一、選擇題
1．設集合，，則等于( )
A.B.C.D.
2．已知向量，，若，則( )
A.B.C.D.
3．函數(shù)的大致圖像為( )
A.
B.
C.
D.
4．已知數(shù)據(jù)，，且滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是( )
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.極差D.方差
5．如圖，矩形中，點E是線段上靠近A的三等分點，點F是線段的中點，則( )
A.B.
C.D.
6．設，若（，），則k的值為( )
A.3B.5C.7D.9
7．已知正實數(shù)a、b滿足，則的最大值為( )
A.B.C.D.2
8．已知函數(shù)是定義域為R的函數(shù)，，對任意、，均有，已知m、為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．若，，則下列說法正確的是( )
A.B.事件A與B不互斥
C.事件A與B相互獨立D.事件與B不一定相互獨立
10．下列結(jié)論中正確的是( )
A.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則
B.函數(shù)且的圖像必過定點
C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
D.若冪函數(shù)，則對任意、，都有
11．已知函數(shù)關于x的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根，，，若，則( )
A.B.
C.M的最小值為D.M的最大值為
三、填空題
12．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關于_________對稱.
13．如圖，中，延長到D，使，當E點在線段上移動時，若，則的最大值是_________.
14．已知，是定義域為R的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
四、解答題
15．隨著國家將低空經(jīng)濟納入戰(zhàn)略新興發(fā)展規(guī)劃，無人機行業(yè)迎來前所未有的發(fā)展機遇.某無人機廠家為了解所生產(chǎn)的某類型無人機的飛行時長，隨機抽取100架該類型無人機進行測試，統(tǒng)計得到如下頻率分布表：
(1)估計該類型無人機飛行時長的平均數(shù)及第60百分位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表，最終結(jié)果保留整數(shù)）；
(2)記飛行時長大于等于第60百分位數(shù)的為優(yōu)良品，大于等于10且小于第60百分位數(shù)的為合格品.從該廠家生產(chǎn)的該類型無人機中按照是否為優(yōu)良品并用分層抽樣的方法抽取5架，再從這5架無人機中隨機抽取2架，求至少有一架無人機為優(yōu)良品的概率.
16．如圖，在中，點P滿足，O是線段的中點，過點O的直線與邊，分別交于點E，F(xiàn).
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值.
17．為了增添學習生活的樂趣，甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽，每次投1個球.先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝.經(jīng)過抽簽決定，甲先開始投籃.已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾.
(1)求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率；
(2)求比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
18．已知函數(shù)，.
(1)若存在，使得成立，求實數(shù)t的取值范圍；
(2)若不等式，對任意的恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.
19．定義一種新的運算“”：，都有.
(1)對于任意實數(shù)a，b，c，試判斷與的大小關系；
(2)若關于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)已知函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)m的范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：由，解得，
所以，
又，
所以.
故選：C
2．答案：A
解析：，，
則，解得，
故，
.
故選：A.
3．答案：D
解析：函數(shù)的定義域為全體非零實數(shù)，
因為，
所以該函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，排除AB；
而當時，有，
所以，排除C，
故選：D
4．答案：A
解析：由于，
所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，
原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，
去掉，后，數(shù)據(jù)波動性變小，故方差變小，
因此可能變大的是平均數(shù)，
比如1，3，4，5，6，7，8，9，11，12，
原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，
新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.
故選：A
5．答案：A
解析：依題意①，
②，③，
由②③式解得，，
代入①式得.
故選：A.
6．答案：B
解析：，
而，
故，即，
故選：B.
7．答案：B
解析：∵
∴，
∴，即，
當且僅當時取等號，
故選：B
8．答案：D
解析：因為m、為關于x的方程的兩個解，
則，
解得，由韋達定理可得，
因為函數(shù)是定義域為R的函數(shù)，，
即，
所以，函數(shù)的圖像關于點對稱，
則且，
因為對任意、，
均有，即，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，
從而可知，函數(shù)在R上為增函數(shù)，
由可得，
解得，所以，，
因此，關于t的不等式的解集為.
故選：D.
