1.答題前，請務必將自己的姓名?準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置.
2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設全集，集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】直接根據(jù)補集和交集的定義求解即可.
【詳解】全集，集合，集合，
，
.
故選：B
2. 若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【正確答案】A
【分析】先根據(jù)條件求出復數(shù)的代數(shù)形式，進而直接求模即可.
【詳解】，
，
.
故選：A.
3. 已知向量，若與平行，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先將與的坐標表示出來，再根據(jù)向量平行的充要條件列出方程，解方程即可求解．
【詳解】已知向量，
，，
由與平行，有，解得.
故選：B
4. 袋中裝有大小相同的2個白球和5個紅球，從中任取2個球，則取到的2個球顏色相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用組合數(shù)及古典概型的概率的計算公式即可求解.
【詳解】設“取到的2個球顏色相同”為事件為,則
，
所以取到的2個球顏色相同的概率為.
故選：D.
5. 已知圓過點，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】利用已知弦長先求圓心坐標，然后可求過圓心與直線L垂直的直線的方程.
【詳解】由題意，設所求的直線方程為，并設圓心坐標為，
則由題意知： 解得或，
又因為圓心在軸的正半軸上，所以，故圓心坐標為，
∵圓心在所求的直線上，所以有，即，
故所求直線方程為．
故選∶A．
6. 在某校的“迎新年”歌詠比賽中，6位評委給某位參賽選手打分，6個分數(shù)的平均分為分，方差為，若去掉一個最高分分和一個最低分分，則剩下的4個分數(shù)滿足（ ）
A. 平均分分，方差B. 平均分分，方差
C. 平均分分，方差D. 平均分分，方差
【正確答案】C
【分析】利用平均數(shù)和方差公式即可求解.
【詳解】設這個數(shù)分別為，平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，則
由題意可知，，
所以，即，
所以，
所以，即，
所以，
所以剩下的4個分數(shù)滿足平均分分，方差.
故選：C.
7. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】由已知等式解出，通過構造函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小.
【詳解】，可得由已知得，，，
比較和，構造函數(shù)，
當，，在上單調(diào)遞增，故，即.
同理比較和，構造函數(shù)，
當，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.
綜上.
故選：A.
8. 如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，分別是底面與側(cè)面的中心，為該正方體表面上的一個動點，且滿足，記點的軌跡所在的平面為，則過四點的球面被平面截得的圓的周長是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，找到球心O和點的軌跡，求出到平面的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長.
【詳解】取面對角線中點，連接，，，，分別在上，且，
以為原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，， ，，，，，
，，，，
三棱錐中， 為直角三角形，所以，
因此點即為三棱錐的外接球球心，球半徑長為，
，，，，，共面，
，，， ，
平面，，平面，平面，
點的軌跡為矩形的四邊，如圖所示，
，為平面的法向量，
則球心到平面的距離為，
球面被平面截得的圓的半徑，圓的周長為.
故選：B
本題找球心O考查學生的空間想象能力，其余的計算和證明問題，則利用空間向量法.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 若實數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】運用不等式的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差比較法逐一判斷即可.
【詳解】A：由，因此本選項不正確；
B：由，因此本選項正確；
C：因為，所以，因此本選項正確；
D：因為，所以
，因此本選項正確，
故選：BCD
10. 在正四棱臺中，分別是棱的中點，則（ ）
A. 與是異面直線
B. 與平面所成的角為
C. 正四棱臺的體積為
D. 正四棱臺的表面積為
【正確答案】BC
【分析】對于A：根據(jù)已知結(jié)合棱臺的性質(zhì)得出與交于一點，即可判斷；
對于B：根據(jù)已知設在平面中的投影為，則平面，且，即與平面所成的角為，即可計算得出，即可得出答案來判斷；
對于C：根據(jù)正四棱臺的體積求法得出即可判斷；
對于D: 根據(jù)正四棱臺的表面積求法得出即可判斷；
【詳解】對于A：
為正四棱臺，
四條側(cè)棱所在直線交于一點，記為，
分別是棱中點，
也過點，
，
與屬于同一平面，故A錯誤；
對于B：
為正四棱臺，
點在平面上的射影一定在上，記為，則平面，且，
與平面所成的角為，
，
，，
，
，
，故B正確；
對于C：
根據(jù)選項B中可得，即正四棱臺的高，
設分別為正四棱臺上、下底面積，
，故C正確；
對于D：
正四棱臺是四個全等的等腰梯形，
梯形的上、下底分別為1、3，高為，
則面積為，
根據(jù)選項C可得，，
則正四棱臺的表面積為，
故D錯誤；
故選：BC.
