1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，點O在邊上，經(jīng)過點C且與邊相切于點E，D是的中點， ．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的半徑及的長．
【答案】(1)見解析
(2)2，
【分析】（1）作，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得是的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可；
（2）根據(jù)題意可設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)的半徑為r，則，，根據(jù)，可得，從而得到，，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，作，連接，
∵，D是的中點，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
即是的平分線，
∵點O在上，與相切于點E，
∴，且是的半徑，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：在中，，
∴可設(shè)，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵D是的中點，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得： ．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定，直接三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．
2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于，、是的直徑，E是長線上一點，且．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求線段的長．
【答案】(1)是的切線；見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是，根據(jù)圓周角定理得出，推出即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)，得到，即可得，再根據(jù)勾股定理得出即可．
【詳解】（1）與相切，
理由：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，即是半徑，
∴是的切線；
（2）由（1）知，，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得（負值舍去），
即線段的長為．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，，點D是外一點，連接交于點，連接，，，已知．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由圓周角定理得到，即可得到，則，由此即可證明是的切線；
（2）先解，求出，則，證明，再解求出的長即可．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切線；
（2）解：∵是的直徑，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·廣西南寧·校考一模）如圖，是的直徑，點，是上兩點，連結(jié)，，，平分，過點作，交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】（1）證明，從而可知，由于，所以，所以是的切線；
（2）連接，，根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用勾股定理解直角三角形，分別求出，，，，證明，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：證明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
在圓上，
是的切線；
（2）連接，，
∵為直徑，
∴，
，
，即，
∵，
∴，即，
解得：（負值舍去），，
∵，
∴，同理可得：，，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
【點睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)切線的判定與性質(zhì)和圓周角定理得到角．
5．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于⊙O，且．直線l過點C，，垂足為F，，垂足為G．
(1)求證：直線l是⊙O的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線得出，再根據(jù)垂直定理得出，為半徑，即可解答
（2）如圖，連接，根據(jù)題意得出，，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊關(guān)系得到，設(shè)，得到，即可解答
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵ ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵為半徑，
∴直線l是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接．
∵是圓的直徑，
∴
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
設(shè)，
則，，
解得：，
∴．
在中，，
得．
在中，．
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積．
6．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C，E在上，平分，，垂足為D，，的延長線交于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線的意義和等邊對等角得出，繼而根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求出，根據(jù)切線的判定證明即可；
（2）作于點P，利用特殊角的三角函數(shù)值求出，進而求出，最后根據(jù)求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵．
∴．
∴．
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）如圖，作于點P，則四邊形是矩形，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了角平分線的意義和等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．
7．（2023·廣西防城港·?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，C是圓上一點，弦于點E，且．過點A作的切線，過點C作的平行線，兩直線交于點F，的延長線交的延長線于點G．
(1)求證：與相切；
(2)連接，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接．易證為等邊三角形，所以，從而可知，由于，易知，所以與相切；
（2）作于點H．設(shè)，則．易證四邊形為平行四邊形．因為，所以四邊形為菱形，求出，從而可求出、的值，從而可知的長度，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出的值．
【詳解】（1）連接．
∵是的直徑，弦于點E，
∴．
