2024-2025學年云南省昆明市高三上冊10月月考數學質量檢測試題（含解析）-試卷下載-教習網

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設全集，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）
B.
C. D.
2. 已知復數在復平面內對應的向量為，為坐標原點，則為（）

A. 1B. C. D. 2
3. 一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（）
A. B. C. D.
4. 已知直線與平行，且過點，則（）
A. B. 3C. D. 2
5. 若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）
A. B.
C. D.
6. 已知在四面體中，，，，，為BC的中點，若.則（）

A. B. C. D. 3
7. 如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則直線和夾角的余弦值為（）
A. B. C. D.
8. 已知點，直線，則到的距離的最大值為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 直線：（），直線：．下列命題正確有（）
A. ，使得B. ，使得
C. ，與都相交D. ，使得坐標原點到的距離為2
10. 已知，則下列說法正確的是（）
A. 是平面的一個法向量B. 四點共面
C. D.
11. 已知圓，點是圓上的點，直線，則（）
A. 直線與圓相交弦長
B. 的最大值是
C. 圓上恰有3個點到直線距離等于1
D. 過點向圓引切線，為切點，則最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若點為直線上的動點，則的最小值為______．
13. 已知直線過點和點，則點到直線距離為____________.
14. 人臉識別在現今生活中應用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”．其定義如下：設，，則A，B兩點間的曼哈頓距離.已知，若點滿足，點N在圓上運動，則的最大值為______
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的頂點坐標為.
（1）若點是邊上的中點，求直線的方程；
（2）求邊上的高所在的直線方程.
16. 如圖，四棱錐底面是平行四邊形，平面，，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的大小．
17. 在長方體中，.
（1）證明：平面面；
（2）若，求二面角的余弦值.
18. 已知圓過兩點，，且圓心在直線上．
（1）求圓的標準方程；
（2）設，過點作兩條互相垂直的直線和直線，交圓于、兩點，交圓于、兩點，求的最小值和四邊形面積的最大值．
19. 已知兩個定點，動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線．
（1）求曲線的方程；
（2）若與曲線交于不同，兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；
（3）若是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為、，設點在圓上，求點到直線距離的最大值．
2024-2025學年云南省昆明市高三上學期10月月考數學質量
檢測試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設全集，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）
B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】
由圖可得陰影部分表示,進而利用交集的定義求解即可
【詳解】由題,,由圖,圖中陰影部分表示,
所以,
故選:D
本題考查集合的交集運算,考查利用韋恩圖求集合
2. 已知復數在復平面內對應的向量為，為坐標原點，則為（）

A. 1B. C. D. 2
【正確答案】B
【分析】
由圖,,進而由復數的模的定義求解即可
【詳解】由圖,,所以,
故選:B
本題考查復數的模,考查復數在復平面上的表示
3. 一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用橢圓的定義求解即可.
【詳解】橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，故，
且，故，
所以橢圓的標準方程為.
故選：B
4. 已知直線與平行，且過點，則（）
A. B. 3C. D. 2
【正確答案】D
【分析】根據兩直線平行的條件求出，將代入直線求出即可.
【詳解】因為直線與直線平行，
所以，解得，
又直線過，則，解得，
經驗證與不重合，所以.
故選：D.
5. 若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】運用弦長結合垂徑定理求出圓的半徑即可.
【詳解】如圖，過點 C 作CD⊥AB 于D，依題意，因為故|CD|=3，
從而，圓的半徑為故所求圓的方程為
即
故選：C
6. 已知在四面體中，，，，，為BC的中點，若.則（）

A. B. C. D. 3
【正確答案】B
【分析】根據空間向量的基本定理與應用即可求解.
【詳解】因為，為BC的中點，
所以，
又，則，，，
所以.
故選：B.
7. 如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則直線和夾角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由正方體結構特征證得，化為求直線和夾角余弦值，應用余弦定理求結果.
【詳解】連接，由正方體的性質，知也是的中點，且，即，
又，故為平行四邊形，則，
所以直線和夾角，即為直線和夾角，
若正方體棱長為2，則，
所以，即直線和夾角余弦值為.
故選：C
8. 已知點，直線，則到的距離的最大值為（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先確定直線過定點，由時點線距離最大，再應用兩點距離公式求最大值.
【詳解】直線可化為，
聯立，即直線過定點，
要使到的距離的最大，只需，即距離最大值為.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 直線：（），直線：．下列命題正確的有（）
A. ，使得B. ，使得
C. ，與都相交D. ，使得坐標原點到的距離為2
【正確答案】BD
【分析】由斜率相等計算判斷AC；由斜率互為負倒數計算判斷B；由點到直線距離公式列式計算判斷D.
【詳解】對于A，當，即時，直線與重合，A錯誤；
對于B，由，即時，與斜率互為負倒數，，B正確；
對于C，由選項A知，當時，與重合，C錯誤；
對于D，由，得，，此方程有解，D正確.
故選：BD
10. 已知，則下列說法正確的是（）
A. 是平面的一個法向量B. 四點共面
C. D.
【正確答案】AD
【分析】根據向量垂直，即可結合法向量定義求解A，根據共面定理即可求解B，根據向量共線即可求解C，由模長公式即可求解D.
【詳解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一個法向量，故A正確；
設，則，無解，所以四點不共面，故B錯誤；
，所以與不平行，故C錯誤；
，故D正確；
故選：AD.
11. 已知圓，點是圓上點，直線，則（）
A. 直線與圓相交弦長
B. 的最大值是
C. 圓上恰有3個點到直線的距離等于1
D. 過點向圓引切線，切點，則最小值為
【正確答案】ACD
【分析】根據點到直線距離判斷弦長及圓上的點到直線的距離，根據的幾何意義可得最值，再根據切線長的計算公式可得最值.
【詳解】
如圖所示，
由已知圓，則圓心，半徑，
A選項：圓心到直線的距離，
則弦長為，A選項正確；
B選項：可表示點與點連線的斜率，
易知當直線與圓相切時，斜率取得最值，
設斜率，則直線，即，
則，解得，
所以，其最大值為，錯誤；
C選項：，，所以圓上恰有個點到直線的距離等于，正確；
D選項：由圓可知圓心，半徑，
由切線長可知，
所以當取得最小值時，取最小值，
又，即的最小值為，
所以的最小值為，D選項正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若點為直線上的動點，則的最小值為______．
【正確答案】
【分析】由可看成點與定點的距離，結合點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由可看成點與定點的距離，
因為點為直線上的動點，
則點到直線的距離為，
所以的最小值為.
故答案為.
13. 已知直線過點和點，則點到直線的距離為____________.
【正確答案】
【分析】取直線的一個單位方向向量為，由點到直線的距離公式為，代入運算，即可得解．
【詳解】由題意知，直線的一個方向向量為,0,，
取直線的一個單位方向向量為，
又為直線外一點，且直線過點,2,，
，
,,，，
點到直線的距離為．
故．
14. 人臉識別在現今生活中應用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”．其定義如下：設，，則A，B兩點間的曼哈頓距離.已知，若點滿足，點N在圓上運動，則的最大值為______
【正確答案】
【分析】根據題意，作出點的軌跡，將問題轉化為點到圓的距離問題，從而得解.
【詳解】由題意得，圓，圓心，半徑，
設點Px0,y0，則，
故點的軌跡為如下所示的正方形，其中，，