11. 設為拋物線的焦點，點在上且在軸上方，點，，若，則（ ）
A. 拋物線的方程為
B. 點到軸的距離為8
C. 直線與拋物線相切
D. 三點在同一條直線上
【正確答案】ACD
【分析】由，先求設點坐標，得拋物線方程，再驗證每個選項.
【詳解】拋物線的焦點，由，有，解得，
所以拋物線的方程為，A選項正確；
，點在拋物線上且在軸上方，到焦點距離為8，到準線距離也為8，所以點到軸的距離為6，B選項錯誤；
點在拋物線上且在軸上方，到軸的距離為6，有點橫坐標為6，代入拋物線方程，可得，則直線的方程為，
由消去得，，所以直線與拋物線相切，C選項正確；
由，，，得，則三點在同一條直線上，D選項正確.
故選：ACD.
12. 已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)分別為，若，，則（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 是周期函數(shù)
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】通過函數(shù)的奇偶對稱性和圖像的平移，結(jié)合導數(shù)的運算，得到函數(shù)的對稱性，得到周期，再由周期計算函數(shù)值驗證選項.
【詳解】由知函數(shù)為偶函數(shù)，又，
，則的圖像關于軸對稱，
所以的圖像關于直線對稱，有，即，
設，則，（c為常數(shù)），
，，所以；
由，兩邊同時求導，有，可知為奇函數(shù)，
函數(shù)仍然是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，
又，所以的圖像關于點中心對稱，有；
函數(shù)滿足以上函數(shù)的性質(zhì)，但不是奇函數(shù)，A選項錯誤；
和，得，令，則有，所以函數(shù)為周期函數(shù)，B選項正確；
為的一個周期，則，所以，，所以，D選項正確；
由周期為4知也是的一個周期，所以，即，即，C選項正確.
故選：BCD.
此題通過函數(shù)的奇偶性和對稱性，結(jié)合導數(shù)的運算，尋找函數(shù)圖像的對稱中心是解題關鍵，原函數(shù)與導函數(shù)圖像的聯(lián)系，奇偶性的聯(lián)系，都是解題的思路.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.
【正確答案】
【分析】利用二項式定理求所需項的系數(shù)即可得出.
【詳解】的展開式中的系數(shù)，是的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)之積，
即
故答案：
14. 中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則此人在第五天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.
【正確答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列前n項和公式求出第1天行走的路程，即可計算作答.
【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，
令數(shù)列的前n項和為，則，而，因此，解得，
所以此人在第五天行走的路程（里）.
故12
15. 若函數(shù)在區(qū)間上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性利用轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.
【詳解】，
由函數(shù)在區(qū)間上有3個零點，可以轉(zhuǎn)化為直線和函數(shù)在上有三個不同的交點，
因為，所以，
當時，即當時，函數(shù)單調(diào)遞增，
函數(shù)值從增加到；
當時，即當時，函數(shù)單調(diào)遞減，
函數(shù)值從減少到；
當時，即當時，函數(shù)單調(diào)遞增，
函數(shù)值從增加到，
當時，即當時，函數(shù)單調(diào)遞減，
函數(shù)值從減小到，
所以函數(shù)在上的函數(shù)圖象如下圖所示：
因此要想直線和函數(shù)在上有三個不同的交點，
只需，
故
16. 已知橢圓的左?右焦點分別為是上的一個動點，直線分別交于兩點.設，則當取最小值時，的離心率為__________.
【正確答案】##
【分析】設，則，設，聯(lián)立與的方程根據(jù)韋達定理結(jié)合條件可得，進而得出，然后根據(jù)基本不等式得出取最小值時的值，即可根據(jù)橢圓離心率的計算得出答案.
【詳解】設，則
所以，
故可設，
則點坐標滿足，
消去整理得，
故，
設，
同理可得，
得，
所以，
又，
故，
而，
故，即，
當且僅當，即時取等號，
此時，離心率為.
故答案為.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 記為數(shù)列的前項和，已知，且對于任意，都有.
（1）求實數(shù)及；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）令中的，得出，根據(jù)已知即可得出，則，當時，，兩式相減根據(jù)數(shù)列和與通項的關系得出，注意驗證符不符合求出的式子；
（2）根據(jù)小問一與等比數(shù)列求和公式得出，即可根據(jù)分組求和法得出答案.
【小問1詳解】
在中令，得，即，
又，則，
所以，
當時，，
得，即，
又，
故；
【小問2詳解】
因為，
所以，
故得.
18. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知三角形，角的平分線交邊于點.
（1）證明：；
（2）若，求的周長.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）由結(jié)合三角形面積公式和余弦定理，解得，再根據(jù)角平分線和面積公式由得，化簡既可；
（2）由內(nèi)角平分線定理結(jié)合（1）中的結(jié)論，求出，再由余弦定理求，可得三角形周長.
