1．（2023春·陜西延安·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在中，，，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______．
(2)拓展探究
試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
(3)問(wèn)題解決
繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)______．
【答案】(1) ；
(2)沒(méi)有，證明見(jiàn)解析
(3)滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)為或
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，在Rt中，勾股定理，可求的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，分別求出的大小，即可求出的的值；當(dāng)時(shí)，可得，然后根據(jù)，可求的值；
（2）首先判斷出，再根據(jù)，判斷出，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求解；
（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，
Rt中，，
，
點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，
，，
，
故答案為：；
如圖，
當(dāng)時(shí)，可得，
，
，
故答案為：；
（2）解：如圖，
當(dāng)時(shí)，的大小沒(méi)有變化，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
在Rt中，，，
，
，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
在Rt中，，，
，
，
，
，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
2．（2022秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【問(wèn)題背景】
在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，試探究圖1中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步探索】
小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，再證明，則可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系是___________．
【探索延伸】
在四邊形中如圖2，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？
【結(jié)論運(yùn)用】
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（）為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
【答案】，成立，210海里
【分析】（問(wèn)題背景）：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，即可證明，可得再證明，可得，根據(jù)，，根據(jù)，即可得解；
（探索延伸）：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，先證明，再證明，即可得解；
（實(shí)際應(yīng)用）連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，圖形符合探索延伸中的條件，直接應(yīng)用結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】證明：（初步探索）如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，
在和中

，
在和中

∴，
∵，
∴；
（探索延伸）證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，
則：，
∵，
∴，
在和中
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
在和中
∴（SAS），
∴，
∵，
∴；
（結(jié)論運(yùn)用）解：連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，
，
又，
∴圖形符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論，成立，
∵，
∴（海里）；
∴兩艦艇之間的距離為：210海里．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意添加合適的輔助線證明三角形全等．
3．（2023秋·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，和都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接．
①的度數(shù)為_(kāi)_____；
②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；
（2）拓展探究：如圖②，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試求的度數(shù)及判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）解決問(wèn)題：如圖③，和都是等腰三角形，，點(diǎn)B、D，E在同一條直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．
【答案】（1）①；②相等；（2）；，理由見(jiàn)詳解；（3）．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得，然后證明，從而可證明，再利用全等三角形的性質(zhì)，①、②即可求解；
（2）類(lèi)似（1）中方法，證明，得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）根據(jù)解答即可．
【詳解】（1）解：如圖①所示，
和都是等邊三角形，
，
，
，
在與中，
，
，
，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，
，
，
故①的答案為：；
②的答案為：相等；
（2）解：如圖②所示，
和都是等腰直角三角形，，
，
，
，
在與中，
，
，
，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，
，
，
，
都是等腰直角三角形，，
，
，
，
的度數(shù)為，線段之間的數(shù)量關(guān)系為：；
（3）解：根據(jù)（1）（2）中結(jié)論可知：，得，
和都是等腰三角形，，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練而靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解答此題的關(guān)鍵．
4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題背景：
（1）如圖1：在四邊形中，，，．E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)．且．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ．
探索延伸：
（2）如圖2，若在四邊形中，，．E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．
【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，先證明，得到，再證明，可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，先證明，得到，由得到，然后證明，可得出結(jié)論．
【詳解】證明：（1）在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為．
（2）結(jié)論仍然成立；
理由：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)G．使．連接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2021秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題探究
(1)如圖①，在正方形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________；
(2)如圖②，四邊形與四邊形都是正方形，點(diǎn)、分別在、上，連接，求證：；
問(wèn)題解決
(3)為打造宜居環(huán)境，建設(shè)美麗家園，計(jì)劃對(duì)如圖③所示的菱形空地進(jìn)行綠化改造，菱形足夠大，，是一條水渠，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在菱形內(nèi)部，現(xiàn)將四邊形改造成草地，并沿線段、、種植喬木綠化帶，已知，，米，且種植喬木綠化帶每米費(fèi)用約為200元（不計(jì)寬度），請(qǐng)計(jì)算種植上述三條喬木綠化帶大約需花多少錢(qián)？
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)16000元
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，得出是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可解答．
（2）過(guò)點(diǎn)作，交于，證明全等，得出，通過(guò)等量代換，得出答案．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出是等邊三角形，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，是等邊三角形，進(jìn)而得出，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明，
【詳解】（1）解：是的中點(diǎn)，
是正方形的對(duì)角線
是等腰直角三角形
故答案為
（2）證明：過(guò)點(diǎn)作，交于，
∴，
在正方形與正方形中，，，，
∴，，
∴，，
∴ ，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（3）解：在菱形中，，，
∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
由，，易得是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∵種植每米喬木綠化帶費(fèi)用約為200元，
∴種植、、三條喬木綠化帶大約需（元）．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形和菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定、等邊三角形的性質(zhì)等等．
6．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校?）問(wèn)題探究：如圖1，在正方形，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊、上，．
①判斷與的數(shù)量關(guān)系： ；
②推斷：的值為： ；（無(wú)需證明）
（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形中，．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）拓展應(yīng)用1：如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)，分別在邊、上，求的值．
（4）拓展應(yīng)用2：如圖2，在（2）的條件下，連接，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）=；1；（2），理由見(jiàn)解析；（3）；（4）
【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得．所以，又知，得出，于是，可得．
②證明四邊形是平行四邊形即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2，作于．證明：即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，證明，得出，證明，可得出，由勾股定理求出，則可得出答案．
（4）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：（1）①證明：四邊形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
故答案為：．
②結(jié)論：．
理由：，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
．
故答案為：1．
（2）結(jié)論：．
理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于．
，
，
，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
．
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，
，，，
四邊形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，且，
，且，
，
，
，，
，
，
（不合題意，舍去），，
，
由（2）的結(jié)論可知：．
（4）解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．
，
假設(shè)，，，
，，
，
，
或（舍棄），
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．
7．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：
如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；
（2）問(wèn)題解決：
如圖②，在中，D是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，DF交于點(diǎn)F，連接，求證：；
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析
【分析】（1）如圖①：將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到可得，得出 ，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍；
（2）如圖②：繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) 得到可得，得出 ，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出 即可得出結(jié)論；
（3）將繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到可得，得出，證出 ，再由證明，得出，進(jìn)而證明結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖①：將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到
∴（），
∴，,即
∵是邊上的中線，
∴，
在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，
∴ ，即，
∴；
故答案為；
（2）證明：如圖②：繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) 得到
∴（），
∴，
∵
∴，
在中，由三角形的三邊關(guān)系得： ，
∴；
（3），理由如下：
如圖③，將繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)
∴△DCF≌△BCH，
∴
∴
∵
∴，
∴點(diǎn)A、B、H三點(diǎn)共線
∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，
∵
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.
