1．某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表：
據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù)．生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則（ ）
A．3N2＝2N1B．2N2＝3N1
C．＝D．＝
4．下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（ ）
A．B．
C．D．
二．多選題（共1小題）
（多選）5．為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（，s2），則（ ）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Z＜μ+σ）≈0.8413）
A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5
C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8
三．填空題（共5小題）
6．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 ．
7．在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個數(shù)之和的最大值是 ．
8．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球．記m表示前兩個球號碼的平均數(shù)，記n表示前三個球號碼的平均數(shù)，則m與n差的絕對值不超過的概率是 ．
9．A，B，C，D，E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加，甲選到A的概率為 ；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為 ．
10．某校舉辦科學(xué)競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是 ．
四．解答題（共6小題）
11．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分數(shù)列．
（1）寫出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分數(shù)列；
（2）當m≥3時，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數(shù)列；
（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分數(shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞．
12．某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊都由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分，若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．
某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
（1）若p＝0.4，q＝0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率；
（2）假設(shè)0＜p＜q，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？
13．某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：
（1）填寫如下列聯(lián)表：
能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p＝0.5．設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率．如果＞p+1.65，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（≈12.247）
附：K2＝，
14．某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：
（1）填寫如下列聯(lián)表：
能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的估級品率存在差異？
（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p＝0.5．設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率．如果＞p+1.65，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（≈12.247）
附：K2＝，
15．某保險公司為了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．
假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立．用頻率估計概率．
（1）估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．
（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數(shù)學(xué)期望EX；
（ii）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值與（i）中EX估計值的大小，（結(jié)論不要求證明）
16．為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)約為多少？
（2）估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）．
（3）是否有95%的把握認為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？
參考答案與試題解析
一．選擇題（共4小題）
1．【解答】解：對于A，根據(jù)頻率分布表知，6+12+18＝36＜50，所以100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)不小于1050kg，選項A錯誤；
對于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的稻田頻數(shù)為24+10＝34，所以畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例為＝66%，選項B錯誤；
對于C，畝產(chǎn)量的極差最大值為1200﹣900＝300，最小值為1150﹣950＝200，所以極差介于200kg至300kg之間，選項C正確；
對于D，估計平均數(shù)為＝（6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175）＝1067，選項D錯誤．
故選：C．
2．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有＝24種可能，
丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有＝8種可能，
故P＝＝．
故選：B．
3．【解答】解：根據(jù)個體總數(shù)由N1變?yōu)镹2可列式，
＝2.1，＝3.15，
所以2.1lnN1＝3.15lnN2，
約分可得2lnN1＝3lnN2，故＝，
所以＝．
故選：D．
4．【解答】解：由題意可知選項A的散點圖可知，相關(guān)關(guān)系強，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；
所以A的相關(guān)性系數(shù)最大．
故選：A．
二．多選題（共1小題）
5．【解答】解：依題意，X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），
對于X～N（1.8，0.12），由于2＝1.8+2×0.1＝μ+2σ，
則P（X＞2）＝P（X＞μ+2σ）＜P（X＞μ+σ）＝1﹣0.8413＝0.1587，A錯；
P（X＞2）＜P（X＞1.8）＝0.5，B對；
對于Y～N（2.1，0.12），由于2＝2.1﹣0.1＝μ﹣σ，
則P（Y＞2）＞P（Y＞2.1）＝0.5，C對；
P（Y＞2）＝P（Y＞μ﹣σ）＝P（Y＜μ+σ）＝0.8413＞0.8，D錯．
故選：BC．
三．填空題（共5小題）
6．【解答】解：甲出1一定輸，所以甲最多得3分，
若得3分，就只有一種組合1﹣8、3﹣2、5﹣4、7﹣6；
若得2分有三類，分別列舉如下：
①出3和出5的贏，其余輸：1﹣6，3﹣2，5﹣4，7﹣8；
②出3和出7的贏，其余輸：1﹣4，3﹣2，5﹣8，7﹣6；1﹣8，3﹣2，5﹣6，7﹣4；1﹣6，3﹣2，5﹣8，7﹣4；
③出5和出7的贏，其余輸：1﹣2，3﹣8，5﹣4，7﹣6；1﹣4，3﹣8，5﹣2，7﹣6；1﹣8，3﹣4，5﹣2，7﹣6；1﹣6，3﹣8，5﹣2，7﹣4；1﹣8，3﹣6，5﹣2，7﹣4；1﹣6，3﹣8，5﹣4，7﹣2；1﹣8，3﹣6，5﹣4，7﹣2；
共12種組合滿足要求，而所有組合為種，
所以甲得分不小于2的概率為．
故答案為：．
7．【解答】解：在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，
則共有＝24種選法，
每種選法可標記為{a，b，c，d}，a，b，c，d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有可能的結(jié)果為：
（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），
（11，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，34，33，40），
（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），
（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40），
在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個數(shù)之和最大的是（15，21，33，43），最大值是：
15+21+33+43＝112．
故答案為：24；112．
8．【解答】解：記前三個球的號碼分別為a、b、c，則共有 種可能，
令 可得：|a+b﹣2c|≤3，
根據(jù)對稱性：c＝1或6時，均有2種可能；
c＝2或5時，均有10種可能；
c＝3或4時，均有16種可能；
故滿足條件的共有56種可能，
．
故答案為：．
9．【解答】解：設(shè)事件A表示“選到A”，事件B表示“選到B”，
則甲從中選3個．甲選到A的概率為P（A）＝＝，
P（AB）＝＝，
∴乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為：
P（B|A）＝＝＝．
故答案為：，．
10．【解答】解：由題可知，A題庫占比為，B題庫占比為，C題庫占比為，
故．
故答案為：．
四．解答題（共6小題）
11．【解答】解：（1）根據(jù)題意，可得當（i，j）?。?，2）時，可以分為a3，a4，a5，a6一組公差為d的等差數(shù)列，
當（i，j）取（1，6）時，可以分為a2，a3，a4，a5一組公差為d的等差數(shù)列，
當（i，j）?。?，6）時，可以分為a1，a2，a3，a4一組公差為d的等差數(shù)列，
所以（i，j）可以為（1，2），（1，6），（5，6）；
（2）證明：當m＝3時，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，
可以分為a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三組公差為3d的等差數(shù)列，
所以m＝3時符合題意；
當m＞3時，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2去掉a2和a13后，
前三組還按照m＝3時的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，
后面的每四個相鄰的項分為一組，即a15，a16，a17，a18；...；a4m﹣1，a4m，a4m+1，a4m+2，
每一組都能構(gòu)成等差數(shù)列，
所以數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數(shù)列；
（3）證明：設(shè)在給定m的情況下，（i，j）的組數(shù)為bm，
當m變成m+1時，數(shù)列就變成了a1，a2，a3，a4，a5，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6，
這里可以分成3組，前4個一組即{a1，a2，a3，a4}，中間的一組，后4個一組即{a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6}，此時我們要在這里面刪除2個數(shù)，那么會有以下幾種情況：
一、兩個都在中間
中間有4m﹣2個數(shù)，且為等差數(shù)列，刪除2個的話，總數(shù)為bm﹣1種；
二、一個在第一組，一個在中間組或兩個都在第一組
第一組和中間組連起來，會變成4m+2個數(shù)的等差數(shù)列，這里面總共有bm種方法，但是要去掉兩個都在中間的情況，共有bm﹣bm﹣1種；
三、一個在中間組，一個在最后一組，或者都在最后一組
和上面一樣，也是共有bm﹣bm﹣1種；
四、一個在第一組，一個在最后一組
此時，將a1，a4m+6同時刪除是肯定可以的，這算一種；
然后，從（2）的結(jié)果來看，把a2，a4m+5同時刪除也是可以的，因為m＝3成立之后，當m＞3時，只是相當于往中間加了4個連續(xù)的等差數(shù)而已，其它是不變的，這也算一種．
綜上，就會有bm+1≥bm﹣1+2（bm﹣bm﹣1）+2＝2bm﹣bm﹣1+2，
bm+1﹣bm﹣（bm﹣bm﹣1）≥2，
可得bm+1﹣bm≥2m+2，
即有b2﹣b1≥2×1+2，
b3﹣b2≥2×2+2，
……
bm﹣bm﹣1≥2（m﹣1）+2，
累加可得bm﹣b1≥2×（1+2+3+…+m﹣1）+2（m﹣1），
即bm≥m2+m+1，
因為b0＝0，b1＝3，所以bm≥m2+m+1，
如果你是隨便刪除，總共有＝8m2+6m+1種，
所以Pm＝≥＞．
12．【解答】解：（1）∵甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，
∴甲第一階段至少投中一次，乙第二階段至少投中一次，
