滿分：100分 完成時(shí)間90分鐘
一、填空題（本大題共12小題，每小題3分）
1. 直線的傾斜角為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角的關(guān)系結(jié)合傾斜角的范圍求解.
【詳解】直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，
所以，可得．
故答案為：.
2. 已知A，B為兩個(gè)獨(dú)立事件，且，，則__________．
【答案】0.28##
【解析】
【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)锳，B為兩個(gè)獨(dú)立事件，且，，
則．
故答案為：.
3. 乘積 (其中)的展開式中共有__________項(xiàng)．
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.
【詳解】從中取一項(xiàng)共有3種不同取法，從中取一項(xiàng)有4種不同取法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，該展開式共 (項(xiàng)).
故答案為：12.
4. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行可設(shè)，根據(jù)直線經(jīng)過點(diǎn)可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，
∴直線的方程是.
故答案為：.
5. 現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字2，4，5，5，6，9，16，則這7個(gè)數(shù)的第75百分位數(shù)是____________．
【答案】9
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由于，則這7個(gè)數(shù)的第75百分位數(shù)是9，
故答案是：9.
6. 已知平面的一個(gè)法向量，直線的方向向量，則直線與平面所成角的正弦值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由線面角的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：
7. 關(guān)于正整數(shù)的方程是，則____________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】由得，，
∴，即，解得或，
∵，∴.
故答案為：5.
8. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)求通項(xiàng)公式，驗(yàn)證的結(jié)果即可得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
∴.
故答案為：.
9. 的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第____________項(xiàng)．
【答案】12和13
【解析】
【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和對(duì)應(yīng)系數(shù)，根據(jù)條件列不等式可得結(jié)果.
【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，系數(shù)為，
由得，，
∴系數(shù)最大的項(xiàng)是第12和13項(xiàng).
故答案為：12和13.
10. 設(shè)公差的等差數(shù)列中，滿足，則的值為________.
【答案】##
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件求得，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)、，即可求得比值.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，
所以，，，
因?yàn)椋裕?br>整理得：，即，
因?yàn)椋?，根?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有：
，
，
所以.
故答案為：
11. 正四面體是由四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，且所有棱長(zhǎng)都相等.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，，，…，在線段上，且. 現(xiàn)過點(diǎn)作平行于直線和的平面，記該平面截正四面體的截面的周長(zhǎng)為，則____________．
【答案】4048
【解析】
【分析】設(shè)為靠近的第個(gè)等分點(diǎn)，過作平行于的平面分別交，，于，，，可證明四邊形為平行四邊形，求得，從而可得答案.
【詳解】設(shè)為靠近的第個(gè)等分點(diǎn)，
過作平行于的平面分別交，，于，，，如圖，
因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所以?br>同理，，，
則，故四邊形為平行四邊形．
又為靠近的第個(gè)等分點(diǎn)，且，
故．
故四邊形周長(zhǎng)．
所以為常數(shù)列，即，
則
故答案為：
12. 平面向量為2維向量，可由2元有序?qū)崝?shù)組表示；空間向量為3維向量，可由3元有序?qū)崝?shù)組表示.維向量可由（為正整數(shù)）元有序?qū)崝?shù)組表示.已知維向量，我們稱 為該向量的范數(shù)，其中，記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為.設(shè)，則_______________ .
【答案】985211
【解析】
【分析】由或可知中有偶數(shù)個(gè)，計(jì)算每種情況下的個(gè)數(shù)，求和即能得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，.
∵，∴或.
要使為奇數(shù)，則需中有偶數(shù)個(gè).
當(dāng)均不為時(shí)，，的個(gè)數(shù)為，
當(dāng)中有2個(gè)時(shí)，，的個(gè)數(shù)為，
當(dāng)中有4個(gè)時(shí)，，的個(gè)數(shù)為，
當(dāng)中有6個(gè)時(shí)，，的個(gè)數(shù)為，
∴，
∴.
故答案為：985211.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是討論中0的個(gè)數(shù)，計(jì)算每種情況下的個(gè)數(shù)，求出的值，即可得到的結(jié)果.
二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分）
13. 已知為隨機(jī)事件，A與B互斥，B與C互為對(duì)立，且，，則（ ）
A. 0.06B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【詳解】因?yàn)锽與C互為對(duì)立，，
所以，
因?yàn)锳與B互斥，
所以.
故選：D.
14. 已知表示兩條不同直線，表示平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?，則或相交或異面，故A錯(cuò)誤；
由，，則與的關(guān)系無法確定，可能平行，可能相交，可能在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；
若，，則，故C正確；
若，，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
15. 用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出時(shí)左端的表達(dá)式，和時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從到”左端需增乘的代數(shù)式．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，左端＝，
當(dāng)時(shí)，左端＝，
故左邊要增乘的代數(shù)式為.
故選：B．
16. 在等比數(shù)列中，公比為q，其前n項(xiàng)積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B.
C. 的值是中最大的D. 使成立的最大自然數(shù)n等于4046
【答案】C
【解析】
【分析】分析條件可得數(shù)列為遞減數(shù)列，選項(xiàng)A正確；根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)，可得選項(xiàng)D正確.
【詳解】∵，∴，∴．
∵，∴，即一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，
∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，故，即，選項(xiàng)A正確.
，選項(xiàng)B正確.
，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
，
，選項(xiàng)D正確.
故選：C．
三、解答題（本大題共5小題，共52分）
17. 如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線DE與所成角的大小．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）因?yàn)?，得出則是異面直線DE與所成角，再根據(jù)正切求角即可.
【小問1詳解】
連接，在正方體中，E是的中點(diǎn)，
所以E是的中點(diǎn)，且，即，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，又，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
連接CE，則是異面直線DE與所成角(或其補(bǔ)角).
記正方體的棱長(zhǎng)為，
在中，，
所以異面直線DE與所成角是 .
18. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件求數(shù)列的公差即可得到通項(xiàng)公式.
（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，利用公式即可求出.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公差為，
∵，∴
∴，
∴.
【小問2詳解】
由（1）得，
∴，
∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴.
19. 某高中舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽．為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．將成績(jī)進(jìn)行整理后，依次分為五組()．請(qǐng)根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：
（1）求a的值；
（2）從樣本數(shù)據(jù)在兩個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再?gòu)倪@7名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；
（3）某老師在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生分?jǐn)?shù)：，其中.已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的95和81這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．
【答案】（1）
（2）
（3）88；19
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出.
（2）求出兩個(gè)小組的頻率比，結(jié)合分層抽樣求出兩個(gè)區(qū)間內(nèi)各抽取的人數(shù)，再借助組合計(jì)數(shù)問題求出概率.
（3）求出剔除兩個(gè)數(shù)據(jù)后的平均數(shù)，再利用方差的定義求出方差.
【小問1詳解】
依題意，， 所以.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖知：在兩個(gè)小組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比為，
所以抽取7名學(xué)生中，來自的分別為2人、5人，
隨機(jī)選出2人，兩人恰好來自不同小組的概率.
【小問3詳解】
依題意，，，
剔除的兩個(gè)為的數(shù)后余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
此時(shí)方差為.
20. 已知正四棱錐（如圖所示）的高為3，底面邊長(zhǎng)為，球與的四個(gè)側(cè)面及底面都相切，然后依次在內(nèi)放入球，，，…，，，…，使得球（，）與的四個(gè)側(cè)面均相切，且球與外切.

