一、選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分）
1. 已知全集，若，則集合（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集及交集的運(yùn)算結(jié)果求出.
全集，，
則，
所以.
故選：D
2. 某小學(xué)為了解學(xué)生的身體狀況，抽取了名學(xué)生的身高，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，則所抽取的學(xué)生身高在的人數(shù)約為（ ）
A. 100B. 90C. 80D. 70
【正確答案】A
由題意，先求得身高在的頻率，再求人數(shù)即可.
根據(jù)頻率分布直方圖得，身高在的頻率為，
所以人數(shù)約人.
故選：A.
3. 已知a，，則“”是成立的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷即可.
若，則，
反之，取，，即成立，不能推出，
所以“”是成立的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知函數(shù)的圖象上距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
利用輔助角公式，將原函數(shù)化成正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求出其對(duì)稱中心坐標(biāo)即得.
因，
由可得，即函數(shù)的對(duì)稱中心為，
故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為函數(shù)距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心.
故選：B.
5. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.
，而，
則，又，
所以.
故選：D
6. 下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖象如圖所示（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
取值計(jì)算判斷A；利用單調(diào)性判斷C；利用函數(shù)值范圍及變換快慢判斷D；求得導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性判斷B.
對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，A不是；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，C不是；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在接近3時(shí)，隨著的增大，函數(shù)值緩慢增大，D不是；
對(duì)于B，令，，
函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得
，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，B符合要求.
故選：B
7. 已知橢圓的右頂點(diǎn)A，右焦點(diǎn)F，經(jīng)過(guò)A、F兩點(diǎn)的圓C與y軸相切于點(diǎn)，則圓C被直線AB截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
根據(jù)條件可得A點(diǎn)坐標(biāo)，求出線段長(zhǎng)即可得解.
橢圓的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則圓的圓心在直線上，
由圓與軸相切，得圓的半徑，圓心到軸的距離，
即圓的圓心坐標(biāo)為，因此點(diǎn)是圓C與y軸相切的切點(diǎn)，
所以.
故選：D

8. 如圖，三棱柱中，是上靠近的三等分點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】C
先確定出截面的位置，然后采用割補(bǔ)法結(jié)合替換頂點(diǎn)求解出，由此可求解出的值.
取靠近的三等分點(diǎn)，連接，如圖所示，
因?yàn)榉謩e是靠近的三等分點(diǎn)，
所以且，所以，所以四點(diǎn)共面；
設(shè)三棱柱的高為，三棱錐體積，因?yàn)椋?br>所以
，
，
所以，
所以，所以，所以，
故選：C.

9. 在無(wú)窮數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最大值與最小值的差為（ ）
A. B.
C. D. 無(wú)法確定
【正確答案】C
求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，按奇偶探討的單調(diào)性求出最大與最小值即可得解.
由，，得，而，則數(shù)列是等比數(shù)列，
于是，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，因此的最大值與最小值分別為，
所以的最大值與最小值的差為.
故選：C
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，再按奇偶結(jié)合單調(diào)性求解是關(guān)鍵.
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
10. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________.
【正確答案】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算出結(jié)果.
，
故答案為.
11. 在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．
【正確答案】160

