2025沈陽五校協(xié)作體高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時間：120分鐘分數(shù)：150分
試卷說明：試卷共兩部分：第一部分：選擇題型（1-11題58分）
第二部分：非選擇題型（12-19題92分）
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 設(shè)集合，，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解指數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計算可得.
【詳解】由，解得，所以，
又，
所以.
故選：C
2. 已知向量，若，則（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)，以及向量的坐標運算法則，即可求解．
【詳解】，
則，解得，
故，
．
故選：A．
3. 函數(shù)的大致圖象為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值法進行判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為全體非零實數(shù)，
因，
所以該函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除AB；
而當時，有，所以，排除C，
故選：D
4. 已知數(shù)據(jù)，且滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是（）
A. 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 極差D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)極差，中位數(shù)以及方差的定義即可排除BCD，舉反例即可求解A.
【詳解】由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，
原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，
去掉，后，數(shù)據(jù)波動性變小，故方差變小，
因此可能變大的是平均數(shù)，比如，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，
新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.
故選：A
5. 如圖，矩形中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：由平面向量的加、減、數(shù)乘運算，以及平面向量基本定理，可表示，
解法二：以為原點，分別為軸的正方向建系，由，結(jié)合坐標運算，求得，可表示．
【詳解】解法一：依題意①，②，③，
由②③式解得，，
代入①式得．
解法二：以為原點，分別為軸的正方向建立平面直角坐標系，
設(shè)，則，
由，有，
有，解得，得．
故選：A．
6. 設(shè)，若（，），則的值為（）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可求，從而可求的值.
【詳解】，
而，故，即，
故選：B.
7. 已知正實數(shù)、滿足，則的最大值為（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式建立不等式，從而解出的最大值.
【詳解】∵
∴，
∴，即，當且僅當時取等號，
故選：B
8. 已知函數(shù)是定義域為的函數(shù)，，對任意、，均有，已知、為關(guān)于的方程的兩個解，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由韋達定理可得出，可得出，且，分析函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.
【詳解】因為、為關(guān)于的方程的兩個解，
則，解得，由韋達定理可得，
因為函數(shù)是定義域為的函數(shù)，，即，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則且，
因為對任意、，均有，即，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，
從而可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，解得，所以，，
因此，關(guān)于的不等式的解集為.
故選：D.
【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的對稱性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)對稱性的區(qū)別.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）
9. 若，則下列說法正確的是（）
A. B. 事件與不互斥
C. 事件與相互獨立D. 事件與不一定相互獨立
【答案】BC
【解析】
【分析】利用對立事件概率和為可判斷錯誤；根據(jù)互斥事件不可能同時發(fā)生，可判斷正確；根據(jù)相互獨立事件的定義和性質(zhì)，可以判斷正確，錯誤.
【詳解】故錯誤；
又所以事件與不互斥，故正確；
則事件與相互獨立，故正確；
因為事件與相互獨立，所以事件與一定相互獨立，故錯誤.
故選：
10. 下列結(jié)論中正確的是（）
A. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則
B. 函數(shù)且的圖象必過定點
C. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
D. 若冪函數(shù)，則對任意、，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用冪函數(shù)的定義可判斷A選項；利用可判斷B選項；利用復(fù)合函數(shù)法可判斷C選項；利用作差法可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，
由題意可得，解得，則，A錯；
對于B選項，因為，
所以，函數(shù)且的圖象必過定點，B對；
對于C選項，因為內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
外層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，C對；
對于D選項，冪函數(shù)，對任意的，則，
則對任意、，
，
，
所以，
，
所以，，可得，
所以，，D對.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)關(guān)于的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根，若，則（）
A. B.
C. 的最小值為D. 的最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A和B，根據(jù)題意畫出分段函數(shù)的圖像，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為與的交點即可，通過觀察圖象直接判斷；對于C和D，可以借助二次函數(shù)的對稱性，得到運用將未知數(shù)減少，轉(zhuǎn)化為函數(shù)后用基本不等式可求出的范圍即可解決.
【詳解】
在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖.
關(guān)于的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根,
等價于與有四個不同交點,則，顯然正確.
令，則或，所以或，
所以，當時最小，數(shù)形結(jié)合有，故B不正確.
運用二次函數(shù)對稱性，可知
，
當且僅當時取等號，故C正確.
根據(jù)圖象，則無最大值，故D不正確.
故選：AC.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函數(shù)得到函數(shù)對稱中心，再由函數(shù)的平移變換的關(guān)系求出函數(shù)的對稱中心.
【詳解】由題意可知函數(shù)關(guān)于點中心對稱，
因為函數(shù)由函數(shù)向左平移1個單位得到，
所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，
函數(shù)由向上平移1個單位得到，
所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，
故答案為：.
13. 如圖，△中，延長到，使，當點在線段上移動時，若，則的最大值是_______.

【答案】3
【解析】
【詳解】試題分析：設(shè)==，0≤k≤1；
又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1時t取最大值3．
即t=λ﹣μ的最大值為3．
考點：平面向量的基本定理及其意義．
14. 已知是定義域為的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造，得到在單調(diào)遞增，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解.