9．答案：BC
解析：，故A錯誤；
又所以事件A與B不互斥，故B正確；
則事件A與B相互獨立，故C正確；
因為事件A與B相互獨立，
所以事件與B一定相互獨立，故D錯誤.
故選：BC
10．答案：BCD
解析：對于A選項，設冪函數(shù)的解析式為，
由題意可得，
解得，則，A錯；
對于B選項，因為，
所以，函數(shù)且的圖像必過定點，B對；
對于C選項，因為內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
外層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，C對；
對于D選項，冪函數(shù)，
對任意的，則，
則對任意、，
，
，
所以，
，
所以，，
可得，
所以，，D對.
故選：BCD.
11．答案：AC
解析：
在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖像，如圖.
關于x的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根，，，
等價于與有四個不同交點,則，顯然A正確.
令，則或，所以或，
所以，當時最小，數(shù)形結(jié)合有，故B不正確.
運用二次函數(shù)對稱性，可知，
，
當且僅當時取等號，故C正確.
根據(jù)圖像，
則M無最大值，故D不正確.
故選：AC.
12．答案：
解析：由題意可知函數(shù)關于點中心對稱，
因為函數(shù)由函數(shù)向左平移1個單位得到，
所以函數(shù)關于點中心對稱，
函數(shù)由向上平移1個單位得到，
所以函數(shù)關于點中心對稱，
故答案為：.
13．答案：3
解析：設，
，
又
，
；時t取最大值3
即的最大值為3.
14．答案：
解析：因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
滿足，
可得，
聯(lián)立方程組，
解得，
又因為對任意的，
都有成立，
所以，
所以成立，
構(gòu)造，
所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，
(i)若，則對稱軸，解得；
(ii)若，在單調(diào)遞增，滿足題意；
(iii)若，則對稱軸恒成立；
綜上可得，，即實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
15．答案：(1)平均數(shù)為36，第60百分位數(shù)約為39分鐘.
(2).
解析：(1)該類型無人機飛行時長的平均數(shù)為；
飛行時長在區(qū)間的頻率為0.3，在的頻率為0.65，
則該類型無人機飛行時長的第60百分位數(shù)，
由，解得，
所以該類型無人機飛行時長的第60百分位數(shù)約為39分鐘.
(2)依題意，合格品與優(yōu)良品的比例為，即為，
則抽取的5架無人機中，合格品有3架，優(yōu)良品有2架，
所以從這5架無人機中隨機抽取2架，
至少有一架無人機為優(yōu)良品的概率.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因為，
所以，
因為O是線段的中點，
所以，
又因為，設，
則有，
因為E，O，F(xiàn)三點共線，所以，
解得，即，
所以.
(2)因為，
，
由(1)可知，，
所以，
因為E，O，F(xiàn)三點共線，
所以，即，
所以，
當且僅當，
即，時取等號，
所以的最小值為.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)若甲、乙投籃總次數(shù)為2次，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為3次且乙獲勝，
則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投籃總次數(shù)為4次乙獲勝，
則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件A，
則，
所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；
(2)若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，
則甲連續(xù)投中2次，則概率；
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
則；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，
第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
則；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，
第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
則；
綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵，由，
∴在有解，
令，所以，
當時；
當m趨向于0或1時t趨向于1，即.
(2)，
即，
令，則，
因為，為增函數(shù)，所以，
所以化為對任意的恒成立，
在上單調(diào)遞減，
當時，取得最大值為，
所以，實數(shù)b的取值范圍為.
19．答案：(1)；
(2)或；
(3)且.
解析：(1)∵，，
∴，
故
，
∴.
(2)∵，
∴原不等式可化為：，即，
為滿足題意，必有，即或①，
令，
由于，結(jié)合①可得：，
∴的一個零點在區(qū)間，另一個零點在區(qū)間，
從而，
即②，
由①②可得：或.
(3)由題意得，，
設，
令，，則，
∴，
∴，
設，
其值域為，
∵，
∴，故的值域為，
根據(jù)題意可知：，
∴，
解得：且
飛行時長（分鐘）
頻率
0.1
0.2
0.35
0.25
0.1

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