（1）求正四棱錐的側(cè)面與底面所成二面角的大小；
（2）求球的表面積；
（3）求放入的所有球的體積之和.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義找到二面角的平面角，利用邊長(zhǎng)關(guān)系即可求解.
（2）根據(jù)相切結(jié)合圖形特征建立等量關(guān)系，解方程可求出球的半徑，利用球的表面積公式可得結(jié)果.
（3）根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到，利用數(shù)列是等比數(shù)列可求所有球的體積之和.
【小問1詳解】
如圖，四棱錐中，為底面正方形的中心，

則底面，取的中點(diǎn)，連接，
則，且，
則為側(cè)面與底面所成角，設(shè)側(cè)面與底面所成角為，則，
∵底面，∴.
在中，，
∴，即正四棱錐的側(cè)面與底面所成二面角的大小為.
【小問2詳解】
設(shè)球與側(cè)面相切于點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上，且，
記球的半徑為，由（1）可知，
∴，
∴，即，解得
∴球的表面積為.
【小問3詳解】
記球的半徑為，體積為，設(shè)四棱錐的高為，
根據(jù)（2）可知，
設(shè)，則，
∴，兩式相減可得，即，
∵，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，故所有球的體積之和為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（3）問的關(guān)鍵是分析出數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式結(jié)合極限的概念可得結(jié)果.
21. 在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為.例如：對(duì)于數(shù)列3，2，1，由于在第一項(xiàng)3后面比3小的項(xiàng)有2個(gè)，在第二項(xiàng)2后面比2小的項(xiàng)有1個(gè)，在第三項(xiàng)1后面比1小的項(xiàng)沒有，因此，數(shù)列3，2，1的逆序數(shù)為，則記.
（1）計(jì)算；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式；
（3）計(jì)算數(shù)列（）的逆序數(shù).
【答案】（1）13 （2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)逆序數(shù)的概念計(jì)算可得結(jié)果.
（2）由（1）得，利用構(gòu)造法可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以14為公比的的等比數(shù)列，由此可計(jì)算結(jié)果.
（3）分析數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的取值范圍及單調(diào)性，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)的逆序數(shù)即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
由（1）得，
∴，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以14為公比的的等比數(shù)列，
∴，故
【小問3詳解】
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，
∴．
當(dāng)奇數(shù)時(shí)，逆序數(shù)為，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，逆序數(shù)為.
綜上得，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：
（1）理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

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