人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊-復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義-1教案

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教學(xué)基本信息
課題
7．2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第二冊
出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員
姓名
單位
設(shè)計(jì)者
王立軍
北京市平谷中學(xué)
實(shí)施者
王立軍
北京市平谷中學(xué)
指導(dǎo)者
岳廣勝
北京市平谷區(qū)教育研修中心
課件制作者
王立軍
北京市平谷中學(xué)
其他參與者
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)：
1、知識與技能目標(biāo)：理解并掌握實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律，了解復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義。
2、過程與方法目標(biāo)：在問題探究過程中，體會(huì)和學(xué)習(xí)類比，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，感悟運(yùn)算形成的基本過程。
3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過探究學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察、理解、推理論證的能力。在掌握知識的同時(shí),形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神.
教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的兩種運(yùn)算形式及加法運(yùn)算律，準(zhǔn)確進(jìn)行加減運(yùn)算，初步運(yùn)用加減法的幾何意義解決簡單問題。
教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及其應(yīng)用
教學(xué)方法：探究法
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
復(fù)習(xí)回顧
教師：復(fù)數(shù)產(chǎn)生的背景:為了解決方程在實(shí)數(shù)范圍無解的問題,引入了虛數(shù)單位;引入虛數(shù)單位后，方程無解的問題得意解決，而數(shù)集也隨之?dāng)U大，實(shí)數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集。
復(fù)習(xí)
1．什么是復(fù)數(shù)？對于形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。其中叫做虛數(shù)單位，a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部，
2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件是什么？
當(dāng)且僅當(dāng)
3．復(fù)數(shù)幾何意義
4．復(fù)數(shù)的模：，從幾何上來看復(fù)數(shù)的模表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。
通過復(fù)習(xí)回顧復(fù)數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)知識,使學(xué)生對這一知識結(jié)構(gòu)有個(gè)清醒的初步認(rèn)知,逐漸過渡到對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義的學(xué)習(xí)情境,為探究本節(jié)課的新知識作鋪墊.
新課
探究
師：我們知道實(shí)數(shù)有加、減、乘、除等運(yùn)算，且有運(yùn)算律：
加法：
乘法：

那么，復(fù)數(shù)是否也具有這些運(yùn)算及其運(yùn)算律呢？
探究一:復(fù)數(shù)的加法
復(fù)數(shù)的加法法則
我們規(guī)定,復(fù)數(shù)的加法法則如下:
設(shè)，()是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么：
提出問題：
()兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是個(gè)什么數(shù),它的值唯一確定嗎?
()當(dāng)時(shí),與實(shí)數(shù)加法法則一致嗎?
()它的實(shí)質(zhì)是什么?類似于實(shí)數(shù)的哪種運(yùn)算方法?
學(xué)生明確:
()兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是個(gè)復(fù)數(shù),且是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，它可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加;
()當(dāng)時(shí), 復(fù)數(shù)的加法與實(shí)數(shù)加法法則一致;
()實(shí)質(zhì)是實(shí)部與實(shí)部相加,虛部與虛部相加,類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)．
師：實(shí)數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律,復(fù)數(shù)的加法滿足這些運(yùn)算律嗎?
對任意的,有
（交換律）,
（結(jié)合律）.
證明：設(shè)，()



∴.
同理可證
因此復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即
對任意的,有
（交換律）,
（結(jié)合律）.
師：我們規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則，復(fù)數(shù)的減法法則又該如何呢？
類比復(fù)數(shù)的加法法則,你能試著推導(dǎo)復(fù)數(shù)減法法則嗎?
復(fù)數(shù)的減法法則。
探究二:復(fù)數(shù)的減法
類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定,復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算,即把滿足