8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）綜合與實(shí)踐??探究特殊三角形中的相關(guān)問(wèn)題
問(wèn)題情境：
某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．
(1)初步探究：
勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α= 時(shí)，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請(qǐng)幫他們證明；
(3)再探究：
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，求△ABC與△AFE重疊的面積；
(4)拓展延伸：
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．
【答案】(1)60°或15°
(2)見(jiàn)解析
(3)
(4)能，∠α=30°或60°
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAM=∠FAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AN，PE=PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（4）當(dāng)∠CNP=90°時(shí)，依據(jù)對(duì)頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對(duì)頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．
【詳解】（1）當(dāng)AM=CM，即∠CAM=∠C=30°時(shí)，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°?30°=60°，
當(dāng)AM=CM，即∠CAM=∠CMA時(shí)，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=60°或15°時(shí)，△AMC是等腰三角形，
故答案為：60°或15°；
（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM與△AFN中，
，
∴，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
在和中
，
∴，
∴PE=PC，
∴點(diǎn)P在CE的垂直平分線上，
∵AE=AC，
∴點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，
∴AP所在的直線是線段CE的垂直平分線；
（3）∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=2，
∴BM=AB?sin30°=1，AM=AB?cs30°=，
∴=AM?MB=1×=，
∵AE=AC=AB?tan60°=2，AM=，
∴EM=，
在和中
∴，
由（2）可知，
∴=，
∵ AF?AE=×2×2=2，
∴△ABC與△AFE重疊的面積2?2×=；
（4）如答題圖1所示：當(dāng)∠CNP=90°時(shí)．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°?60°?90°=30°．
∴∠α=30°．
如答題圖2所示：當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
綜上所述，∠α=30°或60°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)和全等三角形的判定和性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋·福建漳州·九年級(jí)漳州三中校考期中）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．
(1)如圖2，當(dāng)EFBD，且點(diǎn)G落在對(duì)角線BD上時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；
(2)如圖3，連接DG，當(dāng)EFBD且點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)AE＝2AF時(shí)，F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交△BCD的邊于點(diǎn)H，是否存在一點(diǎn)H，使得以E，H，G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似，若存在，請(qǐng)求出線段AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)3或或或
【分析】（1）連接AG，根據(jù)折疊性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理可得DB=10，再根據(jù)折疊性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可得答案；
（2）設(shè)AF=3t，則FG=3t，AE=4t，DF=6-3t，根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)可得答數(shù)；
（3）分四種情況：①當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于P，②當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于P，③當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥MN于N，④當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作MNAB交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥MN于N，過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案．
（1）
解：如圖，連接AG，
由折疊性質(zhì)得AG⊥EF，
∵EFBD，
∴AG⊥BD，
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，
∴∠DAB=90°，AD=BC=6，
∴DB==10，
∵△GEF是由△AEF沿直線EF對(duì)折而成，
∴△GEF≌△AEF，
∴EF為AG中垂線，
∵EFBD，
∴EF=BD=5；
（2）
解：∵點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線，
∴∠DGF=90°，
設(shè)AF=3t，則FG=3t，AE=4t，DF=6-3t，
在Rt△DFG中，，即=36-36t，
∵tan∠FDG=，
∴，
∴t=，
∴AE=；
（3）
解：①當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于P，
∵∠AEF=∠FEG=∠EHG，∠EHG+∠HEG=90°，
∴∠FEG+∠HEG=90°，
∴∠A=∠FEH=90°，
∴△AEF∽△EHF，
∴EF：HE=AF：AE=1：2，
∵∠A=∠HPE=90°，
∴∠AEF+∠HEP=90°，∠HEP+∠EHP=90°，
∴∠AEF=∠EHP，
∴△AEF∽△HPE，
∴AE：HP=EF：EH=1：2，
∴HP=6，
∴AE=3；
②當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于P，
同理可得EF：HE=1：2，EA：HP=1：2，
設(shè)AF=t，則AE=2t，EP=2t，HP=4t，BP=8-4t，
∵△BHP∽△BDA，
∴4t：6=（8-4t）：8，
∴t=，
∴AE=；
③當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)G作MNAB交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥MN于N，
設(shè)AF=t，則AE=2t，DF=6-t，
由折疊可知，△AEF≌△GEF，
∴AE=GE，
∵△AEF∽△GEH，AE=GE，
∴△AEF≌△GEH（AAS），
∴FG=GH，
∵M(jìn)GDH，
∴FM=（6-t），
∴AN=EN=AF+FM=，
∵△FMG∽△GNE，GF：GE=1：2，
∴MG=NE=AM=，GH=2FN=6-t，
∵M(jìn)N=AE，
∴+6-t=2t，
∴t=，
∴AE=；
④當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)G作MNAB交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥MN于N，過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q，
設(shè)AF=t，則AE=2t，
設(shè)FM=a，則NG=2a，NE=a+t，
∴MG=EN=AM=，
∴+2a=2t，
由上題知，MF=MQ=a，QH=2MG=a+t，
∴DQ=6-t-2a，
∵，
∴，
∴t=，
∴AE=．
綜上，滿(mǎn)足條件取線段AE的長(zhǎng)為：3或或或．
【點(diǎn)睛】此題考查的是折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．
10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)問(wèn)題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為，，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長(zhǎng)比例且?jiàn)A角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；
（3）連接BD，如圖（見(jiàn)詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問(wèn)同樣的方法證出，由對(duì)應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長(zhǎng)，接著設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案．
【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：判斷，理由如下：
∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接BD，如圖所示，
∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點(diǎn)Q，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，設(shè)，則，
又∵正方形的邊長(zhǎng)為，
∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的邊長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識(shí)圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）寬與長(zhǎng)的比是（約為0.618）的矩形叫微黃金矩形．它給我們以協(xié)調(diào)謂勻稱(chēng)的美．
如希臘的巴特農(nóng)神廟等．下面我們折疊出一個(gè)矩形：
第一步，在一張寬為2的矩形紙片一端，用下圖的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．
第二步，如下圖，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再展平．
第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線，并把折到下圖中所示的處．
第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D處折出，得到矩形．
(1)證明矩形（下圖）是黃金矩形．