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴與相切
（2）作于點H．
設(shè)，則．
∵與相切，
∴．
又∵，
可得．
又∵，
∴四邊形為平行四邊形．
∵，
∴四邊形為菱形．
∴．
由（1）知
∴，
∵．
∴．
∵在中，，
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2023·北京西城·?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，弦與交于點E，且點E為的中點．點F在弧上，過點F作的切線交的延長線于點G，交的延長線于點P，與交于點H．
(1)求證：；
(2)若的半徑為4，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，易得，可得，圓周角定理，得到，即可得證；
（2）連接，得到，根據(jù)，得到，求出，進而求出的長，證明，求出的數(shù)量關(guān)系，再利用勾股定理進行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵為的切線，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，弦與交于點E，且點E為的中點，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的半徑為4，
∴，
∵，
∴，
在中，，
設(shè)，則：，
∴，
∴，
∴；
連接，則：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴或（舍掉），
∴．
【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點C在延長線上，點D在上，連接，，，于點E，交于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由是直徑，可得即，再由，可得，最后根據(jù)，即可證明結(jié)論；
（2）由，，可證即，從而證明，可得，再由，可求，再利用，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切線．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴在中，．
【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握切線的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考一模）如圖，是的直徑，已知點是弧的中點，連接并延長，在延長線上有一點，連接，且．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由垂徑定理可得，再由三角形內(nèi)角和定理證明，即可證明是的切線；
（2）由直徑所對的圓周角是直角得到，由垂徑定理可得，即可利用勾股定理求出，即可得到，再由，得到，則解直角三角形可得．
【詳解】（1）證明：∵點是弧的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的直徑，
∴是的切線；
（2）解：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴由垂徑定理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，勾股定理，垂徑定理，直徑所對的圓周角是直角等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·福建龍巖·?？家荒＃┤鐖D，是直角三角形，．
(1)動手操作：利用尺規(guī)作的平分線，交于點O，再以O(shè)為圓心，的長為半徑作（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)綜合運用：請根據(jù)所作的圖，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線和圓的尺規(guī)作圖方法作圖即可；
（2）如圖所示，過點O作于D，由角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)，，解求出，，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，在中，由勾股定理得，，解得，則．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，過點O作于D，
∵平分，，，
∴，
設(shè)，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【點睛】本題主要考查角平分線和圓的尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）內(nèi)接于，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，連接，已知，
(1)連接，，則______（用含有的代數(shù)式表示）
(2)求證：；
(3)連接，若，求的最小值
(4)若，為等腰三角形，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)的最小值
(4)或時，為等腰三角形
【分析】（1）連接，，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)點是的內(nèi)心，得出，則，進而得出，即可得出
（3）因為，所以點為的中點，故點是一個定點．由（1）的結(jié)論，可知，點在以點為圓心，長為半徑的圓上運動，所以當(dāng)點，，三點共線時，取最小值．此時為的直徑，且為的垂直平分線，，解，得出，進而即可求解；
（4）根據(jù)，得出，分別連接，，記與相交于點，得出是等邊三角形，同（2）可求得，，然后分類討論即可求解．
【詳解】（1）連接，，
∵點是的內(nèi)心
∴，，
∴
（2）解：如圖1所示，連接，
∵點是的內(nèi)心，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：因為，所以點為的中點，故點是一個定點．
由（1）的結(jié)論，可知，點在以點為圓心，長為半徑的圓上運動，所以當(dāng)點，，三點共線時，取最小值．
如圖2所示，此時為的直徑，且為的垂直平分線，，
∵
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴
故的最小值
（4）解：∵
∴
∴
分別連接，，記與相交于點，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形
同（2）可求得，，
①，如圖3所示，
此時
∴
而矛盾，故此種情況不成立．
②，如圖4所示，過點作，交于點，過點作，交于點，
此時，，
∴，
∴
設(shè)，則，
∵
∴，
解得
∴，
∴，
∵
∴，即
解得，
∴
③，如圖5所示，
此時，
∵是等邊三角形，
∴
∴點，，三點共線
∴為的直徑
∴
∴
綜上所述，或時，為等腰三角形．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的應(yīng)用，角平分線的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，解直角三角形，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點E在上，連接和，平分交于點C，過點C作交的延長線于點D，連接．
(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，求的長（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)是的切線．理由見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義和弧長公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）結(jié)論：是的切線．
