在拋擲硬幣試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)正面朝上的次數(shù)，算出正面朝上的頻率，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，頻率會(huì)穩(wěn)定在概率0.5附近.
問(wèn)題1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如何估計(jì)正面朝上的概率？
大量手工試驗(yàn)方法耗時(shí)費(fèi)事，統(tǒng)計(jì)量大，效率低，需要提高效率.
隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它的發(fā)生呈規(guī)律性.有些隨機(jī)事件不能像古典概型一樣直接計(jì)算概率，要利用頻率來(lái)估計(jì)概率.我們可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)，構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，那么如何產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)呢？
由試驗(yàn)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)想要產(chǎn)生0~9之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，像彩票搖獎(jiǎng)那樣，把10個(gè)質(zhì)地和大小相同的號(hào)碼球放入搖獎(jiǎng)器中，充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，這個(gè)球上的號(hào)碼稱(chēng)為隨機(jī)數(shù).
利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性，因此我們把利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)稱(chēng)為偽隨機(jī)數(shù).
利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù) 為了滿足不同需求，人們開(kāi)發(fā)了功能各異的統(tǒng)計(jì)軟件，有些是專(zhuān)門(mén)的統(tǒng)計(jì)軟件，如R，SAS,SPSS,S-Plus,Stata等；有些是有一定統(tǒng)計(jì)功能的軟件，如Micrsft Excel,MATLAB,GeGebra等.
在電子表格軟件中RANDBETWEEN（1，n）函數(shù)表示產(chǎn)生于1~n范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).下面我們以電子表格軟件為例,模擬拋擲一枚均勻硬幣試驗(yàn).
首先，建立概率模型，用0表示拋擲硬幣出現(xiàn)反面朝上，用1表示出現(xiàn)正面朝上.
利用電子表格軟件的自動(dòng)填充功能，可以快速生成隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷做拋擲硬幣的試驗(yàn).
按照如上方法，我們很快就可以得到100個(gè)數(shù)據(jù)，相當(dāng)于做了100次試驗(yàn).
統(tǒng)計(jì)100次試驗(yàn)中出現(xiàn)“正面朝上”的頻數(shù)為46，計(jì)算出正面朝上的頻率為0.46，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.46.
小結(jié) 隨機(jī)事件發(fā)生的頻率，即具有隨機(jī)性，又具有穩(wěn)定性.通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以看到出現(xiàn)“正面朝上”的頻率穩(wěn)定于概率0.5附近.
用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
問(wèn)題2 要從11件產(chǎn)品中抽取5件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，其中甲產(chǎn)品必須被抽中，如何利用隨機(jī)數(shù)表示抽樣過(guò)程.
解：（1）將10件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼為1，2，…，10；
（2）用計(jì)算器的函數(shù)RAND（1,10）或利用計(jì)算機(jī)的函數(shù)RANDBETWEEN(1,10)產(chǎn)生4個(gè)1到10范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù).（如果有重復(fù)，重新產(chǎn)生一個(gè)即可）；
（3）以上號(hào)碼就是對(duì)應(yīng)的4件產(chǎn)品，也就是要抽取的對(duì)象.
用隨機(jī)模擬估計(jì)等可能事件的概率
問(wèn)題3 一個(gè)袋子中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色不同外沒(méi)有其他差別.從袋中摸出一個(gè)球，出現(xiàn)紅球的概率是0.4，如何設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，驗(yàn)證結(jié)論？
1、建立概率模型 對(duì)于從袋子中摸出一個(gè)球的試驗(yàn)，除了具體試驗(yàn)，我們還可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn).用1，2表示紅球，用3，4，5表示白球，不斷產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做從袋中摸球的試驗(yàn).
在電子表格軟件中利用函數(shù)RANDBETWEEN（1, 5）產(chǎn)生整數(shù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn).
4、頻率估計(jì)概率
這種利用隨機(jī)模擬解決問(wèn)題的方法稱(chēng)為蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
畫(huà)出頻率折線圖，從圖中可以看出隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于概率0.4.
蒙特卡洛（Mnte Carl）方法
在20世紀(jì)40年代美國(guó)第二次世界大戰(zhàn)期間興起和發(fā)展起來(lái)，它的奠基人是研制原子彈“曼哈頓計(jì)劃”的成員烏拉姆和馮·諾伊曼. 馮·諾伊曼首創(chuàng)該法用于裂變中的中子隨機(jī)擴(kuò)散進(jìn)行模擬，并以馳名世界的賭城—摩納哥的蒙特卡洛來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘的色彩.
兩大優(yōu)點(diǎn)： 一是簡(jiǎn)單，省去了反復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算過(guò)程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速. 這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)使得蒙特卡洛方法在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)、生物、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.
蒙特卡洛方法通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問(wèn)題.對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，蒙特·卡洛方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法.
例 從你所在班級(jí)任意選出6名同學(xué)，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬20次，估計(jì)事件A發(fā)生的概率.
解：根據(jù)假設(shè)，每個(gè)人的出生月份在12個(gè)月中是等可能的，而且相互之間沒(méi)有影響，所以觀察6個(gè)人出生月份可以看成重復(fù)試驗(yàn).
方法一:構(gòu)建有放回摸球試驗(yàn)進(jìn)行模擬 在袋子中裝入編號(hào)為1，2，…， 12的12個(gè)球，有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個(gè)數(shù)代表6個(gè)人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗(yàn).
方法二：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn) 在電子表格軟件中，利用函數(shù)RANDBETWEEN（1，12）產(chǎn)生6個(gè)數(shù)，代表6個(gè)人的出生月份，即完成一次模擬試驗(yàn).如此重復(fù)20次，相當(dāng)于做20次重復(fù)試驗(yàn).