(2)定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為和面積為的兩部分（設(shè)），如果，那么稱(chēng)直線l為該圖形的“黃金分割線”．證明：直線是矩形的黃金分割線；
(3)下圖中，以C為原點(diǎn)，、所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，直接寫(xiě)出中經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“黃金分割線”的解析式．（不要求寫(xiě)過(guò)程）
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)中經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“黃金分割線”的解析式為或
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出∠MBC=∠N=90°，MN=MB，根據(jù)矩形的判定和正方形的判定可得出答案； 由勾股定理求出AB=，則BE=，根據(jù)黃金矩形的定義即可判斷；
（2）先證明 再證明 從而可得結(jié)論；
（3）如圖，建立如下坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得：記NE與y軸的交點(diǎn)為Q，先求解 設(shè)為 可得直線NE的解析式為： 可得 再證明為的“黃金分割線”，從而可得答案．
(1)
解：由矩形的性質(zhì)可知∠BMN=∠N=90°，
由折疊可知∠MBC=∠N=90°，MN=MB，
∴∠BMN=∠N=∠MBC=90°，
∴四邊形MNCB是矩形，
又∵M(jìn)N=MB，
∴矩形MNCB是正方形．
∵M(jìn)N=2，
∴AC=1，
在△ABC中，
由折疊可知AD=AB=，
∴BE=CD=AD-AC=，
又∵DE=BC=MN=2，
∴，
∴矩形BCDE為黃金矩形．
(2)
由（1）得：


∴矩形MNDE是黃金矩形．



∴直線是矩形的黃金分割線．
(3)
如圖，建立如下坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得：記NE與y軸的交點(diǎn)為Q，

設(shè)為
解得：
∴直線NE的解析式為：
當(dāng)時(shí)，



∴
∴為的“黃金分割線”，
所以CQ的解析式為：



∴為的“黃金分割線”，
設(shè)為

解得：
∴CE的解析式為：
綜上：中經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“黃金分割線”的解析式為或
【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割點(diǎn)的含義，黃金分割線的含義，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，黃金矩形的含義，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，二次根式的混合運(yùn)算，理解題意，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
12．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣4，0），（0，8），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使PE＝AO，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；
(3)在線段PE上取點(diǎn)F，使PF＝3，過(guò)點(diǎn)F作MN⊥PE，截取FM＝ ，F(xiàn)N＝1，且點(diǎn)M，N分別在第一、四象限，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M，N中，有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的t的值．
【答案】(1)t=2；E（6，0）；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12
【分析】（1）由運(yùn)動(dòng)的路程O(píng)C的長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)速度，可以求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；再求線段OE的長(zhǎng)和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）證△AOC≌△EPD即可；
（3）點(diǎn)M，N中，有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，分類(lèi)討論即可求解．
【詳解】（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣4，0），（0，8），
∴OA=4，OB=8，
∵點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)，
∴OC=BC=OB=4，
∵動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴2t=4
解之：t=2；
∵PE=OA=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6
∴點(diǎn)E（6，0）
（2）證明：∵四邊形PCOD是平行四邊形，
∴OC=PD，OC∥PD，
∴∠COP=∠OPD，
∴∠AOC=∠DPE
在△AOC和△EPD中
∴△AOC≌△EPD（SAS）
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，
∴AC∥DE，
∴四邊形ADEC是平行四邊形．
（3）由題意得：C(0，8-2t)，P(t，0)，F(xiàn)(t+3，0)，E(t+4，0)，D(t，2t-8)，
設(shè)CE的解析式為y=kx+b，
則，
解得：，
∴CE的解析式為，
同理，DE的解析式為，
①當(dāng)M在CE上時(shí)，M(t+3，)，
則
解得，，
②當(dāng)N在DE上時(shí)，N(t+3，-1)，
則
解得，，
當(dāng)點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，
③如果點(diǎn)M在DE上時(shí)，
，
解得，，
④當(dāng)N在CE上時(shí)，
，
解得，，
綜上分析可得，滿(mǎn)足條件的t的值為：t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，平行四邊形的判定，抓住動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）已知：和是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中，，連接，取的中點(diǎn)M，連接和．
(1)如圖1，分別取和的中點(diǎn)G、H，連接，那么和的數(shù)量關(guān)系是______．
(2)將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．
(3)已知正方形的邊長(zhǎng)為2，正方形的邊長(zhǎng)為10，現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)依然成立．理由見(jiàn)解析
(3)或
【分析】（1）由三角形中位線定理得出，，，，得出，，證明，得出，證明，得出，即可得出結(jié)論；
（2）證出，，，再證明，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①取的中點(diǎn)，連接、，連接，由（1）得：，，由勾股定理得：，，得出，，由勾股定理求出，求出；
②取的中點(diǎn)，連接、，連接，由（1）得：，，同①得：，，得出，由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）為的中點(diǎn)，、分別為和的中點(diǎn)，
，，，，
，，
，
在等腰直角與等腰直角中，、分別為和的中點(diǎn)，
，，，，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，，
；
故答案為：；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立；理由如下：
在和中，為的中點(diǎn)，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
；
故（1）中的結(jié)論仍然成立；
（3）分兩種情況：或
①如圖所示：取CE的中點(diǎn)M，連接BM、DM，連接AE，
由（1）得：，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，∴，
∴；
②如圖所示：取CE的中點(diǎn)M，連接BM、DM，連接AE，
由（1）得：，，
同①得：，
∴，
∴，
∴；
∴；
綜上所述，BD的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及分類(lèi)討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，作出圖形是解題關(guān)鍵．
14．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）【問(wèn)題探究】如圖1，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，求證：．
【知識(shí)遷移】如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、分別在邊、上，且，求的值．
【拓展應(yīng)用】如圖3，在平行四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)、分別在邊、上，當(dāng)與的度數(shù)之間滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有？試寫(xiě)出其數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3），理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，推出，即可證明結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)P，、相交于點(diǎn)H，先證明，得到，再證明四邊形是矩形，得到，即可得到答案；
（3）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)N作交于點(diǎn)L，先根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得到，若，則，得到，再利用平行線的性質(zhì)，即可得到與之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）證明：設(shè)、相交于點(diǎn)G，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2解：過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)P，、相交于點(diǎn)H，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)N作交于點(diǎn)L，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形、是平行四邊形，
，，
，
若，
則，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
15．（2023·山東泰安·寧陽(yáng)二中?？家荒＃┮阎?，為等邊三角形，點(diǎn)在邊上．
【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．
【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．求證：．
【類(lèi)比探究】如圖3，點(diǎn)是邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．
