1. 已知集合2，3，，，則
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】求出的定義域，化簡集合，根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】因，，
所以，故選C．
研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.
2. 對于任意實(shí)數(shù)，下列命題是真命題是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】對于A, 不能得到，比如，故錯誤，
對于B，若，不能得到，比如，故錯誤，
對于C，若，不能得到，比如，故錯誤，
對于D，因為，所以，故正確，
故選：D
3. 下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【正確答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則判斷是否為同一函數(shù)即可.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故A錯誤；
對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故B錯誤；
對于C，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，
所以表示相同的函數(shù), 故C正確；
對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故D錯誤.
故選：C.
4. 下列各式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項；根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化可判斷BD選項.
【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；
對于B選項，，B選項錯誤；
對于C選項，，C選項錯誤；
對于D選項，，D選項正確.
故選：D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】時，一定有，滿足充分性，
但時，如，不滿足，即不滿足必要性，
“”是“”的為充分不必要條件．
故選：A．
6. 若兩個正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由，得，則化簡后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.
【詳解】由，，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
7. 一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)該不小于，而且這個比值越大，采光效果越好．若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果（ ）．
A. 變壞了B. 變好了C. 不變D. 無法判斷
【正確答案】B
【分析】首先利用字母表示窗戶面積與地板面積的比值，再利用作差法，即可比較大小.
【詳解】設(shè)和分別表示公寓原來的窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積，（面積單位都相同），
由題意得，，則，
因為，所以，又因為，則，
所以，即，
所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了.
故選：B
8. 設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C D.
【正確答案】B
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：∵奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
∴在上為增函數(shù)，，
則不等式等價為不等式，即.
∴當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；
當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；
∴不等式的解集為.
故選：B.
二、多選題(每小題5分，全部選項選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分，共20分)
9. 下列哪個函數(shù)是其定義域上的偶函數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABC
【分析】先求得函數(shù)定義域，根據(jù)偶函數(shù)的定義，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】對于A：定義域為R，令，則，
所以為定義域上偶函數(shù)，故A正確；
對于B：定義域為R，令，則，
所以為定義域上偶函數(shù)，故B正確；
對于C：令，解得，定義域為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，
則，
所以為定義域上偶函數(shù)，故C正確；
對于D：定義域為，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：ABC
10. 下列命題正確的是( )
A. 命題“若，則”的逆否命題為“若，則”
B. 命題“”的否定是“”
C. 若“且”為真命題，則、均為真命題
D. “”是“”的充分不必要條件
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)逆否命題的定義判斷A，根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷B，根據(jù)且命題的真假判斷C，根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷D.
【詳解】對于A：命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；
對于B：命題“”的否定是“”，故B錯誤；
對于C：若“且”為真命題，則、均為真命題，故C正確；
對于D：由，即，解得或，
所以由能推出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確；
故選：ACD
11. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若為正實(shí)數(shù)，，則
B. 若為正實(shí)數(shù)，，則
C. 若，則“”是“”的充分不必要條件
D. 的最小值為2
【正確答案】AC
【分析】選項A，根據(jù)條件，利用作差法即可得出判斷；
選項B，通過取特殊值，即可判斷出結(jié)果的正誤；
選項C，根據(jù)充分條件和必要條件的判定方法，即可判斷出結(jié)果的正誤；
選項D，通過變形得到，再利用基本不等式即可作出判斷.
【詳解】對于選項A，因為，
又因為為正實(shí)數(shù)，，所以，故，所以選項A正確；
對于選項B，取，則，所以選項B錯誤；
對于選項C，因為，若，則，即，
若，則，故任取均滿足，得不到，所以選項C正確；
對于選項D，因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，故，所以選項D錯誤.
故選：AC.
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A.
B. 不等式解集為
C. 方程有兩個解
D. 若且，則
【正確答案】CD
【分析】利用分段函數(shù)求函數(shù)值，直接可判斷A選項；對于B、C、D，作的圖象即可求解，
關(guān)于C，將方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題，關(guān)于D，注意圖象對稱性.
【詳解】對于A：，∴，故A錯誤；
對于B、C、D：作的圖象如下，
不等式解集為，故B錯誤；
，由圖知，的圖象與的圖象有且僅有2個交點(diǎn)，
∴方程有兩個解，故C正確；
令，圖象與的圖象相交于如圖所示3點(diǎn)，
∵，解得，
∴，
易知的對稱軸為，
∴，
∴，故D正確.