理由：連接．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）在中，∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
連接，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴的長為．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測）如圖，是的直徑，點是上的一動點（不寫點，點重合），點是延長線上的一點，連接，，，且有，作的平分線交于點，交于點．
(1)求證：是的切線；
(2)【問題探究】若，，則的值為________；
(3)【拓展延伸】若，，求的值．（用含和的代數(shù)式表示）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）連接，由圓周角定理得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證得，則可得出結(jié)論；
（2）過點作于點，在中，根據(jù)得到 ，進而得到，在中，根據(jù)得到，由等面積法可得：，
于是得到，根據(jù)平分，得到，進而得到，于是可得到答案；
（3）過點作于點，在中，根據(jù)得到 ，進而得到，在中，根據(jù)得到，由等面積法可得：，于是得到 ，根據(jù)平分，得到，進而得到，于是可得到答案；
【詳解】（1）證明：如圖1，連接，
∵是的直徑，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，
∴，
,
,
，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴．
又∵為的半徑，
∴直線是的切線；
（2）解：如圖2，過點作于點．
∵，，
在中，由可得：．
∴．
在中，由可得：．
在中，由等面積法可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖2，過點作于點．
∵，，
在中，由可得：．
∴．
在中，由可得：．
在中，由等面積法可得：，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，掌握相關(guān)定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·北京海淀·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，為上一點，為外一點，連接，，，，滿足，．
(1)證明：直線為的切線；
(2)射線與射線交于點，若，，求的長．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)，，可得，，根據(jù)三角形內(nèi)外角關(guān)系可得，結(jié)合，可得，再根據(jù)是的直徑可得，即可證明；
（2）過B作交于點F，根據(jù)得到，結(jié)合可得，即可得到，從而得到，根據(jù)勾股定理可得、，即可得到，再根據(jù)勾股定理即可得到答案；
【詳解】（1）證明：連接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴為的切線；
（2）解：過B作交于點F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)勾股定理可得，
，，
∴，
∴，
∴的長是；
【點睛】本題考查切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是作輔助線得到直角三角形．
16．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部?？家荒＃┮阎?，如圖，是的直徑，點C為上一點，于點F，交于點E，與交于點H，點D為的延長線上一點，且．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，求證：；
(3)若的半徑為10，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)15
【分析】（1）先由圓周角定理和已知條件說明，再證，進而證得即可證明結(jié)論；
（2）如圖：連接，由垂徑定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性質(zhì)可得即可得出結(jié)論；
（3）如圖：連接，由圓周角定理得出，由三角函數(shù)求出，再根據(jù)勾股定理求出，得出，由（2）的結(jié)論求出，然后根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：，，
，
，
，
，
，即，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：如圖：連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴；
（3）解：如圖：連接BE，
∵是⊙O的直徑，
∴，
∵⊙O的半徑為10，
∴AB=20，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造三角形相似成為解答本題的關(guān)鍵．
17．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學(xué)校校考一模）已知：為的直徑，點、在圓上，連接、，且；
(1)如圖①，求證：；
(2)如圖②，連接交于點，點、在上，點在上，連接、交于點，若為的中點，且，求的值；
(3)如圖③，在（2）的條件下，連接，且，連接并延長交于點，若，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)1
(3)
【分析】（1）連接、，證明，即可得證；
（2）過點作，交于點，證明，推出，證明，推出，進而推出，即可得出結(jié)果．
（3）證明，推出為等腰三角形，設(shè)，，分別求出，，設(shè)，求出，，延長交于點，連接、、、，推出四邊形為正方形，證明，推出，，得到，，利用，求出，在中，利用勾股定理求出的值，過點作于點，得到，設(shè)，則，利用，求出的值，進而求出，在中，利用，進行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）過點作，交于點，
，
，，
，
，
，
，
，
由（1）知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）（3）由（2）知，為等腰三角形，，，，
，
，，
，
，，
，
，
為等腰三角形，
設(shè)，，
，
，
，
，
，
為等腰直角三角形，，
，
，，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
延長交于點，連接、、、，
直徑，
，
，
，
為等腰直角三角形，
為的中線，
，
，為等腰直角三角形，
在和中，，
，
，，
，
，
，
為等腰直角三角形，
，
在等腰中，，
，
，
四邊形為正方形，
，
在和中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
∵，
，
，，
，
，
在中，勾股得，
，
或（舍去），
，，
如抽圖，過點作于點，
，
設(shè)，則，
，
，
，
在中，勾股得．
【點睛】本題考查圓周角定理，全等三角形的綜合問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題的綜合性強，對學(xué)生的思維能力要求高，屬于中考壓軸題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，證明三角形全等和相似．
18．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C為上一點，，垂足為F，交于點E，與交于點H，點D為的延長線上一點，且．
(1)求證：是的切線；
(2)求證：；