如果一組的6個(gè)隨機(jī)數(shù)中至少有2個(gè)相同，則表示事件A發(fā)生了.統(tǒng)計(jì)20次試驗(yàn)的結(jié)果，事件A發(fā)生了15次.
事件A發(fā)生的頻率為0.75，可以用它估計(jì)事件A發(fā)生的概率為0.75. 事實(shí)上，通過(guò)理論計(jì)算，事件A的概率約為0.78.
計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)
例 甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)三局兩勝制甲獲勝的概率.
問(wèn)題1 如何理解三局兩勝制甲獲勝？
問(wèn)題2 每局比賽甲獲勝的概率為0.4的含義是什么？
分析：設(shè)事件A=“甲贏得比賽”，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1，2，3，4時(shí)表示一局比賽甲獲勝. 例如產(chǎn)生如下隨機(jī)數(shù)： 4 4 1 7 1 6 5 8 0 9 7 9 8 3 8 6 1 9 6 2 0 6 7 6 5 0 0 3 1 0 5 5 2 3 6 4 0 5 0 5 2 6 6 2 3 8 2 1 9 7 7 5 8 4 1 6 0 7 4 4 9 9 8 3 1 1 4 6 3 2 2 4 2 0 1 4 8 5 8 8 4 5 1 0 9 3 7 2 8 8 7 1 2 3 4 2 9 7 7 7 7 7 8 1 0 7 4 5 3 2 1 4 0 8 3 2 9 8 9 4 0 7 7 2 9 3 8 5 7 9 1 0 7 5 5 3 3 6 1 9 9 5 5 0 9 2 2 6 1 1 9 6 0 5 6 7 6 3 1 3 8 8 0 2 2 0 2 5 3 5 3 8 6 6 0 4 2 0 4 5 3 3 7 8 5 9 4 3 5 1 2 8 3 3
設(shè)計(jì)概率模型的幾種想法
（2）若將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)每三個(gè)一組，若統(tǒng)計(jì)總組數(shù)N及前兩個(gè)數(shù)字都為1，2，3或4的組數(shù)N1，即 為“甲以2：0獲勝”的概率的近似值；
問(wèn)題3 如何估計(jì)“甲以2：0獲勝”的概率？
若以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組樣本點(diǎn)，產(chǎn)生97組隨機(jī)數(shù)： 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05 26 62 38 21 97 75 84 16 07 44 99 83 11 56 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71 23 42 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75 53 36 19 95 50 92 26 11 96 05 67 63 13 88 02 20 25 35 38 66 04 20 45 33 78 59 43 51 28 33相當(dāng)于做了97次重復(fù)試驗(yàn)，其中“甲以2：0獲勝”共發(fā)生了18次.因此“甲以2：0獲勝”的頻率為0.186，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.186.
若以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組樣本點(diǎn)，產(chǎn)生64組隨機(jī)數(shù)：441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128 相當(dāng)于做了64次重復(fù)試驗(yàn)，其中“甲以2：0獲勝”共發(fā)生了11次，因此“甲以2：0獲勝”的頻率為0.172 ，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.172.
問(wèn)題4 如何估計(jì)“舉行三局比賽甲以2：1獲勝”的概率？
甲需要在前兩局中贏一局輸一局，并贏得第三局.以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，觀察64組隨機(jī)數(shù)：441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128 相當(dāng)于做了64次重復(fù)試驗(yàn)，其中“甲以2：1獲勝”發(fā)生了32次.
其中第三個(gè)數(shù)也在1，2，3，4中，表示第三局甲勝，對(duì)應(yīng)的組數(shù)分別是：364，623 ， 821 ， 744 ， 463 ， 201 ， 712 ， 293 ， 922 ， 611 ， 631 ， 022 ， 353. 相當(dāng)于做了64次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其中“甲以2：1獲勝”發(fā)生了14次，因此“甲以2：1獲勝”的頻率為0.219，用頻率估計(jì)概率的近似值為0.219. 所以，在三局兩勝制下甲獲勝的概率的近似值為0.391.
解：設(shè)事件A =“甲獲勝”，事件Ai =“單局比賽甲勝”，則 P(Ai)=0.4 （i = 1,2,3），用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.4. 由于要比賽三場(chǎng)，每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組.例如,產(chǎn)生40組隨機(jī)數(shù)： 414 544 114 135 522 525 452 213 255 125 442 534 522 242 323 114 224 344 253 245 415 244 124 315 511 524 451 214 254 115 452 533 521 241 423 134 214 544 255 243
相當(dāng)于做了40次重復(fù)試驗(yàn)，其中事件A發(fā)生了15次，對(duì)應(yīng)的組數(shù)分別為:114 ，522 ，213 ， 125 ，522 ，242 ， 114 ，224 ，124 ， 511 ，214 ，115 ，521， 241 ，214.事件A發(fā)生的頻率為0.375，用頻率估計(jì)事件A的概率的近似值為0.375.
小結(jié) 用隨機(jī)模擬方法得到是試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，它是概率的近似值.事實(shí)上，通過(guò)理論計(jì)算得到事件A的概率的精確值為0.352.
隨機(jī)模擬 隨機(jī)模擬估計(jì)概率
2、盒子中僅有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任意取一個(gè)球.(1)“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？(4) 設(shè)計(jì)一個(gè)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬上面取球的試驗(yàn)，并模擬100次，估計(jì) 取出的球是白球的概率？

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