半徑為R，則,①,
作為垂足，則為矩形，故 ,
所以,②,
②聯(lián)立解得，
故答案為：
12．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測）在三棱錐中，二面角和的大小都為，，，，則三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為__________.
【答案】
【詳解】如圖，作平面，垂足為，過作，垂足為，

所以為二面角的平面角，由，大小均為知，點(diǎn)到直線距離相等，即點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心，設(shè)半徑為則，
又因?yàn)樵谥校?，，?br /> 所以為直角三角形，
，
所以，
設(shè)中點(diǎn)為，過作直線的平行線，
所以三棱錐外接球球心在直線上且位于平面下方，
在直角中，過作交于，作交于，
連接，所以與全等，，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，
所以，
所以，
所以在直角中，，
設(shè)，
所以
又因?yàn)椋?br /> 所以，
解得，
所以，
設(shè)內(nèi)切球半徑為，
因?yàn)?
所以，
所以，
所以,
故答案為：.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正三棱錐S－ABC中，，△ABC的邊長為2，則該正三棱錐外接球的表面積為______．
【答案】
【詳解】，正三棱錐中，所以，
側(cè)面是正三角形，則正三棱錐為正四面體．
將正四面體補(bǔ)成正方體（正四面體的四個頂點(diǎn)S，A，B，C均為正方體的頂點(diǎn)），
則正四面體的外接球即為正方體的外接球，可得補(bǔ)成的正方體棱長為，
則其外接球的半徑，所以該正三棱錐外接球的表面積為．
故答案為：．

14．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（文））連接正方體的每個面的中心構(gòu)成一個正八面體（如圖所示），該正八面體內(nèi)切球與原正方體內(nèi)切球的表面積之比為__________.

【答案】
【詳解】解：不妨設(shè)正方體邊長為2，則正方體內(nèi)切球半徑，
正八面體邊長為，它的內(nèi)切球球心為正方體中心，記正八面體內(nèi)切球半徑為，
將正八面體分為8個以為頂點(diǎn)的三棱錐，
故，
解得，
所以該正八面體內(nèi)切球與原正方體內(nèi)切球的表面積之比為.
故答案為：
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在高為2的直三棱柱中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長的最小值為___________.
【答案】##
【詳解】因?yàn)橹比庵母邽?，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，所以，所以，
又因?yàn)锳B⊥AC，所以設(shè)，所以.，因?yàn)?，所?△ABC周長的最小值即為面積的最小值，而，當(dāng)且僅當(dāng) “”時取等.
當(dāng)時，底面△ABC周長最小，所以，所以
，所以此時
△ABC周長的最小值：.
故答案為：.
16．（2022·廣西柳州·三模（文））已知對棱相等的四面體被稱為“等腰四面體”，它的四個面是全等的銳角三角形.設(shè)等腰四面體的三組對棱長分別為a、b、c，則該四面體的體積計(jì)算公式為，，其中．在等腰四面體A－BCD中，，，，則該四面體的內(nèi)切球表面積為_________．
【答案】##
【詳解】在中，設(shè)，
由余弦定理得，
，
∴，
四面體的體積，
∵△ABC為銳角三角形，∴，
，，
，
設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為r，
∵四面體的四個面全等，則，解得，
∴內(nèi)切球表面積為.
故答案為：.
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數(shù)學(xué)史上著名的圓柱容球定理：圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比．可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值為________．
【答案】
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐內(nèi)切球半徑為，
作出圓錐的軸截面如下圖所示：

設(shè)，，，
，，，又，
，，
，
則圓錐表面積，圓錐內(nèi)切球表面積，
所求比值為，
令，則，
當(dāng)時，取得最大值.
故答案為：.




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