(3)若的半徑為，，求和的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）根據(jù)已知和圓周角定理的推論可得，再證明即可解決問題；
（2）連接，如圖2所示，根據(jù)垂徑定理和圓周角定理推論可證明，推出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接，如圖3所示，則，解直角三角形求出，結(jié)合（2）的結(jié)論可求出，再根據(jù)勾股定理即可求出；然后解求出，進而求出，即為的長，再利用勾股定理求出，利用可得，即可求出．
【詳解】（1）證明：如圖1所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵AB是的直徑，
∴是的切線；
（2）證明：連接，如圖2所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接，如圖3所示，
∵是的直徑，
∴，
∵的半徑為，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，垂足為F，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理、圓的切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·北京豐臺·北京市第十二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，以為直徑的分別交、于點、，且．過點作的切線，交的延長線于點，且，求的值．
【答案】
【分析】由切于點，易得，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得的長，繼而求得答案．
【詳解】為的直徑，
．
又 ，
．
切于點，
．
．
又 ，
，
，
，
．
又 ，
，
設(shè)，則，
．
在中，，
，
又 ，
，
．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)，證得是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰三角形中，，為底邊的中點，切于點，連接，交于點，．
(1)求證：是的切線；
(2)，①若，求劣弧的長；
②如圖2，連接，若，直接寫出的長．
（參考數(shù)據(jù)：取，取，?。?br>【答案】(1)見解析
(2)①；②5
【分析】（1）過點作于點，連接，通過證明，利用直線與圓相切的定義解答即可；
（2）①求出，再利用弧長公式計算即可；②過點作于點，利用等腰三角形的性質(zhì)求出，，利用三角函數(shù)的定義即可求出的長．
【詳解】（1）解：過點作于點，連接，如圖，
，為底邊的中點，
為的平分線，
，，
，
為的半徑，
為的半徑，
∴直線到圓心的距離等于圓的半徑，
是的切線；
（2）①∵切于點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴劣弧的長為；
②過點作于點，如圖，
，
，
，，
為的平分線，
．
在中，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，三角形的內(nèi)角和定理，過圓心作直線的垂線段是解決此類問題常添加的輔助線．
21．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，平分并交于點，點在上，經(jīng)過點，的半圓分別交，于點，，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)若的半徑為5，，求點到直線的距離．
【答案】(1)見詳解
(2)，理由見詳解
(3)4
【分析】（1）連接，根據(jù)平分，可得，根據(jù)，即有，則，問題隨之得解；
（2）結(jié)合，，可得，再根據(jù)平分，可得，問題得解；
（3）過E點作于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再證明，問題隨之得解．
【詳解】（1）連接，如圖，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為圓O的半徑，
∴是的切線；
（2），理由如下：
∵半圓的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）過E點作于M，如圖，
根據(jù)題意有：，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴點到直線的距離為4．
【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握切線的判定是解答本題的關(guān)鍵．．
22．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知等腰，，且，連接交于點E，以為直徑的上有一點F，使得，連接交于點G，若．
(1)判斷與的關(guān)系，并說明理由；
(2)若，求的值．
【答案】(1)與相切，理由見解析
(2)
【分析】（1）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等證明，再根據(jù)等邊對等角證明，即可得到結(jié)論；
（2）如圖所示，連接交于H，連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，再證明四點共圓，得到，進而證明，則由角平分線的性質(zhì)得到，再證明，推出，則，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直徑，得到，，則；證明，即可得到．
【詳解】（1）解：與相切，理由如下：
如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴與相切；
（2）解：如圖所示，連接交于H，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴四點共圓，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直徑，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知點D是上一點，點C在直徑的延長線上，與相切，交的延長線于點E，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，
①求的半徑；
②求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①2；②
【分析】（1）如圖，連接．要證是的切線，只要證明即可；
（2）①根據(jù)，構(gòu)建方程求解即可；
②證明，推出，設(shè)，，利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接．
∵，
∴，，
∵與相切，是半徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：①設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴的半徑為2；
②在中，，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，，
∵，
∴，
∴（負根已經(jīng)舍去），
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
24．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，點O在的邊AB上，與邊AC相切于點E，與邊BC，AB分別交于點D，F(xiàn)，且．
(1)求證：；