【答案】【基本圖形】見(jiàn)解析；【遷移運(yùn)用】見(jiàn)解析；【類(lèi)比探究】見(jiàn)解析．
【分析】基本圖形：只需要證明得到，即可證明；
遷移運(yùn)用：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，然后證明得到，即可推出；
類(lèi)比探究：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，然后證明，得到，再由，即可得到．
【詳解】基本圖形：證明：∵與都是等邊三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
遷移運(yùn)用：證明：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在與中
，
∴，
∴，
∴；
類(lèi)比探究：解：，理由如下：
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在與中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，在的右邊作，交射線于點(diǎn)Q．
(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P到的距離．
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍．
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不再連結(jié)其他線段，當(dāng)圖中存在某個(gè)角為時(shí)，求的長(zhǎng)，并指出相應(yīng)的角．
【答案】(1)
(2)
(3)，；，；，；，
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理得出，再由正弦求解即可；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，即時(shí)，先證明，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而求解即可；
（3）分四種情況，分別是，，，，分別利用勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
即點(diǎn)P到的距離為；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，即時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，，
∴，，
∴，
整理得；
當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，即時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，，
∴，，
∴，
整理得；
綜上，；
（3）①當(dāng)時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)Q作于D，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴；
②當(dāng)時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作于H，
同①可得,
∵，
∴，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
③當(dāng)時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作于N，
同①得，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
⑤當(dāng)時(shí)，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于E，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
綜上，，；，；，；，．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考一模）已知菱形中，，點(diǎn)分別在，上，，與交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)？
(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值？
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)6
(3)4
【分析】（1）如圖所示，連接，先證明是等邊三角形，得到，再證明得到，由此即可證明結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)到M使得，證明，得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，則；
（3）先證明四點(diǎn)共圓，則當(dāng)為直徑時(shí)，最大，設(shè)圓心為O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于M，在中求出的長(zhǎng)即可得到答案．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：延長(zhǎng)到M使得，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∴當(dāng)為直徑時(shí)，最大，
設(shè)圓心為O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）九年級(jí)一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．
(1)操作探究：如圖1，為等腰三角形，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接，則 °，與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)遷移探究：如圖2，（1）中的其他條件不變，當(dāng)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D正好落在的角平分線上，得到，求出此時(shí)的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在等腰三角形中，，．將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)90，
(2)；
(3)或2
【分析】（1）證明為等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，即可得，；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，由平分得，可得，，即可得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得；
（3）分以下兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)E在右邊時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)E在左邊時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）∵為等腰三角形，，
∴為等邊三角形，
∵將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，
∴為等邊三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：90，；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，
∵為等邊三角形，平分為等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵F是的中點(diǎn)，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）分以下兩種情況進(jìn)行討論：
①如圖1．當(dāng)點(diǎn)E在右邊時(shí)，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，
∴為等邊三角形，
∵F是的中點(diǎn)，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在左邊時(shí)，
同理，可得，
∴．
綜上所述，的長(zhǎng)為或2．
【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想是解本題的關(guān)鍵．
19．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【背景】
如圖1，矩形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，折疊矩形使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為．
【操作】
（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的邊上作出點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
【應(yīng)用】
（2）求的度數(shù)和的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，在左側(cè)作等邊三角形，連接，則的最小值是__________ ；
【拓展】
（4）如圖3，若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿翻折，得，延長(zhǎng)至，使，連接．當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案：__________．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）4或6或8或12
【分析】（1）連接，分別以，為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于，兩點(diǎn)，連接即為所求．
（2）由折疊可知，再證明垂直平分，得到，則為等邊三角形，得到，則；
（3）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，， 由直角三角形斜邊上的直線的性質(zhì)得到，則為等邊三角形．證明，得到，則當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，據(jù)此求解即可；
（4）分如圖4-1，4-2，4-3，4-4四種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求；
（2）由折疊可知，
∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
在中，；
（3）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，
∵，為中點(diǎn)，
∴．
∵，
∴，
∴為等邊三角形．
∵為等邊三角形，
∴，．
∴，即，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
∵，
∴．
∴的最小值為，
故答案為：；
（4）如圖4-1所示，當(dāng)時(shí)，在射線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴；
如圖4-2所示，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∴；
如圖4-2所示，當(dāng)時(shí)，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖4-4所示，當(dāng)時(shí)，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為4或6或8或12，
故答案為：4或6或8或12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題， 勾股定理，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·廣西南寧·校考一模）如圖甲，正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)如圖乙，連接，若平分，求證：；