則，，
則，即的最大值為.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的頂點坐標為.
（1）若點是邊上的中點，求直線的方程；
（2）求邊上的高所在的直線方程.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由中點坐標公式得到，再由兩點求出斜率，最后有點斜式方程求出即可；
（2）由兩直線垂直求出邊上的高所在的直線的斜率為，再由點斜式得到直線方程即可；
【小問1詳解】
因為點是邊上的中點，則，
所以，
所以直線的方程為，
即；
【小問2詳解】
因為，
所以邊上的高所在的直線的斜率為，
所以邊上的高所在的直線方程為，即.
16. 如圖，四棱錐底面是平行四邊形，平面，，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的大?。?br>【正確答案】（1）證明見解析；
（2）.
【分析】（1）證明，原題即得證；
（2）證明就是直線與平面所成的角，再解三角形得解.
【小問1詳解】
證明：連接交于點,連接.
因為所以.
又平面，平面,
所以平面.
【小問2詳解】
解：設，
因為平面，所以.
因為，所以.
因為.
因為,
又平面,
所以平面,
所以就是直線與平面所成的角，
由題得
所以直線與平面所成的角為.
17. 在長方體中，.
（1）證明：平面面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【正確答案】（1）見解析；（2）.
【分析】（1）通過證明，來證明平面，進而證明平面面；
（2）建立空間直角坐標系，求出面和面的法向量，通過求法向量的夾角來得到二面角的余弦值．
【詳解】（1）證明：因為，所以四邊形是正方形，所以，
又四邊形是平行四邊形，所以，所以，
因為長方體中，平面，所以，
又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，，，
設平面的一個法向量為，
，，
則，取，所以，
設平面的一個法向量為，，，
，取，所以，
故，又二面角是銳角，
所以，二面角的余弦值為.
本題考查面面垂直的證明，以及利用空間向量求面面角，考查計算能力與空間想象能力，是中檔題．
18. 已知圓過兩點，，且圓心在直線上．
（1）求圓的標準方程；
（2）設，過點作兩條互相垂直的直線和直線，交圓于、兩點，交圓于、兩點，求的最小值和四邊形面積的最大值．
【正確答案】（1）
（2）；
【分析】（1）設，表示出圓C的標準方程，利用待定系數法計算即可求解；
（2）當直線時最小，利用幾何法求弦長即可；如圖，先證，結合基本不等式計算即可求解.
【小問1詳解】
由題意知，設，則圓C的標準方程為，
又圓C過點，
所以，解得，
故圓C的標準方程為；
【小問2詳解】
由（1）知，連接，則，
當直線時，最小，此時，
所以的最小值為；
如圖，

取弦長的中點，連接，，
則四邊形為矩形，，
，
又，所以，，
當且僅當時，等號成立.
所以四邊形的面積為，
即四邊形面積的最大值為6.
19. 已知兩個定點，動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線．
（1）求曲線的方程；
（2）若與曲線交于不同的，兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；
（3）若是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為、，設點在圓上，求點到直線距離的最大值．
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）設，利用兩點間的距離公式表示出，，再代入，化簡即可；
（2）取中點，連接，可求得，再利用點到線的距離公式求解即可；
（3）根據四點在以為直徑的圓上，可求得直線過定點，作出圖象，結合圖象可知當為的延長線與圓的交點時，點到直線距離的最大值，求解即可.
【小問1詳解】
解：設，
則有，
又因為，
即有，
整理得，
所以曲線的方程為；
【小問2詳解】
解：因為，，
取中點，連接，
則且平分，
又因為，
所以，
即圓心到直線的距離為，
由點到線的距離公式可得：，
解得，
所以直線的斜率為；
【小問3詳解】
解：因為，所以直線，
設，
由題意可知四點在以為直徑的圓上，
所以此圓方程為，
即，
由，可得，
即，
即直線的方程為：，
所以直線過定點：，
點在圓上，
所以當為的延長線與圓的交點時，點到直線距離的最大值，
此時，
又因為，
所以.
即點到直線距離的最大值為.
關鍵點睛：本題第（3）問的關鍵是求出直線過定點，再數形結合.

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