求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，求得，代入即可求解.
由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，
令，可得，代入可得，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為.
12. 在等差數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，若，則的最小值為________.
【正確答案】17
根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由求出的各組值，計(jì)算比較得解.
在等差數(shù)列中，，解得，而，則，
數(shù)列的公差，則，由，得，
而，則或或或，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故17
13. 現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.則這7個(gè)數(shù)的第75百分?jǐn)?shù)是________；從這7張卡片中隨機(jī)抽取2張，則所抽取卡片上數(shù)字的最小值為2的概率________.
【正確答案】 ①. 5 ②.
利用第75百分?jǐn)?shù)的意義求出結(jié)果；利用組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式求出古典概率.
由，得這7個(gè)數(shù)的第75百分?jǐn)?shù)是5；
從這7張卡片中隨機(jī)抽取2張，有個(gè)不同結(jié)果，取到最小數(shù)字2的事件有個(gè)結(jié)果，
所以所抽取卡片上數(shù)字的最小值為2的概率.
故5；
14. 已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，，若O為菱形ABCD中心，E為BC中點(diǎn)，記，，則________（結(jié)果用，表示）；若P是菱形ABCD及其內(nèi)部的一點(diǎn)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)P所在的曲線長(zhǎng)度為________.
【正確答案】 ①. ②.
結(jié)合幾何圖形，利用向量的加法求出；建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡即可.
在菱形中，為中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)，則，
所以；
以菱形的對(duì)角線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)條系，
由，得，則，設(shè)，
，由，得，解得，
因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線與邊的交點(diǎn)間線段，
而點(diǎn)到直線的距離為，因此，
所以動(dòng)點(diǎn)P所在的曲線長(zhǎng)度為.
故；
15. 若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為________.
【正確答案】
根據(jù)的取值范圍及絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分類求參數(shù)值．
（1）時(shí)，，易知它有三個(gè)零點(diǎn)：，不合題意；
（2）時(shí)，或，，
，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
所以
其中，，
① ，即時(shí)，
在上遞減，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)，
對(duì)，由于，有一正根一負(fù)根，而，因此正根大于，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；
，
時(shí)，，，因此與都是遞減的，
從而在上遞減，而，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
②時(shí)，與①相同知在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，
在上，，且，
由，解得，
時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，因此在R上只有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
時(shí)，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，從而在R上至少有三個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
（3）時(shí)，或，，
，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
所以，
，，，已經(jīng)有一個(gè)零點(diǎn)，
①，即時(shí)，，在上遞減，在上遞增，在上遞減，
，則，又，
所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，又也是它的零點(diǎn)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于2個(gè)，不合題意，
②時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又由得，，所以在時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)，因此在上遞增，因此在上無(wú)零點(diǎn)，
同理，，上單調(diào)遞增，因此因此在上無(wú)零點(diǎn)，
在，，若，
又，從而，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于2個(gè)，不合題意，
時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以在R上只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，
綜上，的取值范圍是．
方法點(diǎn)睛：含有絕對(duì)值的函數(shù)，可以根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為不含絕對(duì)值的函數(shù)（本題是二次函數(shù)），然后由函數(shù)性質(zhì)研究題設(shè)問(wèn)題，難點(diǎn)是分類標(biāo)準(zhǔn)的確定．題中先按的正負(fù)分類，目的是絕對(duì)值中式子確定正負(fù)時(shí)自變量的取值范圍的確定．然后再根據(jù)絕對(duì)值的正負(fù)分類去絕對(duì)值符號(hào)．
三、解答題（本大題共5小題，共75分）
16. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，然后結(jié)合余弦定理以及可求解出的值；
（2）根據(jù)已知條件先計(jì)算出，然后根據(jù)平方關(guān)系求解出；
（3）先計(jì)算出，然后根據(jù)余弦定理求解出并結(jié)合平方關(guān)系求解出，最后根據(jù)兩角差的余弦公式求解出結(jié)果.
【小問(wèn)1】
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，所以.
【小問(wèn)2】
因?yàn)?，且?br>所以.
【小問(wèn)3】
因?yàn)椋?br>所以，，
又因?yàn)?，且?br>所以.
17. 如圖，在直五棱柱中，，，，，，.
（1）求證：；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
（1）先根據(jù)條件證明平面，然后即可證明；
（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出結(jié)果；
（3）根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式直接求解出結(jié)果.
【小問(wèn)1】
因?yàn)閹缀误w為直五棱柱，所以平面，又平面，所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所?
【小問(wèn)2】
由直五棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知平面，因?yàn)?，，所以?br>故以為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋?，，所以四邊形是矩形?br>因?yàn)?，，所以是等腰直角三角形?br>所以，所以，
設(shè)平面一個(gè)法向量為，
所以，取，則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，取，則，所以，
所以，
所以平面與平面的夾角余弦值為.
【小問(wèn)3】
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
18. 已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，最大值與最小值的比為.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若線段AP的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q，且為等邊三角形，求直線AP的斜率；
（3）當(dāng)時(shí)，直線上存在一點(diǎn)Q，使得是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
（1）結(jié)合PF最大值、最小值為，代入求解即可；
（2）設(shè)，AP的直線方程為，與橢圓聯(lián)立，求出線段AP的中點(diǎn)為，求出線段AP的垂直平分線方程，進(jìn)而求得，再應(yīng)用即可求解；
（3）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求出；設(shè)直線方程為，與直線解得交點(diǎn)，再應(yīng)用，求得，再應(yīng)用換元法求解m的取值范圍即可，注意再驗(yàn)證一下兩種情形.
【小問(wèn)1】
因?yàn)镻F最大值與最小值的比為，
所以，
解之得；
【小問(wèn)2】
因?yàn)?，所以設(shè)，則所以，
于是橢圓方程為，所以右頂點(diǎn)為，
設(shè)直線AP的斜率為，直線AP的直線方程為，
聯(lián)立，消去得，，
因?yàn)橹本€AP與橢圓交于A、P兩點(diǎn)，
所以，即.
設(shè)線段AP的中點(diǎn)為，則，
所以線段AP的垂直平分線的方程為，
所以交點(diǎn) .
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以?br>即，
化簡(jiǎn)整理可得，，
所以（舍去），所以；
【小問(wèn)3】
因?yàn)椋?，所以?br>所以橢圓方程為，所以點(diǎn)，
設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，
聯(lián)立消去得，，
易知，，
所以，
當(dāng)時(shí)，則直線方程為，
與直線聯(lián)立解得點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槭且訟為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以，
所以，所以，
令，則，
因?yàn)榛颍?br>所以，
所以，
所以.
當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)直線方程為，取即可.
所以，
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)直線方程為，
取即可，此時(shí)直線分別為、，
所以，.
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
在（2）中為等邊三角形，所以需要求出點(diǎn)后應(yīng)用是關(guān)鍵步驟，進(jìn)而計(jì)算求解；
在（3）中是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以應(yīng)該表達(dá)出兩處關(guān)鍵點(diǎn)且.
19. 閱讀材料并回答問(wèn)題：設(shè)，為兩組實(shí)數(shù).，，，，是，，，，的任一排列，則如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在x軸的正半軸上，依次取n個(gè)點(diǎn).、、，在y軸的正半軸上依次取n個(gè)點(diǎn).、、，其中、已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且，，.

