注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已如點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（ ）
A．B．C．D．
3．直線與直線平行，則的值為（ ）
A．B．C．D．或
4．在四面體中，，點(diǎn)在上，且,為中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程是( )
A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
6．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列說法中，正確的有（ ）
A．過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為
B．直線在軸的截距是2
C．直線的傾斜角為30°
D．過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為
10．已知點(diǎn)圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A. 點(diǎn)到直線的距離小于 B. 點(diǎn)到直線的距離大于
C. 當(dāng)最小時(shí)， D. 當(dāng)最大時(shí)，
11．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．存在點(diǎn)，使平面
C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為
D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為 .
13．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是___________.
14．為了測(cè)量一斜坡的坡度，小明設(shè)計(jì)如下的方案：如圖，設(shè)斜坡面與水平面的交線為，小明分別在水平面和斜坡面選取兩點(diǎn)，且，到直線的距離，到直線的距離，，則該斜坡的坡度是 .
四．解答題：本小題共5題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本題滿分13分）
已知直線的方程為：．
（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
16．（本題滿分15分）
記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
17．（本題滿分15分）
如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．
（1）求證：平面ABC；
（2）若，求二面角的正弦值．
18.（本題滿分17分）
已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)在(1)的條件下，求的取值范圍；
(3)若，求圓的面積．
19.（本題滿分17分）
已知函數(shù)，（，為常數(shù)）．
(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)記，若與在有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，且，求證：
2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市桐鄉(xiāng)市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試題
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】D
設(shè)直線的傾斜角為，，
則，.故選：D.
2．已如點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】A
由，，，得，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則即,
取，則，故，
則與共線的向量也是法向量，
經(jīng)驗(yàn)證，只有A正確.故選：A．
3．直線與直線平行，則的值為（ ）
A．B．C．D．或
【正確答案】C
依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，
，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，
當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，
所以的值為.故選：C
4．在四面體中，，點(diǎn)在上，且,為中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【正確答案】B
點(diǎn)在線段上，且，為中點(diǎn)，
，，
．故選：B．
5．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程是( )
A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析 圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，
則(1,0)關(guān)于y＝－x對(duì)稱的點(diǎn)為(0，－1)，
故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝1.故選A．
答案 A
6．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（ B ）
A．B．C．D．
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
7．直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】D
直線過點(diǎn).
如圖，由題意，直線與線段總有公共點(diǎn)，
即直線以直線為起始位置，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線即可，
直線的斜率為，直線的斜率分別為，
于是或，
而，因此或，
所以或，解得或，
即a的取值范圍是.故選：D.
8．若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點(diǎn)的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．
【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點(diǎn)的直線，
由曲線，可得，
所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，
由圖可得，即的取值范圍是．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列說法中，正確的有（ ）
A．過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為
B．直線在軸的截距是2
C．直線的傾斜角為30°
D．過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為
【正確答案】CD
A選項(xiàng)，直線過點(diǎn)且在軸，軸截距相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，直線在軸上的截距是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為，D選項(xiàng)正確.故選：CD
10．已知點(diǎn)圓上，點(diǎn)，，則（ ）
A. 點(diǎn)到直線的距離小于 B. 點(diǎn)到直線的距離大于
C. 當(dāng)最小時(shí)， D. 當(dāng)最大時(shí)，
【正確答案】ACD
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如下圖所示：
當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
11．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）

A．
B．存在點(diǎn)，使平面
C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為
D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值
【正確答案】ABD
依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
，設(shè)，，
所以，所以，A選項(xiàng)正確.
點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
要使平面，平面，
則，解得，
所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.
若直線與直線所成角為，
則，
，無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為 .
【正確答案】
直線斜率為，故與之垂直的直線斜率為，
故過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.
故
13．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是___________.
【正確答案】
【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
圓的圓心，半徑，
圓心到直線的距離為，
所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值，
點(diǎn)P到直線的距離的最小值，
所以面積的最大值為，
面積的最小值為，
所以面積的取值范圍是，
故
14．為了測(cè)量一斜坡的坡度，小明設(shè)計(jì)如下的方案：如圖，設(shè)斜坡面與水平面的交線為，小明分別在水平面和斜坡面選取兩點(diǎn)，且，到直線的距離，到直線的距離，，則該斜坡的坡度是 .
【正確答案】
設(shè)斜坡的坡角為，由題意知 與 的夾角為，
因?yàn)椋?br>所以，
即，所以，
因?yàn)槭卿J角，所以.故
四．解答題：本小題共5題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知直線的方程為：．
（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
【正確答案】（1）證明見解析；（2）
（1）證明：直線的方程為：
提參整理可得：．
令，可得，
不論為何值，直線必過定點(diǎn).
（2）設(shè)直線的方程為．
令 則，
令．則，
直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最小．
此時(shí)的方程為．
16．記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，
可得，
因?yàn)椋裕?br>從而，
又因?yàn)?，即?br>注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
17．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．
（1）求證：平面ABC；
（2）若，求二面角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見解析；（2）
（1）如圖，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，
所以為等邊三角形，所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面?br>所以平面ABC．
（2）由（1）的過程可知，可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
不妨設(shè)，由題可知，，，，．
由，可得．
設(shè)平面的法向量為，
而，，則有,
取，得．
設(shè)平面的法向量為，
而，，
則有，
取，得．
設(shè)平面與平面夾角為，
則，所以，
即平面與平面夾角的正弦值為．
18.已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)在(1)的條件下，求的取值范圍；
(3)若，求圓的面積．
【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：圓的圓心為，
半徑，其中，
圓心到直線的距離，
，解得；
（2）
（3）解：設(shè)，
聯(lián)立，消得，
，
則，
又，
因?yàn)?，所以?br>即，
即，
所以，解得滿足，
此時(shí)圓的半徑，
所以圓的面積為.
19.已知函數(shù)，（，為常數(shù)）．
(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)記，若與在有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，且，求證：．
【正確答案】(1)
(2)或
(3)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>又，
所以是偶函數(shù)，故.
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)開口向下，對(duì)稱軸為，且，
當(dāng)，即或時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，且，，
則的圖像如下：

顯然，當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，且，，
則的圖像如下：

顯然，當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，不滿足題意；
綜上：或.
（3）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，則，易知在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則，易知在上單調(diào)遞增，
因?yàn)榕c在有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，
所以與在與各有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
又，所以，且，，
則，，故，即，則，
要證，即證，即證，
只需證，即證，
即證，即證，
因?yàn)?，所以，則，
所以顯然成立，證畢

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