∴甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率為：
P＝（1﹣0.63） （1﹣0.53）＝0.686．
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在人的比賽成績?yōu)?5分的概率為：
P甲＝[1﹣（1﹣p）3]q3，
若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為：
P乙＝[1﹣（1﹣q）3]?p3，
∴P甲﹣P乙＝q3﹣（q﹣pq）3﹣p3+（p﹣pq）3
＝（q﹣p）（q2+pq+p2）+（p﹣q）[（p﹣pq）2+（q﹣pq）2+（p﹣pq）（q﹣pq）]
＝（p﹣q）（3p2q2﹣3p2q﹣3pq2）
＝3pq（p﹣q）（pq﹣p﹣q）
＝3pq（p﹣q）[（1﹣p）（1﹣q）﹣1]＞0，
∴P甲＞P乙，
∴為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，該由甲參加第一階段的比賽．
（ii）若甲先參加第一階段的比賽，比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15，
P（X＝0）＝（1﹣p）3+[1﹣（1﹣p）3]?（1﹣q）3，
P（X＝5）＝[1﹣（1﹣p）3]，
P（X＝10）＝[1﹣（1﹣p）3]，
P（X＝15）＝[1﹣（1﹣p）3]?q3，
∴E（X）＝15[1﹣（1﹣p）3]q＝15（p3﹣3p2+3p）q，
記乙參加第一階段比賽，比賽成績Y的所有可能取值為0，5，10，15，
同理E（Y）＝15（q3﹣3q2+3q）p，
∴E（X）﹣E（Y）＝15[pq（p+q）（p﹣q）﹣3pq（p﹣q）]
＝15（p﹣q）pq（p+q﹣3）＞0，
∴為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)與期望最大，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽．
13．【解答】解：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：
零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異，
X2＝＝4.6875＞3.841，
有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異；
零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異，
4.6875＜6.635，沒有99%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異．
（2）由題意得＝＝0.64，p+1.65＝0.5+1.65×≈0.57，
所以＞p+1.65，故有優(yōu)化提升．
14．【解答】解：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：
零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異，
X2＝＝4.6875＞3.841，
有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異；
零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異，
4.6875＜6.635，沒有99%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異．
（2）由題意得＝＝0.64，p+1.65＝0.5+1.65×≈0.57，
所以＞p+1.65，故有優(yōu)化提升．
15．【解答】解：（1）設(shè)A為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得；
（2）（i）設(shè)ξ為賠付金額，則ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由題可得，，
，，，
所以，
因為毛利潤是保費與賠償金額之差，
故E（X）＝0.4﹣0.278＝0.122（萬元）；
（ii）由（i）知未賠償?shù)母怕蕿?，至少賠償一次的概率為，
故保費的變化為，
設(shè)Y為保單下一保險期的毛利潤，
故E（Y）＝0.122+0.4032﹣0.4＝0.1252（萬元）．
所以E（X）＜E（Y）．
16．【解答】解：（1）580人中體育鍛煉時長大于1小時人數(shù)占比，
該地區(qū)29000名初中學(xué)生中體育鍛煉時長大于1小時的人數(shù)約為；
（2）該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時長約為
[0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+（3+40）+（1+27）]＝≈0.9h；
（3）由題意可得2×2列聯(lián)表，
①提出零假設(shè) H0：成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時無關(guān)，
②確定顯著性水平α＝0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，
③，
④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/1畝產(chǎn)量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1050，1100）
[1100，1150）
[1150，1200）
生產(chǎn)數(shù)
6
12
18
30
24
10
優(yōu)級品
合格品
不合格品
總計
甲車間
26
24
0
50
乙車間
70
28
2
100
總計
96
52
2
150
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
乙車間
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
優(yōu)級品
合格品
不合格品
總計
甲車間
26
24
0
50
乙車間
70
28
2
100
總計
96
52
2
150
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
乙車間
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
索賠次數(shù)
0
1
2
3
4
保單份數(shù)
800
100
60
30
10
時間范圍
[0，0.5）
[0.5，1）
[1，1.5）
[1.5，2）
[2，2.5）
學(xué)業(yè)成績
優(yōu)秀
5
44
42
3
1
不優(yōu)秀
134
147
137
40
27
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
26
24
乙車間
70
30
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
26
24
乙車間
70
30
[1，2）
其他
總數(shù)
優(yōu)秀
45
50
95
不優(yōu)秀
177
308
485

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