一、單選題（本大題共9小題）
1．設(shè)集合 ，則 （ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，且，則
D．若，且，則
5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則三個數(shù)，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
6．若直線 與曲線 相切，則 （ ）
A．B．C．D．4
7．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的焦距為（ ）
A．2B．3C．D．4
8．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
9．中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如下圖所示的“曲池”，其高為，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，長度為長度的3倍，且線段，則該“曲池”的體積為（ ）

A．B．5πC．D．
二、填空題（本大題共6小題）
10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ．
11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
12．若直線被圓截得的弦長為，則的值為 ．
13．在中，，則 ；若為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是 .
14．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若上一點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則 ．
15．已知定義在 上的函數(shù) 滿足 ，且 為偶函數(shù)，則的周期為 ; 當(dāng)時，，若關(guān)于 的方程有 4 個不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
三、解答題（本大題共5小題）
16．已知分別是的內(nèi)角的對邊，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若，，求的面積．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求的值．
17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一個頂點(diǎn)為(0，2)，離心率為 分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，動直線 交橢圓 于 兩點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，滿足 ，過點(diǎn) 作 ，垂足為 .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明直線AB 過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)寫出 面積的最大值.
19．已知數(shù)列是首項(xiàng)為 0的遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:
(2)設(shè)，對任意的正整數(shù)，將集合中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為.求證: 數(shù)列為等比數(shù)列:
(3)對 (2)中的，求集合的元素個數(shù).
20．已知函數(shù)，其中.
(1)已知,若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的最小值；
(2)求證：存在常數(shù)使得,并求出的值；
(3)在（2）的條件下,若方程存在三個根,,,且,求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由，得或，則或，
而，所以.
故選：D
2．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椤危瑒t，解得，
若，則，，兩直線平行，符合題意；
若，則，，兩直線重合，不符合題意；
綜上所述：∥，等價于.
所以“”是“直線與直線平行”的充要條件.
故選：C.
3．【正確答案】C
【詳解】令，
易知，
即分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，
由圖象可知為奇函數(shù)，且在處無定義，
顯然對于A項(xiàng)，在處有定義，對于D項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、D項(xiàng)，
又因?yàn)楫?dāng)且時，，可排除B項(xiàng)，
故選:C．
4．【正確答案】C
【詳解】對于A，若，且，則或與相交，故A錯誤；
對于B，在正方體中，取為，為，平面為，平面為，
符合題意，但，故B錯誤；
對于C，因?yàn)椋灾本€的方向向量是平面的法向量，
直線的方向向量是平面的法向量，又，
所以兩直線的方向向量垂直，即兩平面的法向量垂直，所以，故C正確；
對于D，在正方體中，取為，為，平面為，平面為，
此時符合題設(shè)，但與不垂直，故D錯誤.
故選：C.
5．【正確答案】C
【詳解】解：因?yàn)椋唬?br>所以，
為偶函數(shù)
又在上單調(diào)遞增,
，即
故選：C
6．【正確答案】B
【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)Px0,y0，
求導(dǎo)可得，因此切線斜率，
又切線過原點(diǎn)O0,0，可得，化簡可得，
令，則，
當(dāng)x∈0,1時，，即在0,1上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈1,+∞時，，即在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，，
因此可得，即可得.
故選：
7．【正確答案】D
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由向量關(guān)系可得，再結(jié)合三角形面積關(guān)系列式計(jì)算得解.
【詳解】雙曲線的漸近線為，令，由對稱性不妨令直線垂直于直線，
而，則，由，得，則，
顯然，，由，
得，解得，則，
所以該雙曲線的焦距為4.
故選D.
8．【正確答案】B
【詳解】由題可得，
因?yàn)?，所以?dāng)時，，
且，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，
又，解得.
故選：B
9．【正確答案】D
【詳解】如圖，延長相交于點(diǎn)，則由題意可知O為底面扇環(huán)所對的圓心，

設(shè)，則，圓心角
∴，解得，
∴扇環(huán)的面積，
∴該“曲池”的體積
故選：D.
10．【正確答案】
【詳解】.
故答案為.
11．【正確答案】3
【詳解】設(shè)公差為，
因?yàn)椋裕?br>所以
.
故答案為.
12．【正確答案】
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因?yàn)?，解?
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸所在直線，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
可得，則，
所以；
因?yàn)?，設(shè)，
可得，
則，
，
其中，
因?yàn)?，所?
故；.
14．【正確答案】2
【詳解】如圖：
設(shè)點(diǎn)Px,y，由題知，O0,0，，
則，，．
因?yàn)椋矗?br>化簡得，所以點(diǎn)在圓上，
聯(lián)立，得，解得（負(fù)值舍去），
所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得．
故
15．【正確答案】 （且）
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以.
又，
所以，所以.
所以，即是以8為周期的周期函數(shù).
所以函數(shù)的周期為，且.
又當(dāng)時，，結(jié)合函數(shù)圖象的周期性和對稱性，做出函數(shù)的部分圖象如下：