(3)如圖丙，在（2）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）由四邊形是正方形得，，而，即可證明，得，則，所以；
（2）連接交于點(diǎn)，先證明，得，變形為，再證明，得，即可推導(dǎo)出，所以，得，即可證明；
（3）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，設(shè)，則，先證明，推導(dǎo)出，再證明，推導(dǎo)出，由，得，則，再證明，得，所以，于是，則，所以，；作交于點(diǎn)，則，由勾股定理求得，則，再證明，得，則．
【詳解】（1）解：證明：四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
即．
（2）如圖，連接交于點(diǎn)，
由（1）得，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，
設(shè)，則，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
作交于點(diǎn)，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
線段的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，圓O為的外接圓，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)D，，點(diǎn)F在上，平分．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連結(jié)，求證：；
(3)如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)分別交，于G，H兩點(diǎn)，若，，求．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形底邊上的三線合一得出，結(jié)合已知條件利用兩角對(duì)應(yīng)相等即可得出結(jié)論
（2）連接，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等得出，從而得出，即可得出答案
（3）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理得出，再利用得出，從而得出，繼而得出，即可得出答案
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：連接，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：作于M，
由（2）知，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，設(shè)，
∴，
∵，
∴，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的外角性質(zhì)、含有30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，靈活添加輔助線是解題的關(guān)鍵
22．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖甲，在中．．．．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．它們的速度均為每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒鐘（）．
(1)設(shè)的面積為S，當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？
(2)在（1）的前提下．當(dāng)S取得最大值時(shí)．把此時(shí)的沿射線以每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)點(diǎn)A平移至與點(diǎn)C重合時(shí)停止，與的重疊部分面積y與平移時(shí)間x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；
(3)如圖乙，連接，將沿翻折，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值．
【答案】(1)當(dāng)t為秒時(shí)，S取得最大值，S的最大值是cm2
(2)
(3)s
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作于H，可證明，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
（2）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，則，再由，可得，，然后分三種情況：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在線段上，點(diǎn)A在線段上，點(diǎn)P在的內(nèi)部， ②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A在線段上，點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在的內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A在線段上，點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在的外部，結(jié)合三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得四邊形為菱形，可得垂直平分，，再根據(jù)，可得，從而得到，再由，可得到關(guān)于t的方程，即可求解．
【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作于H，
∵°，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴的面積為：
∴當(dāng)t為秒時(shí)，S取得最大值，S的最大值是cm2．
（2）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，則，
∴，
∴，
即，
解得：，，
①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在線段上，點(diǎn)A在線段上，點(diǎn)P在的內(nèi)部，；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A在線段上，點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在的內(nèi)部，設(shè)交于點(diǎn)E，則，，
∵
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A在線段上，點(diǎn)Q在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在的外部，則，，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
則，
綜上所述，
（3）如答圖3，連接，設(shè)交于點(diǎn)E，
當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，垂直平分，，
∴，
∴，
∴
，
，
∴，
解得：，
∵，
∴當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，t的值是s．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了四邊形綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．
23．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┩ㄟ^(guò)以前的學(xué)習(xí)，我們知道：“如圖1，在正方形中，，則”． 某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上學(xué)習(xí)后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究：
(1)【問(wèn)題探究】如圖2，在正方形中，點(diǎn)，，，分別在線段，，，上，且，試猜想______；
(2)【知識(shí)遷移】如圖3，在矩形中，，，點(diǎn)，，，分別在線段，，，上，且，試猜想的值，并證明你的猜想；
(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，求的值．
【答案】(1)
(2)，理由見(jiàn)解析；
(3)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用正方形，，，證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用
在長(zhǎng)方形中，，，求證，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可；
（3）：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證明，得出
，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1），
理由如下：
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∴，，
在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1
（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∴，，
在長(zhǎng)方形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3）如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．
24．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)C為和的公共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，請(qǐng)完成如下問(wèn)題：
(1)如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；
類(lèi)比探究：
(2)如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)，
(2)①不成立，；②成立，理由見(jiàn)解析
(3)或
【分析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．由等邊三角形的性質(zhì)可得出，，，進(jìn)而可求出，即可證，從而得出結(jié)論．再根據(jù)，即得出直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；
（2）由題意易證，得出，，進(jìn)而可證，得出，，即．由（1）同理可證直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可解答．
【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
和都是等邊三角形，
，，，
，
，
，．
∵，
．
綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是．
故答案為：，；
（2）①不成立，；②成立．
理由：如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
，，
∴，
，，
，
，，
．
∵，
．
綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；
（3）的長(zhǎng)為或．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)．
，，，
，，
，．
，
，
；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，同理可得．
