一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1. 雙曲線C：的漸近線方程為_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得.
【詳解】由可得，
故其漸近線方程為，
故答案為.
2 已知函數(shù)，則_______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用瞬時變化率和極限思想求得，再結(jié)合函數(shù)解析式求得f′1即可.
【詳解】因，
由可得，
故.
故答案為：6.
3. 已知等差數(shù)列滿足，則的值為________．
【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)數(shù)列的公差為,由題設(shè)條件化簡推出，利用等差數(shù)列通項公式可得.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則由可得：，
即，故.
故答案為：4.
4. 圓：與圓：的相交弦所在直線方程為________．
【答案】
【解析】
【分析】通過已知的圓的方程，利用相減法找到兩個圓的交點(diǎn)所在直線方程即可.
【詳解】圓方程是，簡化后為，
聯(lián)立 ，兩式相減，得到，
化簡可得.
因此，過兩圓交點(diǎn)的直線方程為.
故答案為：.
5. 已知的直觀圖恰好是直角邊長為1的等腰直角三角形，，那么的面積為_________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：先求出的直觀圖的面積，再代入即得；
方法二：根據(jù)的直觀圖作出的平面圖，再求其面積即可.
【詳解】方法一：由圖知的直觀圖的面積為：，
則的面積為：.
方法二：根據(jù)的直觀圖作出的平面圖為：
其中：，且，
則.
故答案為：.
6. 在正方體中，與直線所成角的大小為的面對角線共有__________條
【答案】
【解析】
【分析】分別連接對應(yīng)面對角線，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征和直線所成角的定義，即可求解.
【詳解】如圖所示，連接，
由正方體性質(zhì)可得、都為等邊三角形，
所以，
所以與所成的角為，
又，則與所成的角為，
同理，可得為等邊三角形，則與所成的角為，
又，
則與所成的角為，
綜上可得，與直線所成角的大小為的面對角線共有條.
故答案為：.
7. 一個圓柱被與其底面所成角是的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的離心率等于_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系用圓柱的底面半徑表示橢圓的長軸和短軸，再計算橢圓的離心率即可.
【詳解】如圖，設(shè)圓柱底面半徑為R，由題意知截面與底面所成角為，
設(shè)截面橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，
根據(jù)題意可知，，
則，故離心率.
故答案為：.
8. 如圖，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為_____.

【答案】
【解析】
【分析】在三角形中作于點(diǎn)，求得圓錐的底面半徑和高，計算出球體和圓錐體積即可求得結(jié)果.
【詳解】由題，為等腰直角三角形，作于點(diǎn)，如圖，
則繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個全等的圓錐和，

由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為，圓錐的高為2，
則圓錐的體積為，
半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為，
因此剩余部分所形成的幾何體的體積為.
故答案為：.
9. 若，，是三個不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，則_________．
【答案】10
【解析】
【分析】利用空間向量基本定理可得，由題設(shè)條件推得方程組，求解即得.
【詳解】因向量，，共面，且，，是三個不共面的非零向量，
則存在，滿足，
即，
則有，解得.
故答案為：10.
10. 已知函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意，原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)方程必有兩相異實(shí)根，計算即得實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【詳解】由求導(dǎo)得：，
因該函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則方程必有兩相異實(shí)根，
則有，解得.
故答案為：.
11. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，設(shè)，，，當(dāng)?shù)那皀項和最小時，n的值組成的集合為________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意得，從而判斷數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，進(jìn)而可判斷數(shù)列各項的符號，由此可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，
所以，則，
由可以判斷數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，
，
所以，且，且；
即數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，
即當(dāng)?shù)那绊椇妥钚r，的取值集合為.
故答案為：.
12. 已知正三棱錐，側(cè)棱長為5，底面邊長為8，若空間中的一個動點(diǎn)M滿足，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)O為中點(diǎn)，先由題設(shè)得和，進(jìn)而得點(diǎn)M在以O(shè)為球心，半徑為的球上，接著設(shè) ，再將轉(zhuǎn)化成即可計算求解.
【詳解】如圖，O為中點(diǎn)，則由題意且，
所以.
因?yàn)椋瑒t即，
所以點(diǎn)M在以O(shè)為球心，半徑為的球上，
設(shè)，則，
所以.
故答案為：.
二、選擇題（本大題滿分18分，第13，14題每題4分，第15，16題每題5分）
13. 已知點(diǎn)是平行六面體的面對角線上的動點(diǎn)，則下列直線中與BM恒為異面直線的是（ ）
A. B. C. CDD.
【答案】C
【解析】
【分析】舉反例，排除ADC，結(jié)合異面直線定義證明C正確.
【詳解】對于A，當(dāng)點(diǎn)位于位置時，證明與直線相交，A錯誤；
對于D，當(dāng)點(diǎn)位于位置時，證明與直線相交，D錯誤；
對于B，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時，如圖，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>所以也為的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，
所以與共面，B錯誤；
對于C，直線平面，直線平面，
點(diǎn)不在直線上，所以直線與直線為異面直線，C正確；
故選：C.
14. 已知l是平面α的一條斜線，直線，則（ ）
A. 存在唯一一條直線m，使得l⊥mB. 存在無數(shù)多條直線m，使得l⊥m
C. 存在唯一一條直線m，使得l∥mD. 存在無數(shù)多條直線m，使得l∥m
【答案】B
【解析】
【分析】面內(nèi)與平面的斜線在面內(nèi)的投影垂直的直線與斜線垂直，這樣的直線時一組平行線，有無數(shù)多條；面內(nèi)的直線與斜線只有相交和異面兩種情況，沒有平行的可能.
【詳解】平面內(nèi)的直線與平面的一條斜線在面內(nèi)的投影垂直，則與斜線垂直，這樣的平行線有無數(shù)多條，所以A不正確，B正確，
面內(nèi)的直線若有與斜線平行的則斜線與面平行，顯然不可能的，
所以C，D不正確.
故選：B.
15. 已知數(shù)列為無窮等比數(shù)列，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)可得，則，再利用不等式的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)闉闊o窮等比數(shù)列，，設(shè)數(shù)列的公比為，
則，所以，可得.
所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
且，此時，且，
所以.
因?yàn)?br>所以，時等號成立；
即的取值范圍為.
故選：B.
16. 在直角坐標(biāo)系中，一個矩形的四個頂點(diǎn)都在橢圓：上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)180°，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，表示出圓柱底面圓半徑和母線長，求得圓柱的體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)分析得出時，圓柱體的體積最大，繼而求得其側(cè)面積.
【詳解】
如圖，設(shè)點(diǎn)在第一象限，則有，且.
由橢圓和矩形的對稱性，把矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)180°得圓柱，
則圓柱的底面圓半徑為，母線長為，
于是該圓柱體的體積為：，
將對求導(dǎo)，可得：，由可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
故當(dāng)時，圓柱體的體積最大，此時，.
則圓柱的側(cè)面積為：.
故選：A.
三、解答題（本大題滿分78分，第17，18，19題每題14分，第20，21題每題18分）
17. 在等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，記為數(shù)列的前項和，若，求正整數(shù)的最小值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量結(jié)合等比中項列式求解即可；
（2）分組求和應(yīng)用等比數(shù)列求和公式計算即可.
【小問1詳解】
在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，由，，構(gòu)成等比數(shù)列，
可得，即有，得．
因?yàn)楫?dāng)時，，不滿足題意，舍去，
所以，．
【小問2詳解】
由（1）得，則，遞增，
由，
可得時，正整數(shù)n的最小值為7．
18. 如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)，G分別是線段，，的中點(diǎn)，若平面交于點(diǎn)H．

