科目：數(shù)學(xué)
（試題卷）
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生須在答題卡和試題卷上規(guī)定的位置，準(zhǔn)確填寫本人姓名、準(zhǔn)考生號(hào)，并核對(duì)條碼上的信息。確認(rèn)無(wú)誤后，將條形碼粘貼在答題卡上相應(yīng)的位置。
2.考生須在答題卡上各題目規(guī)定答題區(qū)域內(nèi)答題，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效。在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。
3.答選擇題時(shí)，請(qǐng)將選出的答案填涂在指定位置。
4.考試結(jié)束后，將答題卡交回。
5.本試卷共7頁(yè)，如缺頁(yè)，考生須聲明，否則后果自負(fù)。
姓 名
準(zhǔn)考證號(hào)
2023-2024學(xué)年度(上)沈陽(yáng)市五校協(xié)作體期末考試
高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
考試時(shí)間：120分鐘 分?jǐn)?shù)：150分
試卷說(shuō)明：試卷共二部分:第一部分：選擇題型 （1－12題 60分）
第二部分：非選擇題型（13－22題 90分）
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，則“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”是“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”的 條件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
3.某高中安排4名同學(xué)（不同姓）到甲、乙、丙3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，若每名同學(xué)只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，其中張同學(xué)不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．36B．24C．48D．12
4．雙曲線：（）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)，，是的左右焦點(diǎn)，且到一條漸近線的距離為，若雙曲線上一點(diǎn)M滿足，則
A．7 B．3或7 C．5 D．3
5．在三棱錐中，平面交平面于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A.若，則
B.若，，，則為的垂心
C.若與所成的角為，與平面所成的角為，則
D.若，則與平面所成角的余弦值為
6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知若該平面中不存在點(diǎn)，同時(shí)滿足兩個(gè)條件與，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知圓：和橢圓：，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)的范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有一項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9．4個(gè)男生與3個(gè)女生并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（ ）（選項(xiàng)中排列數(shù)的計(jì)算結(jié)果均正確）
A．若3個(gè)女生必須相鄰，則不同的排法有種
B．若3個(gè)女生中有且只有2個(gè)女生相鄰，則不同的排法有種
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有種
D．若3個(gè)女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有種
10.已知平面平面，是上兩點(diǎn)，直線且，直線且。下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（ ）
A.若，，，則四邊形是平行四邊形
B.若，，，則在平面上的射影是
C.若是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則
D.直線，所成角的大小與二面角的大小相等
11．直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切
B．若，則
C．若，則，（其中為直線的斜率）
D．若，且,則，F(xiàn)是焦點(diǎn)
12．隨著我國(guó)航天科技的快速發(fā)展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測(cè)中具有重要作用，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右支上一點(diǎn)作直線交軸于，交軸于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．的漸近線方程為
B．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則
C．點(diǎn)的坐標(biāo)為
D．四邊形面積的最小值為
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡中的橫線上.
13．的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為 .
14．已知,動(dòng)點(diǎn)P滿足,若，則的范圍為 ．
15.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為 ．
16.兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用切制圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支。已知圓錐的軸截面為等邊三角形，平面，平面截圓錐側(cè)面所得曲線記為，則曲線所在雙曲線的離心率為
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
17.已知在的展開(kāi)式中滿足，且常數(shù)項(xiàng)為，求：
（1）的值
（2）從展開(kāi)式中的所有項(xiàng)中任取三項(xiàng)，取出的三項(xiàng)中既有有理項(xiàng)也有無(wú)理項(xiàng)，求共有多少種不同的取法.
如圖①，在四面體中，是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)．設(shè)，，，
用，，表示
（2）若，且，，，以為原點(diǎn)，、、方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖②，過(guò)點(diǎn)做平面，使平面的一個(gè)法向量為，求點(diǎn)到平面的距離
圖① 圖②
19.圓，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，其中為圓心.
（1）若，求直線的方程
（2）若的中點(diǎn)為，求的軌跡方程
20.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為棱的中點(diǎn)：
（1）求證：平面平面；
（2）若，，求二面角的正弦值。
21．已知,點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為，
(1)求點(diǎn)的軌跡方程
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于、兩點(diǎn)，直線分別交直線、于點(diǎn)、，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22.雙曲線，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作、分別垂直于兩條漸近線，垂足為、，設(shè)，，
（1）求證：
（2）若雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為2，過(guò)分別作、平行于漸近線且與漸近線交于、兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的范圍.

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