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．正確作出輔助線構(gòu)造全等或相似三角形是解題關(guān)鍵．
25．（2023·陜西西安·?？级＃?）如圖，在中，，，則邊上的高為_(kāi)_____．
（2）如圖，在四邊形中，，，，，的直角頂點(diǎn)在邊上，頂點(diǎn)在邊上，若，求的長(zhǎng)．
（3）如圖，在四邊形中，，，，，，的頂點(diǎn)，分別在邊，上，若，的面積是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可；
（2）證明，推出，可得結(jié)論；
（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，可得即的最小值，得到此時(shí)的面積最小，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為G，求出，即可得到面積．
【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即邊上的高為．
（2），，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）存在．
理由：如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
，
有最大值，最大值，
的最大值為，即的最小值為，此時(shí)的面積最小，
過(guò)點(diǎn)F作，垂足為G，
∵，，
∴，
∴，
∴的面積為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．
26．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）如圖1，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)．
(1)若為的中點(diǎn)．
①求的值；
②連接，若，求證：．
(2)如圖2，若，求證：．
【答案】(1)①，②見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）①利用中位線的性質(zhì)及平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例得出的關(guān)系以及的關(guān)系，然后求解即可；②結(jié)合①中的結(jié)論可得出四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合題意，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得出結(jié)論即可；
（2）通過(guò)添加輔助線構(gòu)造等腰三角形，并由等腰三角形的性質(zhì)以及題中的條件證得，利用相似的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）①解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于，
∵，
∴，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②證明：如圖1，連接，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：如圖2，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連接，
則，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造等腰三角形并轉(zhuǎn)化以及熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
27．（2023·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．
(1)不添加輔助線，在圖中找出一個(gè)與相似的三角形（不需證明）；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)若．求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再說(shuō)明即可解答；
（2）如圖：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，先證可得進(jìn)而得到，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得、，最后根據(jù)線段的和差即可解答．
（3）過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M，可得，再根據(jù)三角函數(shù)可得，設(shè)，則，結(jié)合（2）可得，再證明可得，然后再證明可得即，解得，進(jìn)而求得，最后代數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：結(jié)論：．如下：
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M，
∴，
∴，
在中，，
∴，
設(shè)，則，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴
∴的值為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．
28．（2023·福建莆田·校考一模）如圖，中，，以直角邊為腰，向外作等腰直角三角形，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．
(1)探究：與的數(shù)量關(guān)系；
(2)求證：；
(3)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)詳解
(3)
【分析】（1）根據(jù)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于得到，再由即可得到；
（2）延長(zhǎng)至M點(diǎn)，使得，連接，再證，得到，，接著證明，即有，則結(jié)論的證明；
（3）過(guò)D點(diǎn)作，將的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，先求出，則有，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，則利用勾股定理即可求出，再證明，即可求出、，進(jìn)而可得，再利用勾股定理可求得，則可得．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延長(zhǎng)至M點(diǎn)，使得，連接，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）過(guò)D點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，如圖，
∵在等腰中，斜邊，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵在（2）中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形中兩銳角互余等知識(shí)，構(gòu)造是解答本題的關(guān)鍵．
29．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）在中，，點(diǎn)，分別在邊和邊上，，相交于點(diǎn)．
(1)如圖（1），已知：．
①若，求的值；
②若，求證：；
(2)如圖（2），若，，交于，求證：．
【答案】(1)①；②見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）①結(jié)合圖形，根據(jù)，得到，再證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，解出此題．
②
如圖，過(guò)作于，證明，得到，再根據(jù)，得到，即，可解出此題．
（2）
分別過(guò)作的平行線，過(guò)作的平行線，兩條平行線相交于，連接，易得四邊形為平行四邊形，可得，再證明，可得，再證明，就可證明，又因?yàn)?，得出，根?jù)等邊對(duì)等角得到．
【詳解】（1）①解： ，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
②
②證明：如圖，過(guò)作于，
∵，，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）
證明：如圖，分別過(guò)作的平行線，
過(guò)作的平行線，兩條平行線相交于，連接．
易得四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，∵
∴
∵，∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確地畫(huà)出輔助線是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為點(diǎn)，分別在邊，上，且，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，．
(1)填空： ______ ；填或或
(2)設(shè)，
①的面積有變化嗎？如果變化，請(qǐng)求出與的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請(qǐng)求出定值；
②請(qǐng)直接寫(xiě)出使是等腰三角形的值．
【答案】(1)
(2)①不變，的面積為；②的值為或或
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，利用外角的性質(zhì)和已知條件即可求出；
（2）①證明得出的結(jié)論，即可得到的面積不變；
②根據(jù)是等腰三角形分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，先證，即可求出，，再利用平行可得：，再利用與的和為4即可求出；當(dāng)時(shí)，方法同上；當(dāng)時(shí)，先證，在上取一點(diǎn)，使得，可證，設(shè)，則，再利用勾股定理即可求出，再利用與的和為即可求出．
【詳解】（1）∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴．
故答案為：．
（2）①的面積不變．
理由：∵，，
∴，
，
∴．
∵．
∴的面積為．
②如圖1中，當(dāng)時(shí)，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
可得，，
∵，
∴，
∴．
如圖2中，當(dāng)時(shí)，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如圖3中，當(dāng)時(shí)，
由（2）中，
∴，
∴
∴
∴．
在上取一點(diǎn)，使得，
∴，
∵，
∴，
∴，設(shè)，則，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為或或．
【點(diǎn)睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的定義，分類(lèi)討論，解決此題的關(guān)鍵是畫(huà)出每種分類(lèi)討論下的圖形，利用已知條件推出各個(gè)邊或角之間的關(guān)系，利用相似或勾股定理求邊．
31．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為，，上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)G，求證：．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，．若，，，求的值．
【拓展提高】
（3）如圖3，在中，，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若，平分，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用，證明，，利用相似三角形的性質(zhì)可證得，結(jié)合可的結(jié)論；
