一、選擇題（在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共9小題，每小題5分，滿分45分）
1. 集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先解不等式求出集合，，再根據(jù)交集的定義求解即可．
【詳解】由，
，
則，
即，
故選：C.
2. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】D
【分析】分別化簡(jiǎn)和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.
【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,
所以，即
因?yàn)?，所?即,
所以存在兩種情況：且，且，
因此推不出,
同樣推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
3. 在一段時(shí)間內(nèi)，分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格（萬(wàn)元）和需求量之間的一組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)上述信息，如下判斷正確的是（ ）
A. 商品的價(jià)格和需求量存在正相關(guān)關(guān)系B. 與不具有線性相關(guān)關(guān)系
C. D. 價(jià)格定為萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約為
【正確答案】D
【分析】由散點(diǎn)圖判斷A，根據(jù)回歸直線方程判斷B，求出，，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)求出，令求出，即可判斷D.
【詳解】由散點(diǎn)圖可知，商品的價(jià)格和需求量存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；
由經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；
又，，
又經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，
則，解得，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
所以價(jià)格定為萬(wàn)元，預(yù)測(cè)需求量大約為，故D正確．
故選：D．
4. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】先求出函數(shù)的定義域和奇偶性，排除BD，再求出特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到答案.
【詳解】定義域?yàn)椋?br>且，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除B、D．
又，故A錯(cuò)誤.
故選：C．
5. 已知，，，則（ ）.
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】借助對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得、、范圍，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>，，
故.
故選：C.
6. 已知，，為球的球面上的三點(diǎn)，圓為△的外接圓，若，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】應(yīng)用正弦定理求△的外接圓半徑，再根據(jù)外接球球心與截面圓心距離與截面圓半徑、球體半徑間的幾何關(guān)系求球的半徑，進(jìn)而求球的表面積.
【詳解】由正弦定理得：△的外接圓半徑滿足，解得．
設(shè)球的半徑為，由平面，得，
∴球的表面積為．
故選：．
7. 已知雙曲線：，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即可求解作答.
【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，令交于點(diǎn)，即有，

由，直線的傾斜角為，得，則，，
又，則為正三角形，，因此點(diǎn)，
雙曲線：過點(diǎn)的漸近線為，于是，解得，
所以雙曲線的離心率.
故選：B
8. 函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 函數(shù)圖象向右移（）個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為
D. 若，則函數(shù)的最大值為
【正確答案】C
【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，由最小正周期可求得，可判斷A錯(cuò)誤，將點(diǎn)代入驗(yàn)證可得B錯(cuò)誤，由平移規(guī)則并利用其對(duì)稱性可得C正確，由三角函數(shù)值域可得的最大值為，即D錯(cuò)誤.
【詳解】易知
；
對(duì)于A，由最小正周期為可得，即可得，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A可得，將代入檢驗(yàn)可得，可得B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若將函數(shù)圖象向右移（）個(gè)單位可得到，
若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則可得，即，
又因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C正確；
對(duì)于D，若，，即，
所以函數(shù)最大值為，即D錯(cuò)誤.
故選：C
9. 如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. 存在最大值為9D. 的最大值為
【正確答案】D
【分析】將分別用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷AB；以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算判斷CD.
【詳解】在邊長(zhǎng)為3的正中，，為的中點(diǎn)，則，
對(duì)于A，由，得，則，A正確；
對(duì)于B，，
則
，B正確；
對(duì)于C，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，顯然點(diǎn)在以為圓心，為半徑的下半圓上，
設(shè)，
則，
，
由，得，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，C正確；
對(duì)于D，由，得，
即，
因此，則，
而，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.

