一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1. 橢圓的離心率為_____．
【答案】
【解析】
【分析】由橢圓方程求，根據(jù)離心率的定義求結(jié)論.
【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，
則a=2，，，
所以橢圓的離心率.
故答案：.
2. 直線恒過定點(diǎn)_____．
【答案】?1,1
【解析】
【分析】將不等式變形為，可得原直線過直線的交點(diǎn)，聯(lián)立直線，求交點(diǎn)即可.
【詳解】由可得，
所以直線過直線的交點(diǎn)，
故，解得，
故定點(diǎn)為.
故答案為：
3. 已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)扇形弧長與圓錐底面周長關(guān)系列方程求底面半徑，結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征求該圓錐的母線與底面所成角余弦值，即可確定大小.
【詳解】令底面半徑為，則，可得，且圓錐母線為，
所以該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，故其大小為.
故答案為：
4. 某學(xué)生參加兩次英語高考，已知第一次超過130分的概率是0.5，第二次超過130分的概率是0.7，兩次都超過130分的概率是0.3，則兩次考試中至少有一次超過130分的概率為_____．
【答案】0.9##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)計(jì)算得答案.
【詳解】記兩次考試分別超過130分的事件為，則，
因此，
所以兩次考試中至少有一次超過130分概率為0.9.
故答案為：0.9
5. 的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理直接求出展開式的常數(shù)項(xiàng).
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：
6. 若橢圓的左焦點(diǎn)在拋物線（）的準(zhǔn)線上，則的值為_____．
【答案】6
【解析】
【分析】求出橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出值.
【詳解】橢圓的半焦距，其左焦點(diǎn)為，
拋物線的準(zhǔn)線，則，
所以.
故答案為：6
7. 已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先建立方程，再用表示，接著用表示，最后判斷當(dāng)時(shí)取最小值并點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，
所以，則，則
則，
所以
當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)
故答案為：.
8. 設(shè)直線和圓相交于點(diǎn)A、B，則弦AB的長度是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后求出圓心到直線的距離，則弦AB的長度為.
【詳解】圓的方程為：，圓心到直線的距離為，
則弦AB的長度為.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，圓中弦長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
9. 已知，則_____．
【答案】175
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計(jì)算得解.
【詳解】取，得；取，得，
所以.
故答案為：175
10. 有4名學(xué)生報(bào)名參加“行知杯”足球賽和“靈辰杯”籃球賽兩項(xiàng)比賽，每人至少報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加人數(shù)不限，則不同的報(bào)名結(jié)果有_____種．
【答案】81
【解析】
【分析】求出每名學(xué)生報(bào)名的種數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算得解.
【詳解】依題意，每名學(xué)生報(bào)名的種數(shù)是3，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的報(bào)名結(jié)果有種.
故答案為：81
11. 如圖，已知直四棱柱的所有棱長等于1，，和分別是上下底面對角線的交點(diǎn)，在線段上，，點(diǎn)在線段上移動，則三棱錐的體積最小值為_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，證得平面，利用等體積法將三棱錐的體積最小值轉(zhuǎn)化為求的面積最小值，結(jié)合圖形可得此最小面積為的面積，進(jìn)而求解.
【詳解】在直四棱柱中，平面，平面，
則，在菱形中，，而平面，
則平面，又菱形邊長1，，則，
點(diǎn)在線段上，在線段上，則，
因此三棱錐的體積最小，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)拿娣e最小，而是定值，
則當(dāng)且僅點(diǎn)到直線的距離最小，又的延長線與延長線相交于點(diǎn)，
于是點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最小值，如圖，
顯然四邊形為正方形，連接，令，由，
得，，
點(diǎn)到直線的距離，又，
則面積為，三棱錐的體積為，
所以三棱錐的體積最小值為.
故答案為：
12. 拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，，是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足．設(shè)線段的中點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則的最大值是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】由拋物線定義對線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再由中位線得到線段，解三角形得到線段，由基本不等式得到取值范圍，從而得到最值.