（2）由（1）得，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，依據(jù)的性質(zhì)即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小問(wèn)的思路，延長(zhǎng)交于M，連接，過(guò)點(diǎn)M作于N，根據(jù)角平分線和等腰三角形性質(zhì)構(gòu)造出含、角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延長(zhǎng)交于M，連接，過(guò)點(diǎn)M作于N，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識(shí)，遵循構(gòu)第（1）、（2）小問(wèn)的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．
32．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）已知平行四邊形中，，點(diǎn)P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，作，射線交射線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，證明：；
(2)如圖2，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)或
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，則，由角之間的關(guān)系得到，即可證明；
（2）設(shè)交于點(diǎn)O．先證明，得到，過(guò)點(diǎn)D作延長(zhǎng)線于H，由得到，則，在中，，由，得到，，，在中，由勾股定理得到，則，即可得到；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊延長(zhǎng)線上或在邊上兩種情況，分別求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，
又且，
∴，
∴；
（2）設(shè)交于點(diǎn)O．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵在中，，
在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)D作延長(zhǎng)線于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）是以為底的等腰三角形時(shí)，
∴當(dāng)點(diǎn)E在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，
設(shè)，則，
由得，，
即，
解得，
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，設(shè)，
則，
由得，
，即，
解得，
∴，
∴綜上所述，長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
33．（2023·山東泰安·新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獌蓚€(gè)等腰有公共頂點(diǎn)C，，連接是的中點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求證：；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）法一：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，易證為等腰直角三角形，得到，進(jìn)而得到為的中位線，即可得證；法二：延長(zhǎng)交于，證明，進(jìn)而推出是等腰直角三角形，得到，進(jìn)而得到，即可得證；
（2）法一：延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，易得，，證明，得到，即可得證；法二：延長(zhǎng)交于D，連接、，分別證明，推出是等腰直角三角形，進(jìn)而得證．
【詳解】（1）解：法一：
如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵等腰有公共頂點(diǎn)C，，
∴，，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴；
法二：
如圖，延長(zhǎng)交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴；．
（2）法一：
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，則：，
∵，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴點(diǎn)B為中點(diǎn)，又點(diǎn)M為中點(diǎn)，
∴．
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)G，連接，
同法可得：，，
∴點(diǎn)E為中點(diǎn)，又點(diǎn)M為中點(diǎn)，
∴．
在與中，
，
∴，
∴，
∴．
法二：
如圖，延長(zhǎng)交于D，連接、，
∵為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，以及斜邊上的中線等于斜邊的一半．解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等．
34．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖1，已知菱形，點(diǎn)在邊上，，交對(duì)角線于點(diǎn)．
(1)求證；
(2)如圖2，聯(lián)結(jié)．
①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的大??；
②如圖3，聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①或；②
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)得，，已知，等量代換得，公共角，即可得證；
（2）①設(shè)，由菱形的性質(zhì)，由（1），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，故，根據(jù)菱形的性質(zhì)易得，再由全等三角形的性質(zhì)得，再分情況討論當(dāng)為直角三角形時(shí)，的大??；
②聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，記分別交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，由，得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得，由等角的余角相等得，由等角對(duì)等邊及平行線分線段成比例可得四邊形為等腰梯形，易得，，由，可得，設(shè)設(shè)，，則，由相似三角形的性質(zhì)解得，由菱形的性質(zhì)求得，即可求解．
【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，
，
又 且，
．
又，
．
（2）解：①設(shè)，
四邊形是菱形，
，平分．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
在中，，，故，
是直角三角形，
有以下三種可能的情形：
一、，此時(shí)，不符合題意，應(yīng)舍去；
二、，此時(shí)；
三、，此時(shí)，；
綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的大小為或．
②聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，記分別交于點(diǎn)．
四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
四邊形為等腰梯形．
．
又 ，
．
又 ，
．
又 ，
，
設(shè)，，則，
，
，即，
解得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎喝鐖D，矩形中和中，點(diǎn)C在上，，，，連接，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）為（）．
解答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，？
(2)連接，作交于Q，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求t的值；
(3)連接，，設(shè)四邊形的面積為S（），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作，根據(jù)勾股定理求出，，結(jié)合即可得到答案；
（2）根據(jù)矩形性質(zhì)得到，結(jié)合、即可得到、與t的關(guān)系，列式求解即可得到答案；
（3）連接與交于K，根據(jù)同角三角函數(shù)得到比例線段列出方程，得、的值，然后根據(jù)面積的和差關(guān)系即可得答案；
【詳解】（1）解：作，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：若MHQN為矩形時(shí)，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：連接與交于K，
∵，，
∴，
∵，四邊形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴
．
【點(diǎn)睛】考查了三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，梯形的面積，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
36．（2023·陜西西安·?？家荒＃?）如圖1，的半徑為，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，則的最小值為 ．
（2）如圖2，已知矩形，點(diǎn)為上方一點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，求的度數(shù)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，若矩形的邊長(zhǎng)，，，求此時(shí)的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，即可求解；
（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）先作出的外接圓，進(jìn)而求出外接圓半徑，進(jìn)而判斷出最小時(shí)點(diǎn)的位置，最后構(gòu)造直角三
角形即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值為，
故答案為：；
（2） ，
，
，
點(diǎn)是的內(nèi)心，
平分，平分，
，，
；
（3） ，，，
，
，
如圖3，作的外接圓，圓心記作點(diǎn)，連接，，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，，
點(diǎn)在的外接圓上，
，
，
，
連接，與相交于點(diǎn)此時(shí)，是的最小值，
過(guò)點(diǎn)作于，，交的延長(zhǎng)線于，
，，
四邊形是矩形，
，

平分
，
四邊形是正方形，
，
，
在中，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造出的外接圓是解本題的關(guān)鍵．
37．（2023·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)校考一模）問(wèn)題提出：已知矩形，點(diǎn)E為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)F．將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則與的有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題探究
探究一：如圖，已知正方形，點(diǎn)E為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，直接寫(xiě)出的值 ；