（1）求多面體的體積；
（2）求證：四邊形是正方形．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求出多面體與正三棱錐的比例，然后設(shè)出底面中心為，
利用勾股定理求出高，再根據(jù)錐體體積公式即可計算求解.
（2）利用三角形中位線得且，再有直線與平面平行的性質(zhì)得出，從而證得四邊形是平行四邊形，最后利用線面垂直的性質(zhì)推出，從而得證.
【小問1詳解】
如圖：

取 的中點(diǎn) ,連接 ，
因?yàn)?，E，F(xiàn)分別是線段 ，，的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是線段，，的中點(diǎn)，
所以且，
平面,平面,
所以平面,
又因?yàn)槠矫娼挥邳c(diǎn)H．
則平面與平面的交線為，
所以，而，所以，
又因?yàn)镚是線段的中點(diǎn)，則H是線段的中點(diǎn)，
所以,而，
所以幾何體為三棱柱，設(shè)正三棱錐的高為 ，則三棱柱的高為 ，三棱錐的高也為 ，，
則多面體的體積=三棱柱的體積與三棱錐的體積之和；
所以，
而，
所以，
由正三棱錐的側(cè)面是邊長為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，
取中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，底面中心為，如圖：

，，
則，
所以多面體的體積：．
【小問2詳解】
由（1）可知，H是線段中點(diǎn)，
所以,而
所以四邊形是平行四邊形，
又，
如圖，

于是為菱形，取的中點(diǎn)，而，，
，平面，
則平面，又平面，
因此，于是，所以四邊形是正方形．
19. 如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上移動．
（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，證明：平面平面；
（2）當(dāng)為何值時，平面與平面所成的銳二面角為．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，先證明，再應(yīng)用線面垂直判定定理證明平面，最后應(yīng)用面面垂直判定定理證明；
（2）先設(shè)，再應(yīng)用空間向量法計算二面角余弦值即可求參.
【小問1詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，
則，，，，
即，，
因?yàn)椋?br>所以，即，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>所以平面，平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)時，平面與平面所成角為，則，
由圖知，平面法向量為，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，因?yàn)槠矫媾c平面所成角為．
所以，解得或（舍）．
所以當(dāng)為時，平面與平面所成角為．
20. 已知曲線由拋物線及拋物線組成，若是曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，四點(diǎn)不共線，其中點(diǎn)在第一象限.
（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）求四邊形周長的最小值；
（3）若點(diǎn)橫坐標(biāo)小于4，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
（2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可知，進(jìn)而可取焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；
（2）設(shè)，則，且四邊形為等腰梯形，利用拋物線的定義結(jié)合圖形的性質(zhì)分析求解；
（3）由（2）可知：，且，可得四邊形的面積為，構(gòu)建函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
拋物線，即，
可知，即，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
【小問2詳解】
由（1）可知：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)，則，
由題意可知：四邊形為等腰梯形，
則四邊形周長，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，
所以四邊形周長的最小值為.
【小問3詳解】
由題意可知：，且，

則，梯形的高為，
可得四邊形的面積為，且，
構(gòu)建，，
則，，
令f′x>0，解得；令f′x

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