（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列中，，，求證：；
（3）任意選取某兩個(gè)點(diǎn)與（，2，，n；，2，，n）連結(jié)它們，得到，這樣一一搭配，一共可以得到n個(gè)三角形，求這n個(gè)三角形的面積之和最小值.（結(jié)果用n表示）
【正確答案】（1），；
（2）證明見解析； （3）.
（1）根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比、等差數(shù)列的公差即得通項(xiàng)公式.
（2）由（1）求出，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性可得，再分段并結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算推理即得.
（3）利用給定的材料，列出面積和的最小值表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【小問(wèn)1】
設(shè)等比數(shù)列公比為，由，得，解得，，
由，得等差數(shù)列公差，則，
所以，的通項(xiàng)公式分別為，.
【小問(wèn)2】
由（1），得當(dāng)時(shí)，，
數(shù)列都為遞增數(shù)列，則數(shù)列是遞增數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，
，當(dāng)時(shí)， ，于是，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，而，
所以.
【小問(wèn)3】
由（1）知，，，顯然數(shù)列都是遞增數(shù)列，
，由給定的材料知，得到的n個(gè)三角形面積之和的最小值為：
，令，
則，
于是，
兩式相減得
所以這n個(gè)三角形的面積之和最小值為.
20. 已知函數(shù)
（1）若對(duì)于任意的，都有函數(shù)是增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)，時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：；
（3）當(dāng)，時(shí)，若且，證明：
【正確答案】（1） （2）證明見解析 （3）證明見解析
（1）對(duì)，和三種情況分類討論，即可得到取值范圍；
（2）先證明不等式，，然后利用該不等式即可證明結(jié)論；
（3）先證明，然后使用歸納法證明結(jié)論.
【小問(wèn)1】
由于，故.
若，則在時(shí)，對(duì)有.
所以fx在上遞減，不滿足條件；
若，則時(shí)，對(duì)有.
所以fx在上遞減，不滿足條件；
若，設(shè)，則.
故對(duì)有，對(duì)有.
從而在上遞減，在上遞增，所以對(duì)有.
從而對(duì)任意正整數(shù)都有：當(dāng)或時(shí).
這表明對(duì)任意正整數(shù)，函數(shù)fx在和上遞增，從而在上遞增，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
【小問(wèn)2】
此時(shí)，，所以對(duì)有，對(duì)x>1有.
故fx在上遞減，在上遞增，從而，故，.
由已知有，故由可知，同時(shí)根據(jù)單調(diào)性有，這表明.
從而，故根據(jù)單調(diào)性有，所以.
設(shè)，，則.
對(duì)有，對(duì)有，
所以在上遞減，在上遞增，從而對(duì)有，對(duì)有.
這表明對(duì)有，所以.
再由，，就得到，以及
.
所以，，故.
綜上，有.
【小問(wèn)3】
此時(shí)，若個(gè)正數(shù)滿足：
由于單調(diào)遞增，故對(duì)任意：
若，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故遞增，所以，從而；
若，同理有；
若，則.
所以對(duì)任意，都有.
下面證明，對(duì)任意正整數(shù)，都有對(duì)任意成立.
①顯然，命題對(duì)成立；
②如果命題對(duì)成立，則對(duì)的情況，有
.
所以命題對(duì)也成立；
③如果命題對(duì)成立，則對(duì)的情況，有
.
所以命題對(duì)也成立.
綜合①②③可知命題對(duì)任意的正整數(shù)成立.
所以.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用恰當(dāng)?shù)墓ぞ哐芯亢瘮?shù)的性質(zhì).

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2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷
2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）
2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（含解析）
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