（2）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
探究二：如圖，已知矩形，點(diǎn)E為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)F．
如圖3，若四邊形為矩形， ，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、點(diǎn)），連接、，則的值是否隨著α的變化而變化．若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化情況；若不變，請(qǐng)求出的值．
一般規(guī)律
如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題解決
如圖4，當(dāng)時(shí)，其他條件不變，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí) ．
拓展延伸
如圖5，點(diǎn)E是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交線段于點(diǎn)F，交線段于點(diǎn)M，連接交線段于點(diǎn)H．給出下列四個(gè)結(jié)論，①；②；③；④；正確的結(jié)論有 ___ 個(gè)．
【答案】問(wèn)題探究：探究一（1）；（2），見(jiàn)解析；探究二：；一般規(guī)律：；問(wèn)題解決：或；拓展延伸：3
【分析】探究一（1）由正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得解；
（2）由（1）的結(jié)論即旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，則，即可得到答案；
探究二：證明，得到，由繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，再證明，則，即可得到答案；
一般規(guī)律：作，垂足為M．證明四邊形是矩形，再中，，證明，得到，即可得到結(jié)論；
問(wèn)題解決：分兩種情況求解即可；
拓展延伸：過(guò)點(diǎn)E作，交于P，于Q，證明，則可得，，即可判斷①；推得，即可判斷②；當(dāng)點(diǎn)E向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積逐漸增大，而的面積逐漸減小，特別地，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D重合時(shí)，的面積是的面積，而的面積是0，即可判斷③，過(guò)點(diǎn)F作，由得到，又由，得到，即可判斷④．
【詳解】解：?jiǎn)栴}探究
探究一：（1）∵是正方形的對(duì)角線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2），
理由：由（1）知，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，，
∴，
∴，
∴；
探究二：
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，
∴，
∴．
即．
一般規(guī)律
與的數(shù)量關(guān)系是：；
理由：如圖，作，垂足為M．
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
問(wèn)題解決
如圖4，連接
∵，
∴點(diǎn)E在的中垂線上，
∴
∵，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
如圖4，，
即： ，
如圖，
，
即：，
故答案為：或．
拓展延伸
如圖5，過(guò)點(diǎn)E作，交于P，于Q，
則四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，故①正確；
∵，
∴，
∴，故②正確；
當(dāng)點(diǎn)E向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積逐漸增大，而的面積逐漸減小，特別地，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D重合時(shí)，的面積是的面積，而的面積是0，
∴③不正確，
過(guò)點(diǎn)F作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正確，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在五邊形中，四邊形是矩形，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．與交于點(diǎn)G，將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若，且，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由見(jiàn)解析；
(3)．
【分析】（1）由題意知：，，，從而得知，由三角形的內(nèi)角和定理得知，由旋轉(zhuǎn)得知，從而，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出：，，點(diǎn)在直線上，，證明，得到，等量代換可得結(jié)論；
（3）連接，證明，得到，從而得到，由等腰三角形三線合一知：，由（2）可知，，，在中，由勾股定理求出，從而得出線段的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴
∵將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F，
∴，從而，
∴；
（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，如圖：
則，，，，
∴，，
∴點(diǎn)在直線上，，
在和中，
∴，
∴，
而，
∴；
（3）若，且，則，
連接，如圖：
在和中，，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
由（2）可知，，，
在中，由勾股定理，得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和構(gòu)造輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
39．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．把繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)．
(1)如圖2，當(dāng)線段在內(nèi)部時(shí)，求證：．
(2)當(dāng)點(diǎn)D落在直線上時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并求的長(zhǎng)．
(3)當(dāng)面積最大時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并求出此時(shí)的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析；
(3)見(jiàn)解析，
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到，即可得證；
（2）勾股定理定理求出的長(zhǎng)，中位線定理得到，進(jìn)而得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到，推出，利用勾股定理求出的長(zhǎng)；
（3）設(shè)點(diǎn)E到的距離為h，判斷出h最大，的面積最大，過(guò)點(diǎn)D作于H，證明，利用對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，求出的長(zhǎng)，利用進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，
∴
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，，
∴；
（2）解：如圖，
∵，
∴，
由（1）圖
∵點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D落在上，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
根據(jù)勾股定理得，；
（3）解：如圖，
設(shè)點(diǎn)E到的距離為h，則，
要的面積最大，則h最大，
即時(shí)，此時(shí)，h最大，
∵，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，，
∴，
過(guò)點(diǎn)D作于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在題干圖1中，
∵點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，
∴，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理．本題的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確的畫(huà)出圖形．
40．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┈F(xiàn)有一塊矩形板材，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)在矩形板材上作，且．
(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____；
(2)如圖2，連接，求線段長(zhǎng)度的最小值；
(3)如圖3，連接，工人師傅能否在這塊矩形板材上裁出面積最小的四邊形？若能，請(qǐng)求出四邊形面積的最小值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，最小面積為
【分析】（1）證明即可作答；
（2）過(guò)F點(diǎn)作于H點(diǎn)，證明，即有，，，在中，有，即可得，問(wèn)題得解；
（3）過(guò)F點(diǎn)作于M點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作于N點(diǎn)，連接，同理可證明，即有，，，，，即可得到，，，利用，可得二次函數(shù)，問(wèn)題隨之得解．
【詳解】（1）在矩形中，有：，，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，同理有：，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）過(guò)F點(diǎn)作于H點(diǎn)，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
在中，有，
整理：，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為：，
∴，
即最小值為：；
（3）能，理由如下：
過(guò)F點(diǎn)作于M點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作于N點(diǎn)，連接，如圖，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
按照（2）中的方法同理可證明：，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
整理：，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，的值隨著的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
即，
故最小面積為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)求極值是解答本題的關(guān)鍵，

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附1 幾何變式探究和類(lèi)比變換綜合類(lèi)問(wèn)題

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