令，
則.
所以為定義在上的偶函數(shù).
當(dāng)時，
又，所以當(dāng)時，也是以8為周期的周期函數(shù).
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以當(dāng)時，函數(shù)的圖象如下圖：

因?yàn)殛P(guān)于的方程有4個不同實(shí)根，即直線與y=gx的圖象有4個不同交點(diǎn).
當(dāng)時，，所以，所以.
觀察圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)，即時，
因?yàn)?，所以直線與y=gx的圖象有3個公共點(diǎn)；
當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)，即時，因?yàn)?，所以直線與y=gx的圖象有5個公共點(diǎn).
當(dāng)時，直線與y=gx的圖象有4個公共點(diǎn).
根據(jù)函數(shù)y=gx為偶函數(shù)，可得：
當(dāng)時，直線直線與y=gx的圖象有4個公共點(diǎn)，則.
所以當(dāng)時，方程有4個不同實(shí)根.
故（且）；
16．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
（Ⅰ）由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行代換，然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后結(jié)合三角形的面積公式可求；（Ⅲ）結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
由正弦定理可得，；
（Ⅱ）由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，
因?yàn)椋?br>所以；
（Ⅲ）由于，．
所以．
17．【正確答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在，.
【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，平面平面，
又，平面，則平面，
取的中點(diǎn)，連接，由，，得，
則，而，于是，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，
顯然，則，又平面，
所以平面.
（2）設(shè)平面的一個法向量為，而，，
則，令，得，
則，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.
（3）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)滿足條件，令，，
則，即，
由（1）知平面的一個法向量，
于是，
整理得：，即，而，解得，
所以在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且.
18．【正確答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為
(3)
【詳解】（1）依題意，解得，
所以橢圓方程為.
（2）依題意可知直線不過點(diǎn)，
若直線的斜率不存在，則為銳角，不滿足MA⊥MB，
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由消去并化簡得，
，整理得.
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
，
由于，所以，
即，
，
，
，
，
即，
整理得，
由于，故解得，所以直線的方程為，
所以直線過定點(diǎn)，此時在橢圓內(nèi)，滿足直線與橢圓有個公共點(diǎn).
（3）設(shè)，由于，
所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（點(diǎn)除外），
所以到，也即到的距離的最大值為，
所以面積的最大值為.

19．【正確答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【詳解】（1）首項(xiàng)為 0的遞增數(shù)列中，由，
當(dāng)時，則，
整理得，顯然，則，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差的等差數(shù)列，所以.
（2）由（1）知，則，
，，
而，，
即，，因此，，構(gòu)成一個遞增的等差數(shù)列，
公差，滿足為常數(shù)，
所以數(shù)列為等比數(shù)列.
（3）①當(dāng)為奇數(shù)時，
，
同理
則集合的元素個數(shù)為；
②當(dāng)為偶數(shù)時，，
，
因此集合的元素個數(shù)為，
所以集合的元素個數(shù)為.
20．【正確答案】(1)
(2)證明見解析，
(3)
【詳解】（1）的定義域?yàn)?依題意可知當(dāng)時,恒成立，
即,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
故,解得,即的最小值為．
（2），
∵，∴，解得．
所以存在常數(shù)使得，此時．
（3）構(gòu)造函數(shù)，
則方程存在三個根,即函數(shù)函數(shù)存在三個零點(diǎn)．
∵,∴．
令,得,于是為的一個零點(diǎn)．
若存在零點(diǎn),且,
由可知必存在相應(yīng)的零點(diǎn)，且．
∴必在上存在唯一零點(diǎn)．
若恒成立,即成立,解得，
此時在上單調(diào)遞增，無零點(diǎn)；
若,則,
令,則,
∴在上單調(diào)遞增,故在上存在零點(diǎn),
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)x∈x0,+∞時,,單調(diào)遞增．
∵,即，解得，
∴，即．
綜上所述，的取值范圍是．

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