的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差,記作.
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,有
,
因此 ,
所以 ,
即 .
兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù). 這就是復(fù)數(shù)的減法法則,
因此復(fù)數(shù)的減法法則為：
設(shè)，則
提醒：我們在推導(dǎo)兩個(gè)復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則時(shí)，應(yīng)用了待定系數(shù)法，即，這種方法也是確定未知復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部經(jīng)常用的一種方法.
歸納總結(jié)：
（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差仍然是個(gè)復(fù)數(shù),且是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)。
（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差實(shí)質(zhì)是實(shí)部與實(shí)部相加減作為實(shí)部, 虛部與虛部相加減作為虛部,類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)；
（3）復(fù)數(shù)的加、減法與實(shí)數(shù)加、減法法則一致，且加法滿足實(shí)數(shù)的運(yùn)算率。
我們知道，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量有一一對
應(yīng)的關(guān)系。而我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此
出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？
設(shè)及分別與復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)對應(yīng)，
則，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，
得
而
這說明兩個(gè)向量與的和就是與復(fù)數(shù)
對應(yīng)的向量。
由圖可以看出，以與為鄰邊的平行四邊形，
其對角線所表示的向量就是復(fù)數(shù)。
因此復(fù)數(shù)的加法與向量的加法相對應(yīng),復(fù)數(shù)加法可以按照向量的
加法來進(jìn)行(如圖）,這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義.
師：類比復(fù)數(shù)加法的幾何意義，你能得出復(fù)數(shù)減法的幾何意義嗎？
y
O
x
探究四:復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義：
設(shè)及分別與復(fù)數(shù)對應(yīng)，
則，，
=-=
這說明兩個(gè)向量于的差向量 就是與復(fù)數(shù)
對應(yīng)的向量。因此復(fù)數(shù)的減法與向量的減法
相對應(yīng),復(fù)數(shù)減法可以按照向量的減法來進(jìn)行(如圖）, 這
就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.
說明:的幾何意義就是復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離。
在復(fù)平面上，這個(gè)結(jié)論你能證明嗎？
加深對復(fù)數(shù)加法法則的理解,且與實(shí)數(shù)類比,了解規(guī)定的合理性:將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù),有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
提高學(xué)生的建構(gòu)能力及主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的能力．
復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算而得到的,滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,是學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的素材.考查學(xué)生的類比思想,提高學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的能力．
加深對復(fù)數(shù)加(減)法法則的理解,從不同的角度總結(jié),既學(xué)到知識,又學(xué)到了數(shù)學(xué)方法,使知識更加系統(tǒng)化,學(xué)生的思維將上升到一個(gè)更高的層面,為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知,作必要的鋪墊.培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力,
通過向量的知識,讓學(xué)生體會(huì)從數(shù)形結(jié)合的角度來認(rèn)識復(fù)數(shù)的加減法法則,訓(xùn)練學(xué)生的形象思維能力,加深復(fù)數(shù)幾何意義的理解，也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.
復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算而得到的,滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.
例題
例1.（1）已知復(fù)數(shù)，試求它們的和

（2）計(jì)算：;
（詳解見PPT）
變式訓(xùn)練
（1）若,求復(fù)數(shù)；
（2）已知復(fù)數(shù)
；
（3）已知復(fù)數(shù)滿足,求復(fù)數(shù).
（詳解見PPT）
例2 根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)之間的距離。
（詳解見PPT）
例3 已知復(fù)平面內(nèi)一平行四邊形AOBC的點(diǎn)A、O、B對應(yīng)復(fù)
數(shù)是 -3+2i ，0 , 2+i，求：
① 點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)； ② 向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
③ A，B兩點(diǎn)間的距離。
（詳解見PPT）
在鞏固復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算。
變式（1）意在鞏固減法是加法的逆運(yùn)算；（2）（3）在滲透待定系數(shù)法，把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化。 三個(gè)變式既復(fù)習(xí)了概念,又鍛煉了學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力
例2利用復(fù)數(shù)及其幾何意義研究復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離問題，將復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為，使得幾何問題代數(shù)化。
例3鞏固復(fù)數(shù)的幾何意義,加深對幾何意義的理解。
總結(jié)
（1）復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運(yùn)算法則。
復(fù)數(shù)的加(減)法實(shí)質(zhì)是:復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減;
（2）復(fù)數(shù)加法減法的幾何意義.
復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法（平行四邊形法則）來進(jìn)行，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法（三角形法則）來進(jìn)行。
通過課堂小結(jié),增強(qiáng)學(xué)生對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運(yùn)算法則及幾何意義的理解, 引導(dǎo)學(xué)生自我反饋、自我總結(jié),并對所學(xué)知識進(jìn)行提煉升華,使知識系統(tǒng)化.讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)會(huì)內(nèi)化知識的方法與經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成.
作業(yè)
1.計(jì)算
2．向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是,分別作出下列運(yùn)算的結(jié)果對應(yīng)的向量；
3．四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的
平行四邊形，A，B，C三點(diǎn)
對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i ，-i ,
2+i，求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù).