一、選擇題
1．已知向量,,則( )
A.B.C.D.
2．直線的斜率為( )
A.B.C.D.
3．根據(jù)如下兩組數(shù)據(jù),下列說法正確的是( )
A.X和Y呈正相關,M和N呈正相關
B.X和Y呈負相關,M和N呈負相關
C.X和Y呈正相關,M和N呈負相關
D.X和Y呈負相關,M和N呈正相關
4．方程表示一個圓,則m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
5．已知雙曲線的一條漸近線方程為,則( )
A.B.C.D.3
6．某種兼職工作雖然以計件的方式計算工資,但是對于同一個人的工資與其工作時間還是存在一定的相關關系,已知小孫的工作時間X（單位:小時）與工資Y（單位:元）之間的關系如表:
若Y對X的線性回歸方程為,則m的值為( )
A.56.5B.58C.60D.62.5
7．設O為坐標原點,F為橢圓的左焦點,A是該橢圓上的點,且是正三角形,則C的離心率為( )
A.B.C.D.
8．已知編號為的三個口袋中有除顏色外完全相同的小球,其中1號口袋中有兩個1號球,一個2號球和一個3號球;2號口袋中有兩個1號球,一個3號球;3號口袋內(nèi)有三個1號球,兩個2號球.第一次先從1號口袋中取出1個球,將取出的球放入與球同編號的口袋中,第二次從該口袋中任取一個球,下列說法不正確的是( )
A.第二次取到3號球的概率為
B.如果第二次取到1號球,則它來自1號口袋的概率最大
C.在第一次取到2號球的條件下,第二次取到1號球的概率是
D.如果將6個不同小球放入這3個口袋內(nèi),每個口袋至少放1個,則不同的分配方法有540種
二、多項選擇題
9．拋物線的焦點為F,點P在C上,若.則點P的坐標為( )
A.B.C.D.
10．如圖,已知四面體,點E,F分別是,的中點,下列等式正確的是( )
A.
B.
C.
D.
11．在某市某次質(zhì)量檢測聯(lián)合考試中,考生有30000人,考生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布.已知隨機變量,若X與Y的方差相同,則下列結論正確的是( )附:若隨機變量X服從正態(tài)分布,則,,.
A.
B.
C.
D.估計該市數(shù)學成績在區(qū)間的考生約645人
三、填空題
12．的展開式中常數(shù)項是________.（用數(shù)字作答）.
13．小智和電腦連續(xù)下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝的概率是0.5，小智連續(xù)兩盤都獲勝的概率是0.4，那么小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是__________.
14．如圖,正方體的棱長為3,點M滿足,若平面經(jīng)過點B,且平面,則平面截此正方體所得的截面的面積為________.
四、解答題
15．某學生對40名同學的飲食習慣進行了一次調(diào)查,其中甲組為女同學,乙組為男同學,調(diào)查的飲食指數(shù)結果如下:
甲組:
93,88,87,86,85,77,77,75,74,73,68,67,64,63,63,61,59,56,53,52,
乙組:
93,91,90,89,85,84,81,80,80,79,79,78,77,74,72,71,66,61,56,55,
（說明:飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)不低于70的人,飲食以肉類為主）
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表:
（2）是否有的把握判斷同學們的飲食習慣與性別有關?
附:,.
16．已知直線l經(jīng)過點,圓.
（1）若l經(jīng)過圓C的圓心,求l的方程;
（2）若l與C相切,求l的方程.
17．如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,平面,,,點E為的中點.
（1）證明:;
（2）求點B到平面的距離;
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
18．設新能源車性能測試分為實驗室檢測和路面檢測兩個階段.實驗室檢測合格后才能進入路面檢測,路面檢測合格后該車才可投入量產(chǎn),這兩個檢測階段是否合格相互獨立.其中實驗室檢測階段包括環(huán)節(jié)I和環(huán)節(jié)II,兩個環(huán)節(jié)至少通過一個才算實驗室檢測合格,且這兩個環(huán)節(jié)檢測結果相互獨立.某公司汽車研發(fā)出甲?乙兩款車型,現(xiàn)對其進行性能檢測.實驗室檢測階段中甲車通過I?II環(huán)節(jié)的概率分別為,,乙車通過I?II環(huán)節(jié)的概率分別為,,路面測試環(huán)節(jié)中甲?乙款車合格的概率分別為,.
（1）求甲,乙兩款車型中恰有一款車進入路面檢測的概率;
（2）設甲,乙兩款車型可投入量產(chǎn)的種數(shù)為X,求X的分布列與均值.
19．已知雙曲線的左,右焦點分別為,,C的右頂點滿足.
（1）求C的方程;
（2）直線l與C恰有1個公共點,且與C的兩條漸近線分別交于點M,N,設O為坐標原點:
①證明:M與N的橫坐標的積為定值;
②求周長的最小值.
參考答案
1．答案：C
解析：依題意,.
故選:C
2．答案：A
解析：直線可化為,
所以斜率為
故選:A
3．答案：D
解析：由所給數(shù)據(jù)可知,當X增大時Y減小,X和Y呈負相關;當M增大時和N增大,M和N呈正相關.
故選:D
4．答案：B
解析：由,得,
解得.
故選:B
5．答案：A
解析：由于雙曲線的一條漸近線為,
所以,.
故選:A
6．答案：C
解析：由表格數(shù)據(jù)知:,,
由線性回歸方程為,
,解得.
故選:C.
7．答案：B
解析：設橢圓另一焦點為,不妨設A在第二象限,連接,根據(jù)題意,作圖如下:
因為為等邊三角形,即可得:,
則,,
則,
由橢圓定義可知:,
故可得:.
故選:B
8．答案：C
解析：選項A:
設為“第1次在1號口袋中取i號球”,B為“第二次取號球”
則
,
故A選項正確.
選項B:
設C為“第二次取號球”,則
,
故,,
,
所以則它來自1號口袋的概率最大,B選項正確.
選項C:,所以C選項錯誤.
選項D:
將6個不同小球放入這3個口袋內(nèi),每個口袋至少放1個,
先將6個球分成3組,有,,三種分法.
對于,有種方法;
對于,有種方法;
對于,有種方法.
所以不同的分配方法共有種,D選項正確.
故選:C
9．答案：AB
解析：依題意,拋物線的焦點為,
準線方程為,
由于,根據(jù)拋物線的定義可知,
則,,
所以P的坐標為、.
故選:AB
10．答案：AC
解析：因為,故A正確;
因為,故B錯誤;
因為,故C正確;
因為,故D錯誤.
故選:AC
11．答案：ABD
解析：依題意,X服從正態(tài)分布,
所以,A選項正確.
隨機變量,所以,
所以,,B選項正確.
,所以C選項錯誤.
,
估計該市數(shù)學成績在區(qū)間的考生約人,D選項正確.
故選:ABD
12．答案：160
解析：二項式的展開式的通項公式為,
令,即,常數(shù)項為.
故答案為:160.
13．答案：0.8或
解析：根據(jù)題意，設小智第一盤獲勝，小智第二盤獲勝，
則，，則.
故答案為:0.8.
14．答案：
解析：依題意可知,正方體的棱長為3,
以A為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,
由于,則,M為上靠近的三等分點,所以.
因為平面,,,所以,
則平面的一個法向量為.
設平面與棱的交點為E,設,則.
因為,即,可得.
又因為在棱上,,,代入可得,
解得,所以.
設平面與棱的交點為F,設,則.
因為,即,可得.
又因為F在棱上,,,代入可得,
解得,所以.
其中,,,.
,,,所以,所以平面與正方體的截面為四邊形,
,,
,,所以四邊形是等腰梯形,
高為,
所以面積為.
故答案為:
15．答案：（1）列聯(lián)表見解析
（2）有95%的把握判斷同學們的飲食習慣與性別有關
解析：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù),填寫列聯(lián)表如下:
（2）,
所以有95%的把握判斷同學們的飲食習慣與性別有關.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由題意可得:圓的圓心為,半徑,
因為直線l經(jīng)過點,則直線l的斜率為,
所以l的方程為,即.
（2）當斜率不存在時,直線l的方程為,圓心到直線的距離為2,等于半徑,符合題意;
當斜率存在時,設直線l的方程為,即,
因為l與C相切,則,解得,
所以l的方程為
所以直線的方程為或.
17．答案：（1）證明見解析
（2）4
（3）
解析：（1）連接,
依題意,底面為直角梯形,,平面,
以A為原點,,分別為x,y軸,與平行的方向為z軸,
建立如圖所示空間直角坐標系,
,,,,
,,,
所以.
（2）,,,,
設平面的法向量為,
則,故可設,
所以點B到平面的距離為.
（3）,,設平面的法向量為,
則,故可設,
設平面與平面的夾角為,
則.
18．答案：（1）
（2）分布列見解析,
解析：（1）設事件A表示甲車通過實驗室測試,事件B表示乙車通過實驗室測試,
則,,
則甲、乙中恰有一款車進入路面測試的概率為:
;
（2）隨機變量X可能的取值為:0,1,2,
由題意,甲、乙車投產(chǎn)的概率分別為,
所以,
,
,
所以數(shù)學期望.
19．答案：（1）
（2）①證明見解析;
②6
解析：（1）設雙曲線C的半焦距為c,則,,
因為雙曲線右頂點,所以,
由,得:,
所以,則雙曲線C的標準方程為.
（2）①當直線l的斜率存在時,設其方程為,顯然,
聯(lián)立,消去y得:,
由直線l與雙曲線C有且只有一個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交知:直線l與雙曲線的漸近線不平行,所以且,
于是得,則,
雙曲線C的漸近線為,
聯(lián)立,消去y得:,
設,,則.
當直線l的斜率不存在時,,故,
綜上,點M與點N的橫坐標的積為定值3.
②由①,且,,
因為,分別在雙曲線的兩條漸近線上,不妨取,
則,當且僅當時取等號,
所以周長的最小值為6.
X
5
6
7
8
9
10
Y
5
4.8
3.5
4
3
2
M
2
4
6
7
9
N
3
4
9
7
11
工作時間X
2
4
5
6
8
工資Y
30
40
50
70
性別
主食蔬菜
主食肉類
總計
女
男
總計
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
性別
主食蔬菜
主食肉類
總計
女
10
10
20
男
4
16
20
總計
14
26
40
X
0
1
2
P

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