1.(2023·新高考Ⅱ,3)某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果有( )
A.C40045C20015種B.C40015C20045種
C.C40030C20030種D.C40040C20020種
2.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理下表:
據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)論中正確的是( )
A.100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1 050 kg
B.100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1 100 kg的稻田所占比例超過80%
C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200 kg至300 kg之間
D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900 kg至1 000 kg之間
3.某服裝品牌市場(chǎng)部門為了研究銷售情況,統(tǒng)計(jì)了一段時(shí)間內(nèi)該品牌不同服裝的單價(jià)x(單位:元)和銷售額y(單位:元)的數(shù)據(jù),整理得到下面的散點(diǎn)圖.
已知銷售額y=單價(jià)x×銷量z,根據(jù)散點(diǎn)圖,下面四個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型中最適宜作為服裝銷量z與單價(jià)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型的是( )
A.z=a+bxB.z=a+bx
C.z=a+bx2D.z=a+bex
4.已知在盒中有大小、質(zhì)地相同的紅色、黃色、白色的球各4個(gè),分別編號(hào)為1,2,3,4,現(xiàn)從中任意摸出4個(gè)球,則摸出白球個(gè)數(shù)的均值是( )
A.13B.23C.43D.53
5.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī),將學(xué)生的成績(jī)按照[50,75),[75,100),[100,125),[125,150]分成4組,制成的頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從[75,100),[125,150]這兩組學(xué)生中選取5人,再?gòu)倪@5人中任選2人,則這2人的數(shù)學(xué)成績(jī)不在同一組的概率為( )
A.15B.25C.12D.35
6.京劇的角色主要分為“生”“旦”“凈”“丑”四種,其中“凈”和“丑”需要畫臉譜,“生”“旦”只略施脂粉,俗稱“素面”.現(xiàn)有男生甲、乙和女生丙共三名同學(xué)參加學(xué)校京劇社團(tuán)的角色扮演體驗(yàn)活動(dòng),其中女生丙想扮旦角,男生甲想體驗(yàn)畫臉譜的角色,若三人各自獨(dú)立地從四個(gè)角色中隨機(jī)抽選一個(gè),則甲、丙至少有一人如愿且這三人中有人抽選到需要畫臉譜的角色的概率為( )
A.38B.916C.34D.1316
7.盒中有2個(gè)紅球,3個(gè)黑球,2個(gè)白球,從中隨機(jī)地取出一個(gè)球,觀察其顏色后放回,并加入同色球1個(gè),再?gòu)暮兄谐槿∫磺?則第二次抽出的是紅球的概率是( )
A.27B.728C.37D.1956
8.如圖,高爾頓釘板是一個(gè)關(guān)于概率的模型,每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子,它們彼此的距離均相等,上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間.小球每次下落,將隨機(jī)地向兩邊等概率的下落,當(dāng)有大量的小球都滾下時(shí),最終在釘板下面不同位置收集到小球.若一個(gè)小球從正上方落下,落到3號(hào)位置的概率是( )
A.116B.14C.38D.18
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則( )
A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
10.為了解某種植區(qū)推動(dòng)出口后的畝收入(單位:萬(wàn)元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值X=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(X,s2),則( )(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z2)>0.2B.P(X>2)2)>0.5D.P(Y>2)0,均有P(|X-E(X)|≥ε)≤D(X)ε2.藥廠宣稱該血液試劑對(duì)檢測(cè)某種疾病的有效率為80%,現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本,使用該血液試劑進(jìn)行檢測(cè),每份血液樣本檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立,顯示有效的份數(shù)不超過60份,請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式,通過計(jì)算說明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.
18.(17分)某商場(chǎng)對(duì)近幾年顧客使用掃碼支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表.
(1)觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關(guān)系滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式:y=c+dln x,通過散點(diǎn)圖(圖略)可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性.設(shè)ω=ln x,利用ω與x的相關(guān)性及表格中的數(shù)據(jù)求出y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并估計(jì)2024年該商場(chǎng)使用掃碼支付的人次;
(2)為提升銷售業(yè)績(jī),該商場(chǎng)近期推出兩種付款方案.方案一,使用現(xiàn)金支付,每滿200元可參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)方法如下:在抽獎(jiǎng)箱里有8個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球有3個(gè),黑球有5個(gè)),顧客從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出3個(gè)球,若摸出3個(gè)紅球,則打7折;若摸出2個(gè)紅球,則打8折,其他情況不打折.
方案二,使用掃碼支付,此時(shí)系統(tǒng)自動(dòng)對(duì)購(gòu)物的顧客隨機(jī)優(yōu)惠,據(jù)統(tǒng)計(jì)可知,采用掃碼支付時(shí)有18的概率享受8折優(yōu)惠,有38的概率享受9折優(yōu)惠,有12的概率享受立減10元優(yōu)惠.
若小張?jiān)诨顒?dòng)期間恰好購(gòu)買了總價(jià)為200元的商品.
①求小張選擇方案一付款時(shí)實(shí)際付款額X的分布列與均值;
②試比較小張選擇方案一與方案二付款,哪個(gè)方案更劃算?
附:對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(t1,y1),(t2,y2),(t3,y3),…,(tn,yn),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=b^t+a^,b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2=∑i=1ntiyi-nty∑i=1nti2-nt2,a^=y?b^t.