【小問1詳解】
由可知，，
所以，又，故，如圖所示，
所以，得，
化簡整理得；
【小問2詳解】
因為，故，所以，又，
化簡得，解得，又，
故，所以的周長為.
19. 為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識競賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個車間中各抽取了100位職工的競賽成績作為樣本.對甲車間100位職工的成績進行統(tǒng)計后，得到了如圖所示的成績頻率分布直方圖.
（1）估算甲車間職工此次“反詐”知識競賽的合格率；
（2）若將頻率視為概率，以樣本估計總體.從甲車間職工中，采用有放回的隨機抽樣方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的結(jié)果相互獨立，記被抽取的3人次中成績合格的人數(shù)為.求隨機變量的分布列；
（3）若乙車間參加此次知識競賽的合格率為，請根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為此次職工“反計”知識競賽的成績與其所在車間有關?
2×2列聯(lián)表
附參考公式：①，其中.
②獨立性檢驗臨界值表
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析 （3）表格見解析，有
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)二項分布的分布列的解題步驟，可得答案；
（3）由題意，補全列聯(lián)表，利用獨立性檢驗的解題步驟，可得答案.
【小問1詳解】
根據(jù)頻率分布直方圖可求得甲車間此次參加“反詐”知識競賽的合格率
，即.
【小問2詳解】
由題意可知，由于每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，故，
所以，
故隨機變量的分布列為
【小問3詳解】根據(jù)題中統(tǒng)計數(shù)據(jù)可填寫列聯(lián)表如下，
所以有的把握認為“此次職工‘反計’知識競賽的成績與職工所在車間有關系”.
20. 如圖，在三棱錐中，平面平面 ，，點在棱上，且.
（1）證明：平面；
（2）設是的中點，點在棱上，且平面，求二面角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可證得，再利用面面垂直的性質(zhì)的定理可證得結(jié)論成立；
（2）推導出點為的中點，然后以點為坐標原點，以、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線作軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
【小問1詳解】
證明：由得，，，
，由余弦定理可得，
，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
平面.
【小問2詳解】
解：因為平面，平面，平面平面，故，
而是的中點，故為中位線，得，
又，故中點，
由（1）可知平面，以點為坐標原點，以、所在直線分別為、軸，
過點且垂直于平面的直線作軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設點，其中，，，，
所以，，解得，
則，解得，故點，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設平面的法向量為，，
則，取，可得，
所以，.
由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.
21. 已知雙曲線過點，左?右頂點分別是，右焦點到漸近線的距離為，動直線與以為直徑的圓相切，且與的左?右兩支分別交于兩點.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記直線的斜率分別為，求的最小值.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）由點在雙曲線上，以及焦點到漸近線的距離得出雙曲線C的方程；
（2）由直線與圓的位置關系得出，聯(lián)立直線和雙曲線方程，由韋達定理、斜率公式得出，結(jié)合得出的最小值.
【小問1詳解】
因為點在雙曲線上，故，即，
而雙曲線的漸近線方程為，到一條漸近線的距離為，
所以，解得，又，
所以，故所求雙曲線的方程為；
【小問2詳解】
因為雙曲線的方程為，
所以，故以為直徑的圓為
，而直線是其切線，所以應滿足，得，
而坐標滿足，消去得，
求得，而，故，由此可得（*），
由于分別在的左?右兩支，故，因此，
所以，將代入整理得，
又，故，顯然，
由題意得，故，
所以，
將及代入，求得，而，
故，
又，故，
即.
22. 已知函數(shù).
（1）若曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求實數(shù)的值；
（2）證明：若，則.
【正確答案】（1）；
（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的零點存在性原理，結(jié)合函數(shù)導數(shù)的性質(zhì)、通過構造新函數(shù)進行求解即可，
【小問1詳解】
，切點為，則切線方程為，當時，
在中，分別令得該切線分別與兩坐標軸交于兩點，故三角形面積為，
因此，解得，
當時，，顯然該直線與兩坐標軸圍不成三角形，
綜上所述：；
【小問2詳解】
①當，所以；
②當，要證，即證，令，，令，
，所以在上單調(diào)遞增.取，
使得，即，則，
又，所以由零點存在定理知存在唯一零點，
即有唯一的極值點且為極小值點.又，
即，故，令，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
綜上所述，當，則.
關鍵點睛：根據(jù)函數(shù)的極值定義、函數(shù)零點存在性原理是解題的關鍵.
甲車間
乙車間
合計
合格人數(shù)
不合格人數(shù)
合計
0
1
2
3
甲車間
乙車間
合計
合格人數(shù)
80
60
140
不合格人數(shù)
20
40
60
合計
100
100
200

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