【詳解】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，
可得，
聯(lián)立方程組，解得，
又因為對任意的，都有成立，
所以，所以成立，
構(gòu)造，
所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，
(i)若，則對稱軸，解得；
(ii) 若，在單調(diào)遞增，滿足題意；
(iii) 若，則對稱軸恒成立；
綜上可得，，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題
15. 隨著國家將低空經(jīng)濟納入戰(zhàn)略新興發(fā)展規(guī)劃，無人機行業(yè)迎來前所未有的發(fā)展機遇．某無人機廠家為了解所生產(chǎn)的某類型無人機的飛行時長，隨機抽取100架該類型無人機進行測試，統(tǒng)計得到如下頻率分布表：
（1）估計該類型無人機飛行時長的平均數(shù)及第60百分位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表，最終結(jié)果保留整數(shù)）；
（2）記飛行時長大于等于第60百分位數(shù)的為優(yōu)良品，大于等于10且小于第60百分位數(shù)的為合格品．從該廠家生產(chǎn)的該類型無人機中按照是否為優(yōu)良品并用分層抽樣的方法抽取5架，再從這5架無人機中隨機抽取2架，求至少有一架無人機為優(yōu)良品的概率．
【答案】（1）平均數(shù)為36，第60百分位數(shù)約為39分鐘．
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出飛行時長的平均數(shù)，利用第60百分位數(shù)定義求出第60百分位數(shù).
（2）利用分層抽樣求出5架無人機中優(yōu)良品的數(shù)量，再借助組合計數(shù)問題求出古典概率.
【小問1詳解】
該類型無人機飛行時長的平均數(shù)為；
飛行時長在區(qū)間的頻率為0.3，在的頻率為0.65，
則該類型無人機飛行時長的第60百分位數(shù)，
由，解得，
所以該類型無人機飛行時長的第60百分位數(shù)約為39分鐘.
【小問2詳解】
依題意，合格品與優(yōu)良品比例為，即為，
則抽取的5架無人機中，合格品有3架，優(yōu)良品有2架，
所以從這5架無人機中隨機抽取2架，至少有一架無人機為優(yōu)良品的概率.
飛行時長（分鐘）
頻率
0.1
0.2
0.35
0.25
0.1
16. 如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意根據(jù)向量的線性運算法則得到，，再根據(jù)三點共線，求得即可求解.
（2）根據(jù)題意得到，，結(jié)合三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小問1詳解】
因為，
所以，
因為是線段的中點，所以，
又因為，設(shè)，則有，
因為三點共線，所以，解得，即，
所以．
【小問2詳解】
因為，，
由（1）可知，，所以，
因為三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為．
17. 為了增添學(xué)習(xí)生活的樂趣，甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽，每次投1個球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．
（1）求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率；
（2）求比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對總次數(shù)分三種情況討論，結(jié)合相互獨立事件的概率公式計算可得；
（2）分甲贏得比賽與乙贏得比賽兩類討論，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.
【小問1詳解】
若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件，則，
所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；
【小問2詳解】
若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，則；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
則；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
則；
綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是分析得甲恰好投了2次籃的所有情況，從而結(jié)合獨立事件的概率公式即可得解.
18. 已知函數(shù)，.
（1）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由條件化簡方程為，令得到關(guān)于的二次函數(shù)，由函數(shù)定義域求函數(shù)值域即可.
（2）將函數(shù)解析式代入不等式，通過換元并由單調(diào)性求出參數(shù)范圍，用分離常數(shù)得到不等式，討論函數(shù)的單調(diào)性通過定義域求得最大值，從而求得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
∵，由，
∴在有解，
令，所以，
當時；當趨向于0或時趨向于1，即.
小問2詳解】
，即，
令，則，
因為，為增函數(shù)，所以，
所以化為對任意的恒成立，
在上單調(diào)遞減，
當時，取得最大值為，
所以，實數(shù)的取值范圍為.
19. 定義一種新的運算“”：，都有.
（1）對于任意實數(shù)，試判斷與的大小關(guān)系；
（2）若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范
圍；
（3）已知函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的范圍.
【答案】（1）；
（2）或；
（3）且.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)計算與，即可判斷；
（2）先化簡不等式得，再結(jié)合題設(shè)以及一元二次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組計算求解即可；
（3）先化簡兩函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化成值域間的關(guān)系求值域即可求解.
【小問1詳解】
∵，
∴，
故，
∴.
【小問2詳解】
∵，
∴原不等式可化為：，即，
為滿足題意，必有，即或①，
令，
由于，結(jié)合①可得：，
∴的一個零點在區(qū)間，另一個零點在區(qū)間，
從而，即②，
由①②可得：或.
【小問3詳解】
由題意得，
設(shè)，
令，則，
∴，
∴，
設(shè)，其值域為，
∵，
∴，故的值域為，
根據(jù)題意可知：，∴，
解之得：且.
【點睛】方法點睛：對于新定義題目，解決此類題的策略是：
1. 準確理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論等；
2. 重視“舉例”，利用例子可以檢驗是否理解和懂得正確運用，歸納例子提供解題思路和方法；
3. 運用新定義去解決問題時，根據(jù)新定義交代的性質(zhì)或運算規(guī)則去運用即可，解決問題的過程中還需要將“新定義”的知識與已有知識聯(lián)系起來，利用已有知識經(jīng)驗來解決問題.

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