【詳解】設(shè)、，作分別于，則，，
在梯形中，有，
在中，，
又，則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，所以的最大值是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決．
二、選擇題（本題共4個(gè)小題，13-14題每題4分，15-16題每題5分，滿分18分）
13. 已知是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系的判斷可得結(jié)果.
【詳解】對于A，，則與相交、平行或，故A錯(cuò)誤；
對于B，，則與相交、平行或，故B錯(cuò)誤；
對于C，，由線面垂直的性質(zhì)知，故C正確；
對于D，，則與相交、平行或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
14. 行知中學(xué)高二年級有10位同學(xué)在某競賽中獲獎，現(xiàn)排成兩排拍照，每排5人，則不同的排列種數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用全排列列式即得.
【詳解】依題意，10位同學(xué)排成兩排，每排5人拍照，相當(dāng)于10個(gè)人到10個(gè)位置就坐，
所以不同排法種數(shù)是.
故選：B
15. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽
B. 底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
C. 平行于同一條直線的兩條直線互相平行
D. 有公共點(diǎn)的兩個(gè)圓相切
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件的意義逐項(xiàng)分析即可求解.
【詳解】對于A，標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是；
對于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是；
對于C，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，一定能發(fā)生，是必然事件，C是；
對于D，有公共點(diǎn)的兩個(gè)圓可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是.
故選：C
16. 已知圓，，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓滿足與外切且與內(nèi)切，得，的軌跡為橢圓，求出橢圓的方程，分析要的最小，只要最小，設(shè)點(diǎn)根據(jù)的范圍即可求出.
【詳解】因?yàn)閳A，圓，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為，由題意得，
所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為16的橢圓，所以其方程為 因?yàn)?，即為圓的切線，要的最小，只要最小，
設(shè)，則因?yàn)?，所以?br>故選：A.
三、解答題（本題共5小題，17-19題每題14分，19-21每題18分，滿分78分）17．（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）
17. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，四棱錐的體積為，為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成的角的大小．（結(jié)果用反三角表示）
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由得到，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定、性質(zhì)可證；
（2）設(shè)相交于一點(diǎn)，連接，易知是直線與平面所成的角，進(jìn)而求出角的大小.
【小問1詳解】
由題設(shè)，且，
故，
所以，故.
因?yàn)?底面，底面，所以，
因?yàn)?，且面?br>所以平面，
又平面，
則，
【小問2詳解】
設(shè)相交于一點(diǎn)，連接，由（1）知：平面，
所以是直線與平面所成的角，
，則，
因?yàn)樗睦忮F的體積為，底面，
所以，所以，
,,
所以 ，
所以所求線面角的大小為.
18. 某學(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：
①每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；
②每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：
（1）若學(xué)生甲僅在周一和周二參加了課后服務(wù)課程，寫出實(shí)驗(yàn)的樣本空間Ω；
（2）若學(xué)生乙一周內(nèi)有三天參加了課后服務(wù)課程，共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則共有多少種不同的選擇方案?并求這些方案中事件：“周一選擇閱讀”發(fā)生的概率．
【答案】（1）答案見解析；
（2）14，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出樣本空間.
（2）利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解，進(jìn)而求出事件發(fā)生的概率.
【小問1詳解】
(音樂,口語), (音樂,閱讀)，(音樂,編程)，(音樂,美術(shù)), (閱讀,口語), (閱讀,編程)，(閱讀,美術(shù))，
(體育,口語), (體育,閱讀)，(體育,編程)，(體育,美術(shù)), (編程,口語), (編程,閱讀)，(編程樂,美術(shù)).
【小問2詳解】
依題意，周一、二、三、四均可選閱讀，體育在周一、三、四，編程在周一、二、四，
①若周一選編程，則體育在周三或周四，有2種，閱讀在剩下的兩天中選，有2種，共有4種方案；
②若周二選編程，則體育在周一，周三或周四，有3種，
閱讀在剩下的兩天中選，有2種，共有6種方案；
③若周四選編程，則體育在周一或周三，有2種，閱讀在剩下的兩天中選，有2種，共有4種方案，
所以不同選擇方案共有（種），
事件含有的樣本點(diǎn)：(周一閱讀,周二編程,周三體育), (周一閱讀,周二編程,周四體育),(周一閱讀,周二體育,周四編程)，
事件有3個(gè)樣本點(diǎn)，事件發(fā)生的概率.
19. 樹林的邊界是直線（如圖所在直線），一只兔子在河邊喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于的垂線上的點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)處，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向樹林逃跑，同時(shí)狼沿線段方向以2米每秒的速度進(jìn)行追擊，若狼到達(dá)處的時(shí)間不多于兔子到達(dá)處的時(shí)間，狼就會吃掉兔子．
（1）求兔子被狼吃掉的點(diǎn)的區(qū)域面積；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求銳角的取值范圍．
【答案】（1）平方米；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立直角坐標(biāo)系，由時(shí)間關(guān)系求得的坐標(biāo)滿足的關(guān)系即可求出.
（2）求出直線的方程，利用直線與圓的位置關(guān)系列出不等式求得的范圍.
【小問1詳解】
以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
由狼到達(dá)處的時(shí)間不多于兔子到達(dá)處的時(shí)間，得，即，
則4，整理得，
因此M在以為圓心，為半徑的圓及內(nèi)部，
所以兔子被狼吃掉的點(diǎn)的區(qū)域面積平方米.
【小問2詳解】
依題意，直線的斜率滿足，直線的方程為，
由兔子要想不被狼吃掉，得直線與圓相離，
則，解得，因此，而，解得，
所以銳角的取值范圍是.
20. 已知函數(shù)，為正整數(shù)．
（1）當(dāng)，且時(shí)，求的值；
（2）當(dāng)，且時(shí)，從，，，，中任取一個(gè)數(shù)，求取到的數(shù)為有理數(shù)的概率；
（3）當(dāng)，且時(shí)，若對任意的，，都有，求正整數(shù)的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）結(jié)合二項(xiàng)式展開式條件轉(zhuǎn)化為，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)可求；
（2）由條件，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可求，，，，，根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)論；
（3）根據(jù)二項(xiàng)式展開式求，分析的單調(diào)性，由此確定的最大值，由此確定結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)，，
又，，
所以，所以；
小問2詳解】
當(dāng)，時(shí)，，
又，
所以，， ，，
，， ，，，
所以，，，，為有理數(shù)，
所以從，，，，中任取一個(gè)數(shù)，取到有理數(shù)的概率為，
【小問3詳解】
當(dāng)，且時(shí)，，
又二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，，
所以，，，
當(dāng)時(shí)，，
令，可得，即，所以，
令，可得，即，所以，
令，可得，即，所以，
所以，，，
因?yàn)閷θ我獾?，，都有?br>所以或.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，設(shè)，中點(diǎn)分別為，．
（1）寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的長軸長；
（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若弦，的斜率均存在，求面積的最大值．
【答案】（1）右焦點(diǎn)，長軸長為；
（2）證明見解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)橢圓方程寫出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及長軸長.
（2）斜率均存在，設(shè)直線AB方程為與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線的方程即可；再討論一條直線斜率不存在時(shí)的情況.
（3）由（2）中中信息求出，借助函數(shù)的單調(diào)性求出最值.
【小問1詳解】
由橢圓，得長半軸長，短半軸長，半焦距，
所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)，長軸長為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線斜率均存在時(shí)，設(shè)，直線AB方程為，
由消去，得，
則有，點(diǎn)，而直線：，同理，
當(dāng)時(shí)，直線MN斜率，
直線：，整理得，直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，直線：過點(diǎn)，
當(dāng)兩條直線其中一條斜率不存在，一條直線斜率為0時(shí)，
不妨設(shè)斜率不存在，斜率0，，直線：過點(diǎn)，
所以動直線過定點(diǎn).
【小問3詳解】
由（2）知直線過定點(diǎn)，
，
令，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以，即時(shí)，取得最大值.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.時(shí)間
周一
周二
周三
周四
周五
課后服務(wù)
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口語、閱讀、編程、美術(shù)
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