故選：CD.
三、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)
13. 已知函數(shù)，則= _____________.
【正確答案】1
【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，分段代入計算即得.
【詳解】函數(shù)，則，
所以.
故1
14. 的值域是 ________
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求得其定義域，結(jié)合值域的定義，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，則，解得，
所以函數(shù)的定義域為，由，則其值域為.
故答案為.
15. 函數(shù)滿足對任意都有，則的取值范圍是________.
【正確答案】
【分析】由題意知函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增需每段遞增且在分界處函數(shù)值滿足的關(guān)系列不等式組求解.
【詳解】由可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
故
16. 已知不等式的解集為A，的解集為B，若“”是“”的充分不必要條件，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
【正確答案】
【分析】
計算得到，根據(jù)題意得到，設(shè)，得到
，計算能得到答案.
【詳解】等式的解集為A，則，“”是“”的充分不必要條件，則.
設(shè)，則 解得
故
本題考查了根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.
四、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演鼻步驟.)
17. 設(shè)集合，.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）當(dāng)時，寫出集合，利用交集的定義可得出集合；
（2）分析可知，分、兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，B=x2≤x≤7，
又因為，則.
【小問2詳解】
解：因為，則，
當(dāng)時，則，解得；
當(dāng)時，則，解得，
因為，則，解得，此時.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求m的值；
（2）若，求a的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性得出m的值；
（2）由解不等式得出a的取值范圍.
【小問1詳解】
解：由冪函數(shù)的定義可得，即，解得或.
因為在上單調(diào)遞減，所以，即，
則.
【小問2詳解】
設(shè)，是R上的增函數(shù).
由（1）可知，即，
則，解得，
即a的取值范圍為.
19. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且.
（1）求，的值；
（2）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
【正確答案】（1），
（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)，代入可得，；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義由，，且，得可證函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
【小問1詳解】
由題意可知，得，所有，
又得，得，
故，.
【小問2詳解】
由，得，
，，且，有
，
由于，
所以，，所有，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
20. 已知不等式的解集為或.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）解關(guān)于x的不等式（其中c為實(shí)數(shù)）.
【正確答案】（1），，
（2）答案見解析
【分析】（1）根據(jù)不等式的解集得出對應(yīng)方程的解，由此求出、的值；
（2）不等式化為，然后分，和討論即可求出不等式解集．
【小問1詳解】
不等式的解集為，或，
所以1和是方程的解，
所以，解得；
由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得；
所以，；.
【小問2詳解】
由（1）知，不等式為，
即，
當(dāng)時，不等式化為，解得；
當(dāng)時，解不等式得；
當(dāng)時，若，即時，解不等式得或，若，即時，解不等式得，若，即，解不等式得或，
綜上知，時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為
時，不等式的解集為或；
時，不等式的解集為
時，不等式的解集為或．
21. 為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米.
（1）若矩形草坪的長比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；
（2）若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求草坪的長、寬各為多少時，整個綠化面積最小，并求出最小值.
【正確答案】（1）16米；
（2）長為，寬為米時整個綠化面積最小；最小值為平方米.
【分析】（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，依題意列出不等關(guān)系，求解即可；
（2）由題可表示出整個綠化面積，然后利用均值不等式，即得最小值.
【小問1詳解】
設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，
由面積均為400平方米，得，
因為矩形草坪的長比寬至少大9米，
所以，所以，
解得，
又，所以，
所以寬的最大值為16米；
【小問2詳解】
記整個的綠化面積為S平方米，由題意可得
（平方米）
當(dāng)且僅當(dāng)米時，等號成立，此時米，
所以當(dāng)草坪為長為米，寬為米的矩形時，整個綠化面積的最小，最小值為平方米.
22. 已知二次函數(shù).
（1）令，若函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象的特征，得到判別式即可得解；
（2）由給定條件可得在上的值域是在值域的子集，再結(jié)合二次函數(shù)與對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【小問1詳解】
因為，所以，
又函數(shù)的圖像與軸無交點(diǎn)，則一元二次方程無實(shí)根，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
因為“對任意，總存在，使得”
等價于“在上的值域是在值域的子集”，
因為，開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，故，，
所以在上的值域為，
而對于，不妨取，
則，
因為，所以，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，又，，
則在上的值域為，
所以，則有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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