2024沈陽(yáng)五校協(xié)作體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)含解析

這是一份2024沈陽(yáng)五校協(xié)作體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)含解析，共18頁(yè)。
分?jǐn)?shù)：150分
試卷說(shuō)明：本試卷共二部分:第一部分：選擇題型（1－11題 58分）
第二部分：非選擇題型（12－19題 92分）
第Ⅰ卷(選擇題 共58分)
一、選擇題：本題共8小題的，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. ，則是（ ）
第一或第二象限角第二或第四象限角
第一或第三象限角第二或第三象限角
對(duì)于任意非零向量，，，若，在上的投影向量互為相反向量，下列結(jié)論一定成立的是( )
∥ ∥
⊥ ⊥
3.2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案。出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾云紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶，玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美?，F(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：，，，若，，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（ ）
圖1

4.已知向量，，若，則（ ）

5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，是等腰直角三角形，其中兩點(diǎn)為圖象與軸的交點(diǎn)，為圖象的最高點(diǎn)，且，則（ ）

6.若，則（ ）
或 或
7.剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開(kāi)得到最后的圖形，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（ ）

8.已知，，，則下列不等式成立的是（ ）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.四邊形內(nèi)接于圓，，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
四邊形為梯形 四邊形 的面積為
圓的直徑為 的三邊長(zhǎng)度滿足
10.下列命題正確的是（ ）
向量在向量上的投影為，則.
已知，若與的夾角不為銳角，則t的取值范圍為.
點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，且滿足，則點(diǎn)是的垂心.
在平面直角坐標(biāo)系中，，，而且三點(diǎn)不共線，則.
11.已知函數(shù)，則（ ）
在區(qū)間單調(diào)遞增.
的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱.
的值域?yàn)?.
關(guān)于的方程在區(qū)間有實(shí)數(shù)根，則所有根之和組成的集合為.第Ⅱ卷(選擇題 共92分)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在中，，則
13.設(shè)是單位向量，且，則的范圍為
14.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為_(kāi)_______．
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．（13分）
在中，已知，，.
(1)求的大??；
(2)若，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
16.（15分）
已知向量，.
若∥，求.
若，函數(shù) ；
（?。┣蟮闹涤?
（ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，求與垂直的單位向量的坐標(biāo).
17.（15分）
如圖，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在ADE區(qū)域內(nèi)參觀．在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE（含端點(diǎn)）上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方.經(jīng)測(cè)量得知AD=6米，AE=6米，AP=2米，.記（弧度），監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域PMN的面積為S平方米．
（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；（參考數(shù)據(jù)）
（2）求的最小值.
18.（17分）
在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，的面積為，且
， .
（1）求的面積最大值.
（2）求的取值范圍.
19.（17分）
“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．
試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值.2023-2024學(xué)年度(下)沈陽(yáng)市五校協(xié)作體期中考試
高一 數(shù)學(xué)參考答案
單選題
多選題
填空題

13. 14.
解答題
（13分）
解：（1） 在中，由正弦定理可得：
，即……………………………………2分
解得，又，故或.……………………5分
（2）由，可得，故，…………6分
………………8分
令，
解得……………………………………10分
由于，取，得；
取， 得；
取， 得；
故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.……13分
（15分）
解：
(1)向量，.∥
…………………………2分
即
，……………………………………4分
，，…………5分
…………………………6分

設(shè)，………………7分
（ⅰ）設(shè)…………………………………………8分
由二次函數(shù)性質(zhì)可得：，………………………………9分
……………………………………10分
故的值域?yàn)椤?1分
（ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，即，此時(shí)，……12分
設(shè)，，…………………………………………13分
解得或……………………15分
(15分)
在中，，米，，，由正弦定理得，
所以，………2分
同理，在中，由正弦定理得，
所以，………………4分
所以的面積
………………6分
………………8分
當(dāng)M與E重合時(shí)，；當(dāng)N與D重合時(shí)，,即，，
所以.
綜上可得,. ---------------------10分
方法二在PME中，，PE=AE — AP=4米，，，由正弦定理可知，
所以，…………2分
在中，由正弦定理可知：
所以………………4分
所以.……………………6分
又點(diǎn)到的距離為……………………7分
所以的面積
…………8分
當(dāng)M與E重合時(shí)，；當(dāng)N與D重合時(shí)，,即，，
所以.
綜上可得,. ---------------------10分
⑵當(dāng)即時(shí)，………………………………12分
取得最小值為.---------14分
所以可視區(qū)域PMN面積的最小值為平方米. ---------------------15分
（17分）
解：【答案】（1） （2）
【詳解】，………2分
，，
，……………………………………………………4分
（1）由余弦定理得，即，
所以，………………………………………………6分
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，解得，…………………………………………8分
；……………………………………9分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大值為.……………………………………10分
（2）由正弦定理得………………11分
所以，…………………………………………………………12分
，………………………………………………14分
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
解得，…………………………………………………………15分
則，，
；………………………………17分
19.（17分）
【答案】（1） （2） （3）
【小問(wèn)1詳解】
由已知中，即，………………………………2分
故，由正弦定理可得.
故直角三角形，即.…………………………………………4分
【小問(wèn)2詳解】
由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，………………5分
設(shè)，
由得：…………………………………………6分
，
整理得，……………………………………………………8分
則
.………………9分
【小問(wèn)3詳解】
點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，………………10分
，……………………………………11分
，…………………………12分
故由得，
即，………………………………………………………………14分
而，故，…………………………15分
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.…………………………………………………………17分
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
C
B
A
A
B
D
9
10
11
ABD
ACD
BCD