相關(guān)數(shù)據(jù):ω≈0.96,∑i=15ωi2≈6.2,∑i=15ωiyi≈86,ln 6≈1.8(其中ω=ln x).
19.(17分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率;
(2)求第i次投籃的人是甲的概率;
(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).
專題過關(guān)檢測(cè)五 統(tǒng)計(jì)與概率 答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.D 解析 由題意,初中部和高中部總共有400+200=600(人),按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣的原理,應(yīng)從初中部抽取400600×60=40(人),從高中部抽取200600×60=20(人).
第一步,從初中部抽取40人,有C40040種方法,第二步,從高中部抽取20人,有C20020種方法,
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有C40040C20020種抽樣結(jié)果.故選D.
2.C 解析 由6+12+18=3650,得中位數(shù)在[1 050,1 100)范圍內(nèi),故A錯(cuò)誤;
畝產(chǎn)量低于1 100 kg的稻田生產(chǎn)數(shù)為6+12+18+30=66,66100=66%2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7,∴A錯(cuò)誤.P(X>2)1.8)=0.5,∴B正確.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y6.635=x0.010.
依據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
16.解 (1)由題圖可知,10(3a+0.01+0.015+0.03×2)=1,解得a=0.005,該村村民成績(jī)的平均數(shù)約為(35+45+95)×0.05+(55+65)×0.3+75×0.15+85×0.1=64.5.
(2)從成績(jī)?cè)赱30,40),[80,90)內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人,其中成績(jī)?cè)赱30,40)的村民有6×+0.1=2人,成績(jī)?cè)赱80,90)的村民有4人,從中任選3人,X的取值可能為1,2,3,P(X=1)=C22C41C63=15,P(X=2)=C21C42C63=35,P(X=3)=C20C43C63=15,
則X的分布列為
故E(X)=1×15+2×35+3×15=2.
17.解 (1)設(shè)批次1的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件A,人工抽檢合格為事件B,由已知得P(A)=98100,P(AB)=1-120=1920,則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí),P(B|A)=P(AB)P(A)=1920×10098=9598.
(2)設(shè)100份血液樣本中檢測(cè)有效的份數(shù)為X.
假設(shè)該企業(yè)關(guān)于此新試劑有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的,那么在此假設(shè)下X~B(100,0.8),E(X)=100×0.8=80,D(X)=100×0.8×(1-0.8)=16.
由切比雪夫不等式可知P(X≤60)≤P(|X-80|≥20)≤D(X)202=0.04.
即在假設(shè)下,100份血液樣本中顯示有效的份數(shù)不超過60份的概率不超過0.04,此概率很小,據(jù)此我們有理由推斷該企業(yè)的宣傳內(nèi)容不可信.
18.解 (1)計(jì)算知y=5+12+16+19+215=735=14.6,
所以d^=∑i=15ωiyi-5ω y ∑i=15ωi2-5ω2 ≈86-5×0.96××0.962=10,
c^=y?d^ ω≈14.6-10×0.96=5,
所以所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=10ln x+5,
當(dāng)x=6時(shí),y^=10ln 6+5≈23(萬(wàn)人),
估計(jì)2024年該商場(chǎng)使用掃碼支付的有23萬(wàn)人次.
(2)①選擇方案一,由題意知付款金額為X元,則可能的取值為140,160,200,
P(X=140)=C33C83=156,P(X=160)=C32C51C83=1556,P(X=200)=1-156?1556=57,
故X的分布列為
所以E(X)=140×156+160×1556+200×57=2 63514=188314(元).
②選擇方案二,記需支付的金額為Y元,
則Y的可能取值為160,180,190,則其對(duì)應(yīng)的概率分別為18,38,12,
所以E(Y)=160×18+180×38+190×12=18212,
E(X)>E(Y),故從概率角度看,小張選擇方案二付款優(yōu)惠力度更大.
19.解 (1)設(shè)事件A:“第2次投籃的人是乙”,
則P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(2)設(shè)第i次是甲投的概率為pi,則第i次是乙投的概率為1-pi,由題意可知p1=12,
pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi.
則pi+1-13=25pi+15?13=25(pi-13),
故數(shù)列{pi-13}為公比為25的等比數(shù)列.
故pi-13=(p1-13)×25i-1=16×25i-1,得到pi=13+16×25i-1,i∈N*.
(3)由(2)知,設(shè)隨機(jī)變量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,則Xi服從兩點(diǎn)分布.
由題可知,當(dāng)n≥1時(shí),E(Y)=∑i=1npi=16∑i=1n25i-1+n3=518[1-25n]+n3,n∈N*.
綜上所述,可知E(Y)=∑i=1npi=518[1-25n]+n3,n∈N
畝產(chǎn)量
[900,950)
[950,1 000)
[1 000,1 050)
[1 050,1 100)
[1 100,1 150)
[1 150,1 200)
生產(chǎn)數(shù)
6
12
18
30
24
10
機(jī)床
品級(jí)
合計(jì)
一級(jí)品
二級(jí)品
甲機(jī)床
150
50
200
乙機(jī)床
120
80
200
合計(jì)
270
130
400
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼x
1
2
3
4
5
使用掃碼支付的人次y/萬(wàn)人
5
12
16
19
21
X
1
2
3
P
15
35
15
X
140
160
200
P
156
1556
57

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