故選：D
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是建立合適平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)，從而寫出相關(guān)向量，計(jì)算其數(shù)量積，并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到其范圍.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)一個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.
10. 已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則_______．
【正確答案】
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得出，即可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及模長(zhǎng)計(jì)算得出答案.
【詳解】由，得，
所以，
故答案為.
11. 的展開式中的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)
【正確答案】
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)賦值即可得展開式中的系數(shù).
【詳解】的展開式的通項(xiàng)
所以展開式中的系數(shù)是.
故答案為.
12. 兩個(gè)三口之家進(jìn)行游戲活動(dòng)，從6人中隨機(jī)選出2人，則這2人來(lái)自同一個(gè)家庭的概率為_________；若選出的2人來(lái)自同一個(gè)家庭，游戲成功的概率為0.6，若來(lái)自不同的家庭，游戲成功的概率為0.3，則游戲成功的概率為_________．
【正確答案】 ① ## ②. 0.42##
【分析】先計(jì)算從6人中選2人的所有種數(shù)，再計(jì)算同一家庭的種數(shù)，求概率即可；由全概率公式計(jì)算即可得第二空.
【詳解】由題意可知從6人中隨機(jī)選出2人，則這2人來(lái)自同一個(gè)家庭的概率為；
而來(lái)自不同家庭的概率為，
則游戲成功的概率為.
故；
13. 已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______
【正確答案】7
【分析】利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，圓，
即，其圓心為，半徑，
若，則圓心到直線即距離，
又由圓心到直線的距離，
則有，解可得.
故答案為.
14. 若，且，則的最小值為______.
【正確答案】5
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得或?br>因?yàn)?，所以，則，即，
因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故5.
15. 設(shè)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【正確答案】，．
【分析】設(shè)，結(jié)合題意可知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，分析時(shí)不符合題意，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的正負(fù)及的正負(fù)即可求解．
【詳解】由題意，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)，
即函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)最多有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，
，
所以，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上無(wú)零點(diǎn)，
所以函數(shù)在，上有三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上只有一個(gè)零點(diǎn)，
則當(dāng)，時(shí)，，
令，解得或，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有1個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在，上有2個(gè)零點(diǎn)，
則，即，所以；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有2個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在，上只有1個(gè)零點(diǎn)，
則或或，即無(wú)解．
綜上所述，的取值范圍是，．
故，．
本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：
(1) 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；
(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.
三、解答題（本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟）
16. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為、、，已知，，.
（1）求角的大??；
（2）求邊；
（3）求的值.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)題意由三角恒等變換可得，即可求出；
（2）利用余弦定理計(jì)算即可得；
（3）利用正弦定理可求得，再由二倍角公式以及兩角和的正弦公式計(jì)算可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以
所以，
因?yàn)?，所以，所?br>又，所以；
【小問2詳解】
中，由余弦定理及，，，
可得，
解得.
【小問3詳解】
由正弦定理，可得.
因?yàn)?，?
因此，.
所以
17. 如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求平面與平面的夾角的大??；
（3）求點(diǎn)D到平面的距離．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面與平面夾角的大小；
（3）求出平面的法向量，利用向量法求出點(diǎn)D到平面的距離．
【小問1詳解】
以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，
過D作平面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?br>又，
設(shè)平面的法向量，
則，取，
設(shè)平面與平面夾角的大小為，
，所以，
所以平面與平面夾角的大小為；
【小問3詳解】
，
由（2）知平面的法向量，
所以點(diǎn)D到平面的距離．
18. 已知橢圓： （）的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，且，直線： 與橢圓交于， 兩點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.
【正確答案】（1）（2）
【詳解】試題分析：（1）由題意，，又，求得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，得到韋達(dá)定理，，所以所以，解得.
試題解析：
（1）聯(lián)立解得，故
又，，聯(lián)立三式，解得，，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，，聯(lián)立方程消元得，
，
∴，，
又是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，∴，即，
∴，.∵，∴.
當(dāng)時(shí)，，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，滿足題意.
19. 設(shè)an是等比數(shù)列，bn是遞增的等差數(shù)列，bn的前項(xiàng)和為（），，，，.
（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列an與數(shù)列bn的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）x表示不超過的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個(gè)元素，求范圍.
【正確答案】（1），
（2）
（3）
【分析】(1)設(shè)出公比和公差，得到方程組，求出公比和公差，求出通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，根據(jù)(1)可知在新數(shù)列中只有5項(xiàng)，其余45項(xiàng)為數(shù)列中項(xiàng)，分別計(jì)算數(shù)列前五項(xiàng)和與數(shù)列前45項(xiàng)和即可求解；
(3)由，即可得，，令由值，可判斷的單調(diào)性，計(jì)算出前五項(xiàng)，即可得的取值范圍.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為（），
由已知條件得，即，
解得. （舍去）或，
所以，
【小問2詳解】
數(shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，，，，，
，，
新數(shù)列的前項(xiàng)和為：
【小問3詳解】
，
其中，
所以，，
集合，設(shè)，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
計(jì)算可得，，，，，
因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，.
20. 已知函數(shù)，.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，求證.
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；
（2）首先不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，并判斷，并根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論得到取值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；
（3）首先方程等價(jià)于，并構(gòu)造函數(shù)，注意到1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在0,+∞上有2個(gè)零點(diǎn)，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求的取值范圍，由，判斷，將所證明不等式轉(zhuǎn)化為，再利用，將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
小問1詳解】
由函數(shù)，可得f1=0，
且，則，
曲線y=fx在1,f1處的切線方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，等價(jià)于，
設(shè)，則，，
（?。┊?dāng)，x∈1,+∞時(shí)，，
故，在1,+∞上單調(diào)遞增，因此；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令得，.
由和得，
故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.
綜上，的取值范圍是.
【小問3詳解】
由等價(jià)于，
令.注意到，，依題意，除了1之外，還有兩個(gè)零點(diǎn)，
又由，令（），
當(dāng)時(shí)，恒成立，故這時(shí)在0,+∞單調(diào)遞減，不合題意：
當(dāng)時(shí)，由題意，首先在0,+∞上有兩個(gè)零點(diǎn)，
故，解得，
設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)為和，有，，故可知，均大于0，
由此可得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
而，即，，，
又因?yàn)?，?br>故在0,1內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，在1,+∞內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
又1為的一個(gè)零點(diǎn)，所以恰有3個(gè)零點(diǎn)，亦即?x恰有3個(gè)零點(diǎn)，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
，由，
由此可得，要想證明，
只需證明，而，
因此只需要證明當(dāng)時(shí)，，
令，，
可得，故φx在上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，
因此，
由，有，即，
兩邊同時(shí)除以，由，有，
即.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是第三問，關(guān)鍵1是求出的取值，關(guān)鍵2是證明.價(jià)格
2
需求量
12
10
7

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2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）
2024-2025學(xué)年天津市高三上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）
2024-2025學(xué)年天津市高三上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）
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