教學(xué)基本信息
課題
平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：必修第二冊(cè)
年級(jí)
高一
教材
書(shū)名：數(shù)學(xué) 必修第二冊(cè) 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年8月
教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員
姓名
單位
聯(lián)系方式
設(shè)計(jì)者
康曉東
北京市第二中學(xué)
實(shí)施者
康曉東
北京市第二中學(xué)
指導(dǎo)者
雷曉莉
莊肅欽
東城區(qū)研修中心
北京市第二中學(xué)
課件制作者
康曉東
北京市第二中學(xué)
其他參與者
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)
1.了解平面向量的正交分解，掌握平面向量的坐標(biāo)表示.
2.正確理解平面向量坐標(biāo)的概念，準(zhǔn)確使用平面向量的三種表示方法.
教學(xué)重點(diǎn)
理解平面向量坐標(biāo)的形成過(guò)程，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)平面向量坐標(biāo)的意義.
教學(xué)難點(diǎn)
會(huì)用所學(xué)知識(shí)，解決相關(guān)問(wèn)題.
教學(xué)方法
啟發(fā)式，以問(wèn)題串的形式引入、學(xué)習(xí)新知識(shí).
涉及到的能力
數(shù)學(xué)建模的能力；抽象的能力；數(shù)形結(jié)合的能力.
教學(xué)過(guò)程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
一、復(fù)習(xí)回顧
平面向量基本定理.
二、課堂導(dǎo)入
問(wèn)題1.平面向量基底的唯一要求就是不共線，因此平面向量有無(wú)數(shù)個(gè)基底.那么選什么樣的基底能夠更好的解決問(wèn)題？
問(wèn)題2.物理上，我們?cè)谧隽Φ姆纸鈺r(shí)，將力進(jìn)行了正交分解，即，我們選擇了兩個(gè)互相垂直的力作為基底.這對(duì)我們研究平面向量基底的選擇問(wèn)題有什么啟示?
回顧舊知識(shí)，理解新、舊知識(shí)的聯(lián)系
新課
三、新課講解
1.定義：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐標(biāo)表示.
①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).
②在平面直角坐標(biāo)平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
= 3 \* GB3③坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等,對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量.
= 4 \* GB3④點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系(表格略)
循序漸進(jìn)，使學(xué)生真正理解學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)的意義，會(huì)準(zhǔn)確使用表達(dá)向量的三種方法.
掌握知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程
例題
例1如圖所示 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,3)則
的坐標(biāo)為多少？
解：如圖所示
因?yàn)?2i+3j
所以=(2,3)
例2如圖A(2,2),B(3,4),求 的坐標(biāo).
解：由圖可知=(3-2)i+(4-2)j
=i+2j
所以，的坐標(biāo)(1,2).
例3如圖:用基底i，j分別表示向量a,b,c,d,并求出它們的坐標(biāo).
方法：用基底的形式表示向量，然后得出坐標(biāo).
解：a=(2,3)
b=(-2,3)
c=(-2,-2)
d=(2,-3)
四、課堂練習(xí)
1. 判斷下列命題是否正確 (正確的寫(xiě)T，錯(cuò)誤的寫(xiě)F) .
(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同. ( F )
(2)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo). ( T )
(3)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo). ( T )
2. 已知=(1,2)，則下列說(shuō)法正確的是( D )
A. A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)
B. B點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)
C. 當(dāng)B是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)
D. 當(dāng)A是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)
3. 設(shè)i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j，則a與b的坐標(biāo)為.
4. 如圖，向量a,b,c的坐標(biāo)為_(kāi)__,___,___.
5．如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形中，與x軸正半軸成30°角，求點(diǎn)B，D的坐標(biāo)和，的坐標(biāo)．
解：由題知，分別是以O(shè)x為始邊30?，120?角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．
設(shè)，．由三角函數(shù)的定義，
得，，∴．
，，∴．
∴，．
6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b.
四邊形OABC為平行四邊形.
求向量a，b的坐標(biāo).
解 作AM⊥x軸于點(diǎn)M，
則OM＝OA·cs45°
＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin45°
＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2)).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
小結(jié)：向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.向量的坐標(biāo)表示，溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化.
引出猜想：當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)
有向線段所表示的向量位置與向量坐標(biāo)的關(guān)系
有向線段所表示的向量的坐標(biāo)的確定
向量與向量坐標(biāo)的關(guān)系
向量三種表示之間的轉(zhuǎn)化
向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).
在研究向量的坐標(biāo)時(shí)，把所要研究的向量，平移，使它的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的
總結(jié)
1. 為什么要研究平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示？
2. 怎樣研究平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示？
3. 體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的策略.
回顧知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平
作業(yè)
如圖，用單位正交向量i ,j作為基底{i，j}，表示向量a,b,c,d ,并求出它們的坐標(biāo).
鞏固

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