(2)當(dāng)時，求半徑的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，先根據(jù)切線性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等弧所對的圓周角相等證得，進而證得即可證得結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求得， 設(shè)的半徑為r，則，證明得到即，進而求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵與邊AC相切于點E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，
∵，
∴，
∴即，
解得，即半徑的長為．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，弧、弦、圓周角的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
25．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，點在的延長線上，平分交于點，連接并延長，垂直于點．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若的半徑為，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的判定定理，得出，進而得出，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論；
（2）連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖1，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等邊對等角、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
26．（2023·黑龍江大慶·?？家荒＃┮阎堑膬?nèi)接三角形，的平分線與相交于點D，連接．
(1)如圖1，設(shè)的平分線與相交于點I，求證：；
(2)如圖2，過點D作直線，求證：是的切線；
(3)如圖3，設(shè)弦延長后交外一點F，過F作的平行線交的延長線于點G，過G作的切線（切點為H），求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、圓周角定理的推論和三角形的外角性質(zhì)證明即可；
（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論可得，結(jié)合 可得，進而可得結(jié)論；
（3）作輔助線如詳解圖，證明，得；證明，得，進而可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是的平分線，是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：連接，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（3）證明：過點H作的直徑，連接，
∵是的直徑，是的切線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）如圖，是的直徑，點在上，平分，是的切線，與相交于點，與相交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若， ，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）根據(jù)是的直徑，得出，是的切線，得出，結(jié)合角平分線的定義，得出，進而得出；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而即可求解．
【詳解】（1）證明：平分，
．
是的直徑，
，
，
，
．
是的切線，
，
，
，
，
；
（2）是的直徑，
，
，
，
．
是的切線，
，
，
，
∴，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，的弦，交于點E，連接，，延長到點P，連結(jié)，與相切，且．
(1)求證：點A是的中點；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)可證得，根據(jù)等腰三角形及對頂角的性質(zhì)，可證得，，即可證得，再根據(jù)垂徑定理，即可證得結(jié)論；
（2）首先根據(jù)圓周角定理可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可證得，據(jù)此即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖：連接、，
與相切，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
點A是的中點；
（2）解：，
，
點A是的中點，
，
又，
，
，
，
，
，
解得．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．
29．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如圖1，拋物線（為常數(shù)，）與x軸交于O，A兩點，點B為拋物線的頂點，點D是線段上的一個動點，連接并延長與過O，A，B三點的相交于點C，過點C作的切線交x軸于點E．
(1)①求點的坐標(biāo)；
②求證：；
(2)如圖2，連接，，，，當(dāng)，時，
①求證：；
②求的值．
【答案】(1)①；②見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）①令，可得，則點坐標(biāo)可求出；
②連接，連接延長交x軸于點M，由切線的性質(zhì)可證得，則；
（2）①由可得，，則， ，是等邊三角形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
②過點分別作、的垂線，交、于點、，過點作的垂線，交于點，設(shè)，點D的坐標(biāo)為，由可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積，得出，則，即可求解．
【詳解】（1）解：①令，
∴，
解得或，
∴；
②如圖，連接，連接，延長交x軸于點M，
∵過O、A、B三點，B為頂點，
∴，，
又∵，
∴，
∵為切線，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①如圖，
∵，
∴，
令，可得，
∴或，
∴，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：如圖，過點分別作、的垂線，交、于點、，過點作的垂線，交于點，
設(shè)，點D的坐標(biāo)為，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
【點睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合問題，考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理等知識．把圓的知識鑲嵌其中，會靈活運用圓的性質(zhì)進行計算是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·陜西咸陽·?？级＃┤鐖D，是的直徑，點A為線段上一點，點B為的中點，過點B作交⊙O于點C，連接、，過點E作的切線交的延長線于點D．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）通過證明，可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解；
（2）連接，先求出，的長，由勾股定理可求的長，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵點B是的中點，
∴，
∵，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴點C是的中點，
又∵，
∴；
（2）如圖，連接，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及圓的有關(guān)知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
31．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦于點，且交于點，是延長線上一點，若．
(1)求證：是的一條切線；
(2)若，連接，請問是一個定值嗎？若是定值，請求出這個定值，并對結(jié)論加以證明；
(3)在（2）的條件下，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)，9
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，得到，進而證明，得到，從而證明是切線．
（2）根據(jù)弦切角定理，可以得到，證明∽，從而得到，在Rt中，根據(jù)勾股定理，求出的長，再算出的長，從而可以得到的值，進而求解．
（3）在Rt中，根據(jù)（2）的結(jié)論，可設(shè),則,根據(jù)勾股定理可求得,從而求解BD的長；根據(jù)，利用平行線分線段成比例，可以得到，從而求出的長度，在Rt中，可以證明是中位線，，從而求出的長．
【詳解】（1）解：連接
在中，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵為半徑，
∴是的一條切線．
（2）解：，理由如下：
連接，
∵為直徑，，
∴，，
由（1）得在中，根據(jù)勾股定理得
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
且（公共角），
∴∽，
∴，
又∵，
∴；
（3）解；由（2）知，在Rt中，，設(shè)（），；
有,即，
解得,另一負值舍去；
∴
∵于
∴
且
∴是Rt的中位線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線、三角形相似、勾股定理、三角形中位線等知識，找到三角形相似及對應(yīng)線段成比例是求解的關(guān)鍵．
32．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測）為圓的弦，平分．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接并延長交圓于點，連接，作于點，延長交于點，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，延長交圓于點，連接并延長，與的延長線交于點，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）連接，證明，得出，即可得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造等腰，證明，證，得出，根據(jù)，得出即可；
（3）延長與交于點，連接，延長交于，交于點，作于點，根據(jù)證明，得出，利用垂徑定理，進一步證是的中位線，證明，得出，根據(jù)求出，證明，設(shè)，則，根據(jù)，得出解方程得出，即可求出，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理求出即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：在上取一點E，使，
則，
∵，
∴，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴．
（3）解：延長與交于點，連接，延長交于，交于點，作于點，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位線，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，
∵為直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，垂徑定理，圓周角定理，中位線性質(zhì)，本題綜合性很強，難度很大，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握圓的基本性質(zhì)．
33．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點C、D在上，且點D是劣弧的中點，連接、、BD，與交于點E，過點A作的切線交的延長線于點F．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，再根據(jù)直徑所對的圓周角為得出，等量代換可得，根據(jù)切線的定義可得，進而可得，等量代換可得，即可證明；
（2）先根據(jù)勾股定理求出，再證，推出，設(shè)，則，代入即可求解．
【詳解】（1）證明：點D是劣弧的中點，
，
，即，
是的直徑，
，即，
，
又 ，
．
是的切線，
，
，
，
；
（2）解： ，，，
，
由（1）知，，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，
即的長為．
【點睛】本題考查圓周角定理，切線的定義，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，難度一般，解題的關(guān)鍵是綜合運用上述知識點．
34．（2023·山東濟寧·濟寧市第十三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，是的直徑，過點作的切線，并在其上取一點，連接交于點，的延長線交于，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出，再利用切線的性質(zhì)，求出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)等量代換，得出，即，然后利用等邊對等角，可得，再根據(jù)等量代換，得出；
（2）先在中，利用勾股定理求出，然后再根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似證明，再利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，得出的長，最后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可解答．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵為的切線，為切點，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，C為上一點，D為延長線上一點，．
(1)求證：為的切線；
(2)若的半徑為5，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，則，再根據(jù)等邊對等角和已知條件證明，推出，由此即可證明為的切線；
（2）先解，得到 ，，證明，得到，設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴為的切線；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得（不合題意的值舍去），
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，垂直弦于點，且交于點，是延長線上一點，若
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1），，得到，推出；得到，進而得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理先求解，再利用垂徑定理得出的長，可得的長，證明，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出的長．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∵垂直于弦于點E，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線.
（2）∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．經(jīng)檢驗符合題意.
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理，切線的判定，以及平行線的判定，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及平行線的判定是解題的關(guān)鍵．
37．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點C、D在上，且平分，過點D作的垂線，與的延長線相交于E，與的延長線相交于點F，G為的下半圓弧的中點，交于H，連接、．
(1)證明：是的切線；
(2)若圓的半徑，，求的長；
(3)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）連接，證明即可由切線的判定定理得出結(jié)論；
（2）連接，因為G是半圓弧中點，所以，在中，根據(jù)勾股定理求解即可；
（3）證明，得，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：證明：連接，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
∴是的切線；
（2）解：連接，
∵G是半圓弧中點，
，
在中，，．
∴．
（3）證明：∵是的直徑，
，
，
由（1）得，是的切線，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，
．
【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理．
38．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，是邊的中線，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，是的外接圓，點P是的中點，連接交于點H．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由是的外接圓，可得是的直徑，是的半徑且是邊的中線，從而得到，即可求證；
（2）連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，，再由點P是的中點，可得到是等腰直角三角形，從而得到，再證明，即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接OB，
∵繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
又∵，
∴，
∵是的外接圓，
∴是的直徑，是的半徑且是邊的中線，
∵是邊的中線，
∴繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，即，
∴是的相線．
（2）解：如圖，連接，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，，
∵點P是的中點，
∴，，
又是的直徑，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
39．（2023·湖南永州·校考一模）如圖，在中，，以的中點為圓心、為半徑的圓交于點，是的中點，連接，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求證；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)相切，理由見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）連接，，由為的直徑，得到為直角， 為直角三角形，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，又，根據(jù)等邊對等角得到角相等，由直角三角形兩銳角互余，可得出，可得出為直角，即垂直于半徑，即可得證；
（2）證明，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；
（3）在中，結(jié)合銳角三角函數(shù)和勾股定理求得的長，根據(jù)三角形中位線定理的長即可求得．
【詳解】（1）解：與相切．
理由：連接，，
∵為的直徑，
∴，，
在中，為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，又為的半徑，
∴為的切線，即與相切．
（2）證明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：在中，，
∵，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中點，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴是的中位線，
∴．
∴的長為．
【點睛】本題考查切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，中位線等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．掌握切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
40．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，為的切線，切點為，交的延長線于點，點是上的一點，且點是弧的中點，連接并延長交的延長線于點B．
(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）分別連接，，通過等弧所對圓心角相等可得，再根據(jù)同弧所對圓周角是圓心角一半得出，再根據(jù)得出，推出，再根據(jù)切線性質(zhì)可證．
（2）根據(jù)可得，再由，即可求出半徑長度．
【詳解】（1）證明：連接，，如圖所示：
為的切線，切點為，
，
點是弧的中點，
，
又，，
，
，
，
，
，
．
（2），，
，
在中，．
由圖可知，
設(shè)半徑為，

即，